無理関数の不定積分
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が無理関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値は、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}と表されるということです。\(n\)が奇数である場合に\(x^{\frac{1}{n}}\)は\(\mathbb{R} \)上に定義可能であるため\(I\subset \mathbb{R} \)であり、\(n\)が偶数である場合に\(x^{\frac{1}{n}}\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上に定義可能であるため\(I\subset \mathbb{R} _{+}\)であることに注意してください。いずれにせよ、無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)は連続であるため不定積分が存在しますが、具体的には以下のようになります。
命題（無理関数の不定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。\(n\)が奇数の場合には\(I\subset \mathbb{R} \)ならば\(f\)は不定積分を持ち、\(n\)が偶数の場合には\(I\subset \mathbb{R} _{+}\)ならば\(f\)は不定積分を持つ。いずれの場合にも、\(f\)の定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{n}{1+n}\cdot x^{\frac{1+n}{n}}+C
\end{equation*}である。ただし、\(C\)は積分定数である。
\end{equation*}と表されるものとする。\(n\)が奇数の場合には\(I\subset \mathbb{R} \)ならば\(f\)は不定積分を持ち、\(n\)が偶数の場合には\(I\subset \mathbb{R} _{+}\)ならば\(f\)は不定積分を持つ。いずれの場合にも、\(f\)の定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{n}{1+n}\cdot x^{\frac{1+n}{n}}+C
\end{equation*}である。ただし、\(C\)は積分定数である。
例（無理関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{7}}
\end{equation*}を定めます。\(f\)は区間\(\mathbb{R} \)上に定義された無理関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{7}{8}x^{\frac{8}{7}}+C
\end{equation*}となります。
\end{equation*}を定めます。\(f\)は区間\(\mathbb{R} \)上に定義された無理関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{7}{8}x^{\frac{8}{7}}+C
\end{equation*}となります。
例（無理関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} _{+} \rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{4}}
\end{equation*}を定めます。\(f\)は区間\(\mathbb{R} \)上に定義された無理関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}}+C
\end{equation*}となります。
\end{equation*}を定めます。\(f\)は区間\(\mathbb{R} \)上に定義された無理関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}}+C
\end{equation*}となります。
例（無理関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x^{\frac{1}{2}}+7
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数であるため定積分を持ちます。具体的には、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \left( 3x^{\frac{1}{2}}+7\right) dx\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\int 3x^{\frac{1}{2}}dx+\int 7dx\quad \because \text{関数の和の不定積分} \\
&=&3\int x^{\frac{1}{2}}dx+\int 7dx\quad \because \text{関数の定数倍の不定積分} \\
&=&3\cdot \frac{2}{1+2}x^{\frac{1+2}{2}}+7x+C\quad \because \text{無理関数と定数関数の不定積分} \\
&=&2x^{\frac{3}{2}}+7x+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数であるため定積分を持ちます。具体的には、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \left( 3x^{\frac{1}{2}}+7\right) dx\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\int 3x^{\frac{1}{2}}dx+\int 7dx\quad \because \text{関数の和の不定積分} \\
&=&3\int x^{\frac{1}{2}}dx+\int 7dx\quad \because \text{関数の定数倍の不定積分} \\
&=&3\cdot \frac{2}{1+2}x^{\frac{1+2}{2}}+7x+C\quad \because \text{無理関数と定数関数の不定積分} \\
&=&2x^{\frac{3}{2}}+7x+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
無理関数の定積分
先の命題を用いると、無理関数の定積分を以下のように特定できます。
命題（無理関数の定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。ただし、\(n\)が奇数の場合には\(I\subset \mathbb{R} \)であり、\(n\)が偶数の場合には\(I\subset \mathbb{R} _{+}\)であるものとする。いずれの場合にも、\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{n}{1+n}\cdot x^{\frac{1+n}{n}}\right] _{a}^{b} \\
&=&\frac{b^{\frac{1+n}{n}}-a^{\frac{1+n}{n}}}{1+n}
\end{eqnarray*}である。
\end{equation*}と表されるものとする。ただし、\(n\)が奇数の場合には\(I\subset \mathbb{R} \)であり、\(n\)が偶数の場合には\(I\subset \mathbb{R} _{+}\)であるものとする。いずれの場合にも、\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{n}{1+n}\cdot x^{\frac{1+n}{n}}\right] _{a}^{b} \\
&=&\frac{b^{\frac{1+n}{n}}-a^{\frac{1+n}{n}}}{1+n}
\end{eqnarray*}である。
例（無理関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{7}}
\end{equation*}を定めます。先に示したように、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{7}{8}x^{\frac{8}{7}}+C
\end{equation*}であるため、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&\frac{7}{8}\cdot 1^{\frac{8}{7}}-\frac{7}{8}\cdot \left( -1\right) ^{\frac{8}{7}} \\
&=&\frac{7}{8}\cdot \left( 1^{\frac{1}{7}}\right) ^{8}-\frac{7}{8}\cdot \left[ \left( -1\right) ^{\frac{1}{7}}\right] ^{8} \\
&=&\frac{7}{8}\cdot 1^{8}-\frac{7}{8}\cdot \left( -1\right) ^{8} \\
&=&\frac{7}{8}\cdot 1-\frac{7}{8}\cdot 1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めます。先に示したように、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{7}{8}x^{\frac{8}{7}}+C
\end{equation*}であるため、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&\frac{7}{8}\cdot 1^{\frac{8}{7}}-\frac{7}{8}\cdot \left( -1\right) ^{\frac{8}{7}} \\
&=&\frac{7}{8}\cdot \left( 1^{\frac{1}{7}}\right) ^{8}-\frac{7}{8}\cdot \left[ \left( -1\right) ^{\frac{1}{7}}\right] ^{8} \\
&=&\frac{7}{8}\cdot 1^{8}-\frac{7}{8}\cdot \left( -1\right) ^{8} \\
&=&\frac{7}{8}\cdot 1-\frac{7}{8}\cdot 1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
例（無理関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{4}}
\end{equation*}を定めます。先に示したように、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}}+C
\end{equation*}であるため、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{16}f\left( x\right) dx &=&\frac{4}{5}\cdot 16^{\frac{5}{4}}-\frac{4}{5}\cdot 0^{\frac{5}{4}} \\
&=&\frac{4}{5}\cdot \left( 16^{\frac{1}{4}}\right) ^{5}-\frac{4}{5}\cdot
\left( 0^{\frac{1}{4}}\right) ^{5} \\
&=&\frac{4}{5}\cdot 2^{5}-\frac{4}{5}\cdot 0^{5} \\
&=&\frac{4}{5}\cdot 32-\frac{4}{5}\cdot 0 \\
&=&\frac{128}{5}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めます。先に示したように、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}}+C
\end{equation*}であるため、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{16}f\left( x\right) dx &=&\frac{4}{5}\cdot 16^{\frac{5}{4}}-\frac{4}{5}\cdot 0^{\frac{5}{4}} \\
&=&\frac{4}{5}\cdot \left( 16^{\frac{1}{4}}\right) ^{5}-\frac{4}{5}\cdot
\left( 0^{\frac{1}{4}}\right) ^{5} \\
&=&\frac{4}{5}\cdot 2^{5}-\frac{4}{5}\cdot 0^{5} \\
&=&\frac{4}{5}\cdot 32-\frac{4}{5}\cdot 0 \\
&=&\frac{128}{5}
\end{eqnarray*}となります。
例（無理関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x^{\frac{1}{2}}+7
\end{equation*}を定めます。先に示したように、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=2x^{\frac{3}{2}}+7x+C
\end{equation*}であるため、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{1}^{4}f\left( x\right) dx &=&\left( 2\cdot 4^{\frac{3}{2}}+7\cdot
4\right) -\left( 2\cdot 1^{\frac{3}{2}}+7\cdot 1\right) \\
&=&35
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めます。先に示したように、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=2x^{\frac{3}{2}}+7x+C
\end{equation*}であるため、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{1}^{4}f\left( x\right) dx &=&\left( 2\cdot 4^{\frac{3}{2}}+7\cdot
4\right) -\left( 2\cdot 1^{\frac{3}{2}}+7\cdot 1\right) \\
&=&35
\end{eqnarray*}となります。
無理関数との合成関数の積分
無理関数との合成関数もしくはそのような合成関数を含む関数を積分する際には、置換積分や部分積分などを利用します。具体例を挙げます。
例（無理関数との合成関数の積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack -1,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \lbrack -1,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x\sqrt{x+1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\([-1,+\infty )\)上で連続であるため不定積分を持ちます。そこで、\begin{equation}u=\sqrt{x+1} \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、\begin{equation*}
u^{2}=x+1
\end{equation*}を得るため、変数\(u\)に関する関数\begin{equation}x=g\left( u\right) =u^{2}-1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(g\)の定義域を\(\mathbb{R} _{+}\)とすれば値域は\([-1,+\infty )\)であり、これは\(f\)の定義域と一致します。加えて、\(g\)は多項式関数であるため\(C^{1}\)級です。加えて、\(g\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で狭義単調増加であるため単射であり、逆関数\begin{equation}u=g^{-1}\left( x\right) =\sqrt{x+1} \quad \cdots (3)
\end{equation}が存在します。したがって、\begin{eqnarray*}
\int f\left( x\right) dx &=&\int x\sqrt{x+1}dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int \left( u^{2}-1\right) ug^{\prime }\left( u\right) du\quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int \left( u^{2}-1\right) u2udu\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\int \left( 2u^{4}-2u^{2}\right) du \\
&=&\int 2u^{4}du-\int 2u^{2}du\quad \because \text{関数の差の不定積分} \\
&=&2\int u^{4}du-2\int u^{2}du\quad \because \text{関数の定数倍の不定積分} \\
&=&2\cdot \frac{u^{5}}{5}-2\cdot \frac{u^{3}}{3}+C\quad \because \text{自然数ベキ関数の不定積分} \\
&=&\frac{2}{5}\left( \sqrt{x+1}\right) ^{5}-\frac{2}{3}\left( \sqrt{x+1}\right) ^{3}+C\quad \because \left( 3\right) \\
&=&\frac{2}{5}\left( x+1\right) ^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}\left( x+1\right)
^{\frac{3}{2}}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\([-1,+\infty )\)上で連続であるため不定積分を持ちます。そこで、\begin{equation}u=\sqrt{x+1} \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、\begin{equation*}
u^{2}=x+1
\end{equation*}を得るため、変数\(u\)に関する関数\begin{equation}x=g\left( u\right) =u^{2}-1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(g\)の定義域を\(\mathbb{R} _{+}\)とすれば値域は\([-1,+\infty )\)であり、これは\(f\)の定義域と一致します。加えて、\(g\)は多項式関数であるため\(C^{1}\)級です。加えて、\(g\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で狭義単調増加であるため単射であり、逆関数\begin{equation}u=g^{-1}\left( x\right) =\sqrt{x+1} \quad \cdots (3)
\end{equation}が存在します。したがって、\begin{eqnarray*}
\int f\left( x\right) dx &=&\int x\sqrt{x+1}dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int \left( u^{2}-1\right) ug^{\prime }\left( u\right) du\quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int \left( u^{2}-1\right) u2udu\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\int \left( 2u^{4}-2u^{2}\right) du \\
&=&\int 2u^{4}du-\int 2u^{2}du\quad \because \text{関数の差の不定積分} \\
&=&2\int u^{4}du-2\int u^{2}du\quad \because \text{関数の定数倍の不定積分} \\
&=&2\cdot \frac{u^{5}}{5}-2\cdot \frac{u^{3}}{3}+C\quad \because \text{自然数ベキ関数の不定積分} \\
&=&\frac{2}{5}\left( \sqrt{x+1}\right) ^{5}-\frac{2}{3}\left( \sqrt{x+1}\right) ^{3}+C\quad \because \left( 3\right) \\
&=&\frac{2}{5}\left( x+1\right) ^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}\left( x+1\right)
^{\frac{3}{2}}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（無理関数との合成関数の積分）
関数\(f:\left( 1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 1,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x}{\sqrt{x-1}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は区間\(\left( 1,+\infty \right) \)上で連続であるため不定積分が存在します。そこで、\begin{equation}u=\sqrt{x-1} \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、\begin{equation*}
u^{2}=x-1
\end{equation*}を得るため、変数\(u\)に関する関数\begin{equation}x=g\left( u\right) =u^{2}+1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(g\)の定義域を\(\mathbb{R} _{++}\)とすれば、その値域は\(f\)の定義域\(\left( 1,+\infty \right) \)と一致するとともに、\(g\)は多項式関数であるため\(C^{1}\)級です。また、\(g\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で狭義単調増加であるため単射であり、逆関数\begin{equation}u=g^{-1}\left( x\right) =\sqrt{x-1} \quad \cdots (3)
\end{equation}が存在します。したがって、\begin{eqnarray*}
\int f\left( x\right) dx &=&\int \frac{x}{\sqrt{x-1}}dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int \frac{u^{2}+1}{u}g^{\prime }\left( u\right) du\quad \because \left(
1\right) ,\left( 2\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int \left( \frac{u^{2}+1}{u}\cdot 2u\right) du\quad \because \left(
2\right) \\
&=&\int \left( 2u^{2}+2\right) du \\
&=&\frac{2}{3}u^{3}+2u+C\quad \because \frac{d}{du}\left( \frac{2}{3}u^{3}+2u\right) =2u^{2}+2 \\
&=&\frac{2}{3}\left( x-1\right) ^{\frac{3}{2}}+2\sqrt{x-1}+C\quad \because
\left( 3\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は区間\(\left( 1,+\infty \right) \)上で連続であるため不定積分が存在します。そこで、\begin{equation}u=\sqrt{x-1} \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、\begin{equation*}
u^{2}=x-1
\end{equation*}を得るため、変数\(u\)に関する関数\begin{equation}x=g\left( u\right) =u^{2}+1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(g\)の定義域を\(\mathbb{R} _{++}\)とすれば、その値域は\(f\)の定義域\(\left( 1,+\infty \right) \)と一致するとともに、\(g\)は多項式関数であるため\(C^{1}\)級です。また、\(g\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で狭義単調増加であるため単射であり、逆関数\begin{equation}u=g^{-1}\left( x\right) =\sqrt{x-1} \quad \cdots (3)
\end{equation}が存在します。したがって、\begin{eqnarray*}
\int f\left( x\right) dx &=&\int \frac{x}{\sqrt{x-1}}dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int \frac{u^{2}+1}{u}g^{\prime }\left( u\right) du\quad \because \left(
1\right) ,\left( 2\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int \left( \frac{u^{2}+1}{u}\cdot 2u\right) du\quad \because \left(
2\right) \\
&=&\int \left( 2u^{2}+2\right) du \\
&=&\frac{2}{3}u^{3}+2u+C\quad \because \frac{d}{du}\left( \frac{2}{3}u^{3}+2u\right) =2u^{2}+2 \\
&=&\frac{2}{3}\left( x-1\right) ^{\frac{3}{2}}+2\sqrt{x-1}+C\quad \because
\left( 3\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
演習問題
問題（無理関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{3}}+x^{2}-1
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めた上で、定積分\begin{equation*}
\int_{-8}^{1}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めた上で、定積分\begin{equation*}
\int_{-8}^{1}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（無理関数の積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -1,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x\sqrt{x+1}}
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
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