無理関数の原始関数
区間上に定義された無理関数\(f:\mathbb{R} \supset X\supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}と表されるということです。なお、\(f\)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{
\begin{array}{cc}\mathbb{R} & \left( if\ n\text{は奇数}\right) \\ \mathbb{R} _{+} & \left( if\ n\text{は偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。\(n\)が奇数の場合、\(f\)の定義域は\(\mathbb{R} \)であるため\(I\subset \mathbb{R} \)です。\(n\)が偶数の場合、\(f\)の定義域は\(\mathbb{R} _{+}\)であるため\(I\subset \mathbb{R} _{+}\)です。
無理関数は連続であるため原始関数が存在します。具体的には以下の通りです。
命題（無理関数の原始関数）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{
\begin{array}{cc}\mathbb{R} & \left( if\ n\text{は奇数}\right) \\ \mathbb{R} _{+} & \left( if\ n\text{は偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}である。定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\frac{n}{1+n}\cdot x^{\frac{1+n}{n}}+C
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(F\)は\(f\)の原始関数である。すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{
\begin{array}{cc}\mathbb{R} & \left( if\ n\text{は奇数}\right) \\ \mathbb{R} _{+} & \left( if\ n\text{は偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}である。定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\frac{n}{1+n}\cdot x^{\frac{1+n}{n}}+C
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(F\)は\(f\)の原始関数である。すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
無理関数の不定積分
連続関数には原始関数と不定積分が存在することが保証されるとともに両者は一致するため、先の命題を踏まえると、連続関数である無理関数について以下が成り立ちます。
命題（無理関数の不定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{
\begin{array}{cc}\mathbb{R} & \left( if\ n\text{は奇数}\right) \\ \mathbb{R} _{+} & \left( if\ n\text{は偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}である。\(f\)の不定積分が存在し、それは、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{n}{1+n}\cdot x^{\frac{1+n}{n}}+C
\end{equation*}となる。ただし、\(C\)は積分定数である。
\end{equation*}と表されるものとする。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{
\begin{array}{cc}\mathbb{R} & \left( if\ n\text{は奇数}\right) \\ \mathbb{R} _{+} & \left( if\ n\text{は偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}である。\(f\)の不定積分が存在し、それは、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{n}{1+n}\cdot x^{\frac{1+n}{n}}+C
\end{equation*}となる。ただし、\(C\)は積分定数である。
例（無理関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{4}}
\end{equation*}を定めます。\(f\)は区間\(\mathbb{R} _{+}\)上に定義された無理関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}}+C
\end{equation*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めます。\(f\)は区間\(\mathbb{R} _{+}\)上に定義された無理関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}}+C
\end{equation*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（無理関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x^{\frac{1}{2}}+7
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数であるため定積分を持ちます。具体的には、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \left( 3x^{\frac{1}{2}}+7\right) dx \\
&=&\int 3x^{\frac{1}{2}}dx+\int 7dx\quad \because \text{和の法則} \\
&=&3\int x^{\frac{1}{2}}dx+\int 7dx\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&3\cdot \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+7x+C \\
&=&2x^{\frac{3}{2}}+7x+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数であるため定積分を持ちます。具体的には、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \left( 3x^{\frac{1}{2}}+7\right) dx \\
&=&\int 3x^{\frac{1}{2}}dx+\int 7dx\quad \because \text{和の法則} \\
&=&3\int x^{\frac{1}{2}}dx+\int 7dx\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&3\cdot \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+7x+C \\
&=&2x^{\frac{3}{2}}+7x+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（無理関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack -1,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \lbrack -1,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x\sqrt{x+1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\([-1,+\infty )\)上で連続であるため不定積分を持ちます。そこで、\begin{equation}u=\sqrt{x+1} \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、\begin{equation*}
u^{2}=x+1
\end{equation*}を得るため、変数\(u\)に関する関数\begin{equation}x=g\left( u\right) =u^{2}-1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(g\)の定義域を\(\mathbb{R} _{+}\)とすれば値域は\([-1,+\infty )\)であり、これは\(f\)の定義域と一致します。加えて、\(g\)は多項式関数であるため\(C^{1}\)級です。加えて、\(g\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で狭義単調増加であるため単射であり、逆関数\begin{equation}u=g^{-1}\left( x\right) =\sqrt{x+1} \quad \cdots (3)
\end{equation}が存在します。したがって、\begin{eqnarray*}
\int f\left( x\right) dx &=&\int x\sqrt{x+1}dx \\
&=&\int \left( u^{2}-1\right) ug^{\prime }\left( u\right) du\quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int \left( u^{2}-1\right) u2udu\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\int \left( 2u^{4}-2u^{2}\right) du \\
&=&\int 2u^{4}du-\int 2u^{2}du\quad \because \text{差の法則} \\
&=&2\int u^{4}du-2\int u^{2}du\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&2\cdot \frac{u^{5}}{5}-2\cdot \frac{u^{3}}{3}+C \\
&=&\frac{2}{5}\left( \sqrt{x+1}\right) ^{5}-\frac{2}{3}\left( \sqrt{x+1}\right) ^{3}+C\quad \because \left( 3\right) \\
&=&\frac{2}{5}\left( x+1\right) ^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}\left( x+1\right)
^{\frac{3}{2}}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\([-1,+\infty )\)上で連続であるため不定積分を持ちます。そこで、\begin{equation}u=\sqrt{x+1} \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、\begin{equation*}
u^{2}=x+1
\end{equation*}を得るため、変数\(u\)に関する関数\begin{equation}x=g\left( u\right) =u^{2}-1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(g\)の定義域を\(\mathbb{R} _{+}\)とすれば値域は\([-1,+\infty )\)であり、これは\(f\)の定義域と一致します。加えて、\(g\)は多項式関数であるため\(C^{1}\)級です。加えて、\(g\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で狭義単調増加であるため単射であり、逆関数\begin{equation}u=g^{-1}\left( x\right) =\sqrt{x+1} \quad \cdots (3)
\end{equation}が存在します。したがって、\begin{eqnarray*}
\int f\left( x\right) dx &=&\int x\sqrt{x+1}dx \\
&=&\int \left( u^{2}-1\right) ug^{\prime }\left( u\right) du\quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int \left( u^{2}-1\right) u2udu\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\int \left( 2u^{4}-2u^{2}\right) du \\
&=&\int 2u^{4}du-\int 2u^{2}du\quad \because \text{差の法則} \\
&=&2\int u^{4}du-2\int u^{2}du\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&2\cdot \frac{u^{5}}{5}-2\cdot \frac{u^{3}}{3}+C \\
&=&\frac{2}{5}\left( \sqrt{x+1}\right) ^{5}-\frac{2}{3}\left( \sqrt{x+1}\right) ^{3}+C\quad \because \left( 3\right) \\
&=&\frac{2}{5}\left( x+1\right) ^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}\left( x+1\right)
^{\frac{3}{2}}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（無理関数の不定積分）
関数\(f:\left( 1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 1,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x}{\sqrt{x-1}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は区間\(\left( 1,+\infty \right) \)上で連続であるため不定積分が存在します。そこで、\begin{equation}u=\sqrt{x-1} \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、\begin{equation*}
u^{2}=x-1
\end{equation*}を得るため、変数\(u\)に関する関数\begin{equation}x=g\left( u\right) =u^{2}+1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(g\)の定義域を\(\mathbb{R} _{++}\)とすれば、その値域は\(f\)の定義域\(\left( 1,+\infty \right) \)と一致するとともに、\(g\)は多項式関数であるため\(C^{1}\)級です。また、\(g\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で狭義単調増加であるため単射であり、逆関数\begin{equation}u=g^{-1}\left( x\right) =\sqrt{x-1} \quad \cdots (3)
\end{equation}が存在します。したがって、\begin{eqnarray*}
\int f\left( x\right) dx &=&\int \frac{x}{\sqrt{x-1}}dx \\
&=&\int \frac{u^{2}+1}{u}g^{\prime }\left( u\right) du\quad \because \left(
1\right) ,\left( 2\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int \left( \frac{u^{2}+1}{u}\cdot 2u\right) du\quad \because \left(
2\right) \\
&=&\int \left( 2u^{2}+2\right) du \\
&=&\frac{2}{3}u^{3}+2u+C\quad \because \frac{d}{du}\left( \frac{2}{3}u^{3}+2u\right) =2u^{2}+2 \\
&=&\frac{2}{3}\left( x-1\right) ^{\frac{3}{2}}+2\sqrt{x-1}+C\quad \because
\left( 3\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は区間\(\left( 1,+\infty \right) \)上で連続であるため不定積分が存在します。そこで、\begin{equation}u=\sqrt{x-1} \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、\begin{equation*}
u^{2}=x-1
\end{equation*}を得るため、変数\(u\)に関する関数\begin{equation}x=g\left( u\right) =u^{2}+1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(g\)の定義域を\(\mathbb{R} _{++}\)とすれば、その値域は\(f\)の定義域\(\left( 1,+\infty \right) \)と一致するとともに、\(g\)は多項式関数であるため\(C^{1}\)級です。また、\(g\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で狭義単調増加であるため単射であり、逆関数\begin{equation}u=g^{-1}\left( x\right) =\sqrt{x-1} \quad \cdots (3)
\end{equation}が存在します。したがって、\begin{eqnarray*}
\int f\left( x\right) dx &=&\int \frac{x}{\sqrt{x-1}}dx \\
&=&\int \frac{u^{2}+1}{u}g^{\prime }\left( u\right) du\quad \because \left(
1\right) ,\left( 2\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int \left( \frac{u^{2}+1}{u}\cdot 2u\right) du\quad \because \left(
2\right) \\
&=&\int \left( 2u^{2}+2\right) du \\
&=&\frac{2}{3}u^{3}+2u+C\quad \because \frac{d}{du}\left( \frac{2}{3}u^{3}+2u\right) =2u^{2}+2 \\
&=&\frac{2}{3}\left( x-1\right) ^{\frac{3}{2}}+2\sqrt{x-1}+C\quad \because
\left( 3\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
無理関数の定積分
無理関数の原始関数が明らかになったため、微分積分学の第2基本定理を用いることにより、無理関数の定積分を特定できます。具体的には以下の通りです。
命題（無理関数の定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{
\begin{array}{cc}\mathbb{R} & \left( if\ n\text{は奇数}\right) \\ \mathbb{R} _{+} & \left( if\ n\text{は偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}である。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{n}{1+n}\cdot x^{\frac{1+n}{n}}\right] _{a}^{b} \\
&=&\frac{b^{\frac{1+n}{n}}-a^{\frac{1+n}{n}}}{1+n}
\end{eqnarray*}となる。
\end{equation*}と表されるものとする。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{
\begin{array}{cc}\mathbb{R} & \left( if\ n\text{は奇数}\right) \\ \mathbb{R} _{+} & \left( if\ n\text{は偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}である。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{n}{1+n}\cdot x^{\frac{1+n}{n}}\right] _{a}^{b} \\
&=&\frac{b^{\frac{1+n}{n}}-a^{\frac{1+n}{n}}}{1+n}
\end{eqnarray*}となる。
例（無理関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{7}}
\end{equation*}を定めます。先の命題より、\begin{eqnarray*}
\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx &=&\int_{1}^{2}x^{\frac{1}{7}}dx \\
&=&\left[ \frac{7}{8}x^{\frac{8}{7}}\right] _{1}^{2} \\
&=&\frac{7}{8}\cdot 2^{\frac{8}{7}}-\frac{7}{8}\cdot 1^{\frac{8}{7}} \\
&=&\frac{7}{8}\left( 2^{\frac{8}{7}}-1\right)
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めます。先の命題より、\begin{eqnarray*}
\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx &=&\int_{1}^{2}x^{\frac{1}{7}}dx \\
&=&\left[ \frac{7}{8}x^{\frac{8}{7}}\right] _{1}^{2} \\
&=&\frac{7}{8}\cdot 2^{\frac{8}{7}}-\frac{7}{8}\cdot 1^{\frac{8}{7}} \\
&=&\frac{7}{8}\left( 2^{\frac{8}{7}}-1\right)
\end{eqnarray*}となります。
例（無理関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{4}}
\end{equation*}を定めます。先の命題より、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{16}f\left( x\right) dx &=&\int_{0}^{16}x^{\frac{1}{4}}dx \\
&=&\left[ \frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}}\right] _{0}^{16} \\
&=&\frac{4}{5}\cdot \left( 16^{\frac{1}{4}}\right) ^{5}-\frac{4}{5}\cdot
\left( 0^{\frac{1}{4}}\right) ^{5} \\
&=&\frac{4}{5}\cdot 2^{5}-\frac{4}{5}\cdot 0^{5} \\
&=&\frac{4}{5}\cdot 32-\frac{4}{5}\cdot 0 \\
&=&\frac{128}{5}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めます。先の命題より、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{16}f\left( x\right) dx &=&\int_{0}^{16}x^{\frac{1}{4}}dx \\
&=&\left[ \frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}}\right] _{0}^{16} \\
&=&\frac{4}{5}\cdot \left( 16^{\frac{1}{4}}\right) ^{5}-\frac{4}{5}\cdot
\left( 0^{\frac{1}{4}}\right) ^{5} \\
&=&\frac{4}{5}\cdot 2^{5}-\frac{4}{5}\cdot 0^{5} \\
&=&\frac{4}{5}\cdot 32-\frac{4}{5}\cdot 0 \\
&=&\frac{128}{5}
\end{eqnarray*}となります。
例（無理関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x^{\frac{1}{2}}+7
\end{equation*}を定めます。先の命題より、\begin{eqnarray*}
\int_{1}^{4}f\left( x\right) dx &=&\int_{1}^{4}\left( 3x^{\frac{1}{2}}+7\right) dx \\
&=&3\int_{1}^{4}x^{\frac{1}{2}}dx+\int_{1}^{4}7dx \\
&=&3\left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right] _{1}^{4}+\left[ 7x\right] _{1}^{4} \\
&=&3\left[ \frac{2}{3}\cdot \left( 4^{\frac{1}{2}}\right) ^{3}-\frac{2}{3}\cdot \left( 1^{\frac{1}{2}}\right) ^{3}\right] +\left( 7\cdot 4-7\cdot
1\right) \\
&=&3\left( \frac{2}{3}\cdot 8-\frac{2}{3}\cdot 1\right) +21 \\
&=&35
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めます。先の命題より、\begin{eqnarray*}
\int_{1}^{4}f\left( x\right) dx &=&\int_{1}^{4}\left( 3x^{\frac{1}{2}}+7\right) dx \\
&=&3\int_{1}^{4}x^{\frac{1}{2}}dx+\int_{1}^{4}7dx \\
&=&3\left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right] _{1}^{4}+\left[ 7x\right] _{1}^{4} \\
&=&3\left[ \frac{2}{3}\cdot \left( 4^{\frac{1}{2}}\right) ^{3}-\frac{2}{3}\cdot \left( 1^{\frac{1}{2}}\right) ^{3}\right] +\left( 7\cdot 4-7\cdot
1\right) \\
&=&3\left( \frac{2}{3}\cdot 8-\frac{2}{3}\cdot 1\right) +21 \\
&=&35
\end{eqnarray*}となります。
無理関数と純変化量定理
純変化量定理を再掲します。これは微分積分学の第2基本定理から導かれます。
命題（純変化量定理）
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left[ a,b\right] \)上で連続かつ\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であるものとする。さらに、関数\(\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるものとする。この場合には、以下の関係\begin{equation*}f\left( b\right) -f\left( a\right) =\int_{a}^{b}\frac{df\left( x\right) }{dx}dx
\end{equation*}が成立する。
\end{equation*}が成立する。
導関数\(\frac{df}{dx}\)がそれぞれの点\(x\in \left( a,b\right) \)に対して定める値、すなわち点\(x\)における\(f\)の微分係数\begin{equation*}\frac{df\left( x\right) }{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( x+h\right)
-f\left( x\right) }{h}
\end{equation*}とは、点\(x\)における\(f\left(x\right) \)の瞬間変化率に相当する概念です。純変化量定理によると、この瞬間変化率\(\frac{df\left( x\right) }{dx}\)を区間\(\left[ a,b\right] \)上で積分することにより、変数\(x\)が点\(a\)から点\(b\)へ変化する場合の前後における\(f\left( x\right) \)の変化量\begin{equation*}f\left( b\right) -f\left( a\right)
\end{equation*}が得られます。
例（無理関数と純変化量定理）
長さが\(L>0\)の振り子の周期は、\begin{equation*}T\left( L\right) =2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}
\end{equation*}で与えられます。ただし、\(g\)は重力加速度です。\(0<a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、関数\begin{equation*}T:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。振り子の長さを\(a\)から\(b\)へ伸ばした場合、振り子の周期は、\begin{eqnarray*}T\left( b\right) -T\left( a\right) &=&2\pi \sqrt{\frac{b}{g}}-2\pi \sqrt{\frac{a}{g}} \\
&=&\frac{2\pi }{\sqrt{g}}\left( \sqrt{b}-\sqrt{a}\right)
\end{eqnarray*}だけ変化しますが、同じことを純変化量定理から求めます。導関数\(\frac{dT}{dL}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(L\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{dT\left( L\right) }{dL} &=&\frac{d}{dL}2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \\
&=&\frac{2\pi }{\sqrt{g}}\cdot \frac{d}{dL}\sqrt{L} \\
&=&\frac{2\pi }{\sqrt{g}}\cdot \frac{d}{dL}L^{\frac{1}{2}} \\
&=&\frac{\pi }{\sqrt{g}}\cdot L^{-\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。すると、\begin{eqnarray*}
T\left( b\right) -T\left( a\right) &=&\int_{a}^{b}\frac{dT\left( L\right) }{dL}dL\quad \because \text{純変化量定理}
\\
&=&\int_{a}^{b}\frac{\pi }{\sqrt{g}}\cdot L^{-\frac{1}{2}}dL \\
&=&\frac{\pi }{\sqrt{g}}\int_{a}^{b}L^{-\frac{1}{2}}dL \\
&=&\frac{\pi }{\sqrt{g}}\left[ 2L^{\frac{1}{2}}\right] _{a}^{b} \\
&=&\frac{\pi }{\sqrt{g}}\left( 2b^{\frac{1}{2}}-2a^{\frac{1}{2}}\right) \\
&=&\frac{2\pi }{\sqrt{g}}\left( \sqrt{b}-\sqrt{a}\right)
\end{eqnarray*}となるため、先と同様の結果が得られました。
\end{equation*}で与えられます。ただし、\(g\)は重力加速度です。\(0<a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、関数\begin{equation*}T:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。振り子の長さを\(a\)から\(b\)へ伸ばした場合、振り子の周期は、\begin{eqnarray*}T\left( b\right) -T\left( a\right) &=&2\pi \sqrt{\frac{b}{g}}-2\pi \sqrt{\frac{a}{g}} \\
&=&\frac{2\pi }{\sqrt{g}}\left( \sqrt{b}-\sqrt{a}\right)
\end{eqnarray*}だけ変化しますが、同じことを純変化量定理から求めます。導関数\(\frac{dT}{dL}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(L\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{dT\left( L\right) }{dL} &=&\frac{d}{dL}2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \\
&=&\frac{2\pi }{\sqrt{g}}\cdot \frac{d}{dL}\sqrt{L} \\
&=&\frac{2\pi }{\sqrt{g}}\cdot \frac{d}{dL}L^{\frac{1}{2}} \\
&=&\frac{\pi }{\sqrt{g}}\cdot L^{-\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。すると、\begin{eqnarray*}
T\left( b\right) -T\left( a\right) &=&\int_{a}^{b}\frac{dT\left( L\right) }{dL}dL\quad \because \text{純変化量定理}
\\
&=&\int_{a}^{b}\frac{\pi }{\sqrt{g}}\cdot L^{-\frac{1}{2}}dL \\
&=&\frac{\pi }{\sqrt{g}}\int_{a}^{b}L^{-\frac{1}{2}}dL \\
&=&\frac{\pi }{\sqrt{g}}\left[ 2L^{\frac{1}{2}}\right] _{a}^{b} \\
&=&\frac{\pi }{\sqrt{g}}\left( 2b^{\frac{1}{2}}-2a^{\frac{1}{2}}\right) \\
&=&\frac{2\pi }{\sqrt{g}}\left( \sqrt{b}-\sqrt{a}\right)
\end{eqnarray*}となるため、先と同様の結果が得られました。
演習問題
問題（無理関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{3}}+x^{2}-1
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めた上で、定積分\begin{equation*}
\int_{-8}^{1}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めた上で、定積分\begin{equation*}
\int_{-8}^{1}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（無理関数の積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -1,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x\sqrt{x+1}}
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
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