原始関数に関する逆置換の定理
区間上に定義された関数が連続である場合には原始関数が存在することが保証されるものの、原始関数を具体的に特定することが困難であるような状況は多々発生します。そのような場合には、問題をより扱い形へ変換してから原始関数を特定することになります。まずは方針を提示した上で、根拠となる命題を示し、その上で具体例を提示します。
区間上に定義された関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義域上で連続であるものとします。区間上に定義された連続関数は原始関数を持つため、この場合、\(f\)の原始関数\begin{equation*}F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在することが保証されます。つまり、以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in I:\frac{dF\left( x\right) }{dx}=f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす関数\(F\)が存在するということです。ただ、関数\(f\)の原始関数\(F\)を具体的に特定するのが困難であるような状況は起こり得ます。そのような場合、全単射\begin{equation*}g:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を選びます。全単射の定義より、逆関数\begin{equation*}
g^{-1}:g\left( I\right) \rightarrow I
\end{equation*}が存在するとともに、任意の\(\left( x,u\right) \in I\times g\left(I\right) \)について、\begin{equation*}u=g\left( x\right) \Leftrightarrow x=g^{-1}\left( u\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことに注意してください。この場合、合成関数\begin{equation*}
f\circ g^{-1}:g\left( I\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(u\in g\left( I\right) \)に対して、\begin{equation*}\left( f\circ g^{-1}\right) \left( u\right) =f\left( g^{-1}\left( u\right)
\right)
\end{equation*}を定めます。つまり、変数\(x\)に関する関数\(f\)を変数\(u\)に関する関数\(f\circ g^{-1}\)へ置換するということです。加えて、逆関数\(g^{-1}\)が微分可能である場合には導関数\begin{equation*}\frac{dg^{-1}}{du}:g\left( I\right) \rightarrow I
\end{equation*}が存在することが保証されるため、これと先の関数\(f\circ g^{-1}\)を用いることにより新たな関数\begin{equation*}\left( f\circ g^{-1}\right) \cdot \frac{dg^{-1}}{du}:g\left( I\right)
\rightarrow I
\end{equation*}が定義可能です。この関数はそれぞれの\(u\in g\left( I\right) \)に対して、\begin{equation*}\left( \left( f\circ g^{-1}\right) \cdot \frac{dg^{-1}}{du}\right) \left(
u\right) =f\left( g^{-1}\left( u\right) \right) \cdot \frac{dg^{-1}\left(
u\right) }{du}
\end{equation*}を値として定めます。特に、逆関数\(g^{-1}\)が\(C^{1}\)級である場合には関数\(\left( f\circ g^{-1}\right) \cdot \frac{dg^{-1}}{du}\)は連続関数になるため、その原始関数\begin{equation*}H:g\left( I\right) \rightarrow I
\end{equation*}が存在することが保証されます。つまり、\begin{equation*}
\forall u\in g\left( I\right) :\frac{dH\left( u\right) }{du}=\left( \left(
f\circ g^{-1}\right) \cdot \frac{dg^{-1}}{du}\right) \left( u\right)
\end{equation*}が成り立つということです。原始関数\(H\)は変数\(u\)に関する関数\(H\left(u\right) \)ですが、それを\(u=g\left(x\right) \)を用いて変数\(x\)に関する関数\(H\left( g\left( x\right) \right) \)へ変換すれば、すなわち、合成関数\begin{equation*}H\circ g:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}をとれば、それは当初の関数\(f\)の原始関数になることが保証されます。これは逆置換（inverse substitution）と呼ばれる手法です。もとの関数\(f\)の原始関数を求めることが困難である一方、新たな関数\(\left( f\circ g^{-1}\right) \cdot \frac{dg^{-1}}{du}\)の原始関数を求めることが容易である場合、この手法は有用です。
逆置換が有効であることの根拠は以下の命題です。これを逆置換の定理（inverse substitution theorem）と呼びます。証明では微分積分学の基本定理と合成関数の微分を利用します。
命題（原始関数に関する逆置換の定理）
区間上に定義された連続関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。この場合、\(f\)は原始関数を持つ。全単射\(g:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選ぶ。ただし、その逆関数\(g^{-1}:g\left(I\right) \rightarrow I\)は\(C^{1}\)級であるものとする。この場合、関数\(\left( f\circ g^{-1}\right) \cdot \frac{dg^{-1}}{du}:g\left( I\right) \rightarrow I\)が定義可能であるとともに連続関数になるため、原始関数を持つ。そこで、関数\(\left( f\circ g^{-1}\right) \cdot \frac{dg^{-1}}{du}\)の原始関数を任意に選び、それを\(H:g\left(I\right) \rightarrow I\)で表記する。この場合、合成関数\(H\circ g:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能である。実数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}\left( H\circ g+C\right) \left( x\right) =H\left( g\left( x\right) \right) +C
\end{equation*}を定める関数\(H\circ g+C:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、これは\(f\)の原始関数になる。
\end{equation*}を定める関数\(H\circ g+C:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、これは\(f\)の原始関数になる。
上の命題を根拠に、関数\(f\left( x\right) \)の変数を変換した上で原始関数を特定する手法を逆\(u\)-置換（inverse \(u\)-substitution）、または逆置換（inverse substitution）などと呼びます。逆置換を用いて原始関数を求める手順を改めて整理します。
- 区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が連続であることを確認する。この場合、\(f\)の原始関数が存在することが保証される。
- 全単射\(g:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を選ぶ。ただし、逆関数\(g^{-1}:g\left( I\right) \rightarrow I\)が\(C^{1}\)級でなければならない。このとき、任意の\(\left( x,u\right) \in I\times g\left( I\right) \)に対して、\begin{equation*}u=g\left( x\right) \Leftrightarrow x=g^{-1}\left( u\right) \end{equation*}という関係が成り立つため、以上の関係を用いて、変数\(x\)に関する関数\(f\left( x\right) \)を変数\(u\)に関する関数\begin{equation*}f\left( g^{-1}\left( u\right) \right)
\end{equation*}に変換する。 - 逆関数\(g^{-1}:g\left( I\right) \rightarrow I\)を微分して導関数\begin{equation*}\frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}\end{equation*}を求める。
- 以上の二つの関数の積\begin{equation*}f\left( g^{-1}\left( u\right) \right) \cdot \frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}
\end{equation*}をとり、その原始関数\(H\left( u\right) \)を求める。 - 得られた原始関数\(H\left( u\right) \)は変数\(u\)に関する関数であるため、\(u=g\left(x\right) \)を用いてそれを変数\(x\)に関する関数\(H\left( g\left(x\right) \right) \)へ変換する。関数\(H\left( g\left( x\right) \right) +C\)は\(f\)の原始関数である。
以下が具体例です。
例（原始関数に関する逆置換）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 2x+1\right) ^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数であるため原始関数が存在します。以下の関数\begin{equation}u=g\left( x\right) =2x+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}に注目します。\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は全単射であるため逆関数\(g^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、それは、\begin{equation}x=g^{-1}\left( u\right) =\frac{u-1}{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。\(g^{-1}\)は\(C^{1}\)級であるため逆置換を利用できます。具体的には、\begin{eqnarray*}f\left( g^{-1}\left( u\right) \right) \cdot \frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du} &=&u^{2}\cdot \frac{1}{2}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\frac{u^{2}}{2}
\end{eqnarray*}であり、その原始関数は、\begin{equation*}
\frac{1}{3}u^{3}+C
\end{equation*}です。\(\left( 1\right) \)を用いてこれを変数\(x\)に関する関数に変換すると、\begin{equation*}\frac{1}{3}\left( 2x+1\right) ^{3}+C
\end{equation*}を得ますが、先の命題より、これはもとの関数\(f\)の原始関数です。実際、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}\frac{d}{dx}\left[ \frac{1}{3}\left( 2x+1\right) ^{3}+C\right] &=&\left(
2x+1\right) ^{2}+0 \\
&=&\left( 2x+1\right) ^{2} \\
&=&f\left( x\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成立しています。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数であるため原始関数が存在します。以下の関数\begin{equation}u=g\left( x\right) =2x+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}に注目します。\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は全単射であるため逆関数\(g^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、それは、\begin{equation}x=g^{-1}\left( u\right) =\frac{u-1}{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。\(g^{-1}\)は\(C^{1}\)級であるため逆置換を利用できます。具体的には、\begin{eqnarray*}f\left( g^{-1}\left( u\right) \right) \cdot \frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du} &=&u^{2}\cdot \frac{1}{2}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\frac{u^{2}}{2}
\end{eqnarray*}であり、その原始関数は、\begin{equation*}
\frac{1}{3}u^{3}+C
\end{equation*}です。\(\left( 1\right) \)を用いてこれを変数\(x\)に関する関数に変換すると、\begin{equation*}\frac{1}{3}\left( 2x+1\right) ^{3}+C
\end{equation*}を得ますが、先の命題より、これはもとの関数\(f\)の原始関数です。実際、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}\frac{d}{dx}\left[ \frac{1}{3}\left( 2x+1\right) ^{3}+C\right] &=&\left(
2x+1\right) ^{2}+0 \\
&=&\left( 2x+1\right) ^{2} \\
&=&f\left( x\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成立しています。
例（原始関数に関する逆置換）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 1,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x}{\sqrt{x-1}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数であるため原始関数が存在します。以下の関数\begin{equation}u=g\left( x\right) =\sqrt{x-1} \quad \cdots (1)
\end{equation}に注目します。\(g:\left( 1,+\infty\right) \rightarrow \mathbb{R} \)は全単射であるため逆関数\(g^{-1}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \left( 1,+\infty \right) \)が存在し、それは、\begin{equation}x=g^{-1}\left( u\right) =u^{2}+1 \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。\(g^{-1}\)は\(C^{1}\)級であるため逆置換を利用できます。具体的には、\begin{eqnarray*}f\left( g^{-1}\left( u\right) \right) \cdot \frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du} &=&\frac{u^{2}+1}{u}\cdot 2u\quad \because \left( 2\right) \\
&=&2\left( u^{2}+1\right) \\
&=&2u^{2}+2
\end{eqnarray*}であり、その原始関数は、\begin{equation*}
\frac{2}{3}u^{3}+2u+C
\end{equation*}です。\(\left( 1\right) \)を用いてこれを変数\(x\)に関する関数に変換すると、\begin{equation*}\frac{2}{3}\left( \sqrt{x-1}\right) ^{3}+2\sqrt{x-1}+C=\frac{2}{3}\left(
x-1\right) ^{\frac{3}{2}}+2\left( x-1\right) ^{\frac{1}{2}}+C
\end{equation*}を得ますが、先の命題より、これはもとの関数\(f\)の原始関数です。実際、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}\frac{d}{dx}\left[ \frac{2}{3}\left( x-1\right) ^{\frac{3}{2}}+2\left(
x-1\right) ^{\frac{1}{2}}+C\right] &=&\left( x-1\right) ^{\frac{1}{2}}+\left( x-1\right) ^{-\frac{1}{2}}+0 \\
&=&\sqrt{x-1}+\frac{1}{\sqrt{x-1}} \\
&=&\frac{x-1+1}{\sqrt{x-1}} \\
&=&\frac{x}{\sqrt{x-1}} \\
&=&f\left( x\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成立しています。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数であるため原始関数が存在します。以下の関数\begin{equation}u=g\left( x\right) =\sqrt{x-1} \quad \cdots (1)
\end{equation}に注目します。\(g:\left( 1,+\infty\right) \rightarrow \mathbb{R} \)は全単射であるため逆関数\(g^{-1}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \left( 1,+\infty \right) \)が存在し、それは、\begin{equation}x=g^{-1}\left( u\right) =u^{2}+1 \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。\(g^{-1}\)は\(C^{1}\)級であるため逆置換を利用できます。具体的には、\begin{eqnarray*}f\left( g^{-1}\left( u\right) \right) \cdot \frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du} &=&\frac{u^{2}+1}{u}\cdot 2u\quad \because \left( 2\right) \\
&=&2\left( u^{2}+1\right) \\
&=&2u^{2}+2
\end{eqnarray*}であり、その原始関数は、\begin{equation*}
\frac{2}{3}u^{3}+2u+C
\end{equation*}です。\(\left( 1\right) \)を用いてこれを変数\(x\)に関する関数に変換すると、\begin{equation*}\frac{2}{3}\left( \sqrt{x-1}\right) ^{3}+2\sqrt{x-1}+C=\frac{2}{3}\left(
x-1\right) ^{\frac{3}{2}}+2\left( x-1\right) ^{\frac{1}{2}}+C
\end{equation*}を得ますが、先の命題より、これはもとの関数\(f\)の原始関数です。実際、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}\frac{d}{dx}\left[ \frac{2}{3}\left( x-1\right) ^{\frac{3}{2}}+2\left(
x-1\right) ^{\frac{1}{2}}+C\right] &=&\left( x-1\right) ^{\frac{1}{2}}+\left( x-1\right) ^{-\frac{1}{2}}+0 \\
&=&\sqrt{x-1}+\frac{1}{\sqrt{x-1}} \\
&=&\frac{x-1+1}{\sqrt{x-1}} \\
&=&\frac{x}{\sqrt{x-1}} \\
&=&f\left( x\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成立しています。
不定積分に関する逆置換の定理
連続関数には原始関数と不定積分が存在することが保証されるとともに両者は一致するため、先の命題を踏まえると、不定積分に関する以下の命題が得られます。
命題（不定積分に関する逆置換の定理）
区間上に定義された連続関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。この場合、\(f\)は不定積分を持つ。全単射\(g:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選ぶ。ただし、その逆関数\(g^{-1}:g\left(I\right) \rightarrow I\)は\(C^{1}\)級であるものとする。この場合、関数\(\left( f\circ g^{-1}\right) \cdot \frac{dg^{-1}}{du}:g\left( I\right) \rightarrow I\)が定義可能であるとともに連続関数になるため、不定積分を持つ。そこで、関数\(\left( f\circ g^{-1}\right) \cdot \frac{dg^{-1}}{du}\)の不定積分を任意に選び、それを\(H:g\left(I\right) \rightarrow I\)で表記する。この場合、合成関数\(H\circ g:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であるとともに、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=H\circ g+C
\end{equation*}となる。ただし、\(C\)は積分定数である。
\end{equation*}となる。ただし、\(C\)は積分定数である。
逆置換を用いて不定積分を求める手順を改めて整理します。
- 区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が連続であることを確認する。この場合、\(f\)の不定積分が存在することが保証される。
- 全単射\(g:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を選ぶ。ただし、逆関数\(g^{-1}:g\left( I\right) \rightarrow I\)が\(C^{1}\)級でなければならない。このとき、任意の\(\left( x,u\right) \in I\times g\left( I\right) \)に対して、\begin{equation*}u=g\left( x\right) \Leftrightarrow x=g^{-1}\left( u\right) \end{equation*}という関係が成り立つため、以上の関係を用いて、変数\(x\)に関する関数\(f\left( x\right) \)を変数\(u\)に関する関数\begin{equation*}f\left( g^{-1}\left( u\right) \right)
\end{equation*}に変換する。 - 逆関数\(g^{-1}:g\left( I\right) \rightarrow I\)を微分して導関数\begin{equation*}\frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}\end{equation*}を求める。
- 以上の二つの関数の積\begin{equation*}f\left( g^{-1}\left( u\right) \right) \cdot \frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}
\end{equation*}をとり、その不定積分\begin{equation*}
\int f\left( g^{-1}\left( u\right) \right) \cdot \frac{dg^{-1}\left(
u\right) }{du}du
\end{equation*}を求める。 - 得られた不定積分は変数\(u\)に関する関数からなる集合であるため、\(u=g\left( x\right) \)を用いてそれを変数\(x\)に関する関数からなる集合へ変換すれば\(f\)の不定積分が得られる。
以下が具体例です。
例（不定積分に関する逆置換）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 2x+1\right) ^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数であるため不定積分が存在します。以下の関数\begin{equation}u=g\left( x\right) =2x+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}に注目します。\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は全単射であるため逆関数\(g^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、それは、\begin{equation}x=g^{-1}\left( u\right) =\frac{u-1}{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。\(g^{-1}\)は\(C^{1}\)級であるため逆置換を利用できます。具体的には、\begin{eqnarray*}\int f\left( g^{-1}\left( u\right) \right) \frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}du &=&\int \left( u^{2}\cdot \frac{1}{2}\right) du\quad \because \left(
2\right) \\
&=&\int \left( \frac{1}{2}u^{2}\right) du \\
&=&\frac{1}{6}u^{3}+C
\end{eqnarray*}であるため、これと\(\left( 1\right) \)より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{1}{6}\left( 2x+1\right) ^{3}+C
\end{equation*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数であるため不定積分が存在します。以下の関数\begin{equation}u=g\left( x\right) =2x+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}に注目します。\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は全単射であるため逆関数\(g^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、それは、\begin{equation}x=g^{-1}\left( u\right) =\frac{u-1}{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。\(g^{-1}\)は\(C^{1}\)級であるため逆置換を利用できます。具体的には、\begin{eqnarray*}\int f\left( g^{-1}\left( u\right) \right) \frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}du &=&\int \left( u^{2}\cdot \frac{1}{2}\right) du\quad \because \left(
2\right) \\
&=&\int \left( \frac{1}{2}u^{2}\right) du \\
&=&\frac{1}{6}u^{3}+C
\end{eqnarray*}であるため、これと\(\left( 1\right) \)より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{1}{6}\left( 2x+1\right) ^{3}+C
\end{equation*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（不定積分に関する逆置換）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 1,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x}{\sqrt{x-1}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数であるため不定積分が存在します。以下の関数\begin{equation}u=g\left( x\right) =\sqrt{x-1} \quad \cdots (1)
\end{equation}に注目します。\(g:\left( 1,+\infty\right) \rightarrow \mathbb{R} \)は全単射であるため逆関数\(g^{-1}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \left( 1,+\infty \right) \)が存在し、それは、\begin{equation}x=g^{-1}\left( u\right) =u^{2}+1 \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。\(g^{-1}\)は\(C^{1}\)級であるため逆置換を利用できます。具体的には、\begin{eqnarray*}\int f\left( g^{-1}\left( u\right) \right) \frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}du &=&\int \left( \frac{u^{2}+1}{u}\cdot 2u\right) du\quad \because \left(
2\right) \\
&=&\int 2\left( u^{2}+1\right) du \\
&=&\int \left( 2u^{2}+2\right) du \\
&=&\frac{2}{3}u^{3}+2u+C
\end{eqnarray*}であるため、これと\(\left( 1\right) \)より、\(f\)の不定積分は、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\frac{2}{3}\left( \sqrt{x-1}\right) ^{3}+2\sqrt{x-1}+C\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{2}{3}\left( x-1\right) ^{\frac{3}{2}}+2\left( x-1\right) ^{\frac{1}{2}}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数であるため不定積分が存在します。以下の関数\begin{equation}u=g\left( x\right) =\sqrt{x-1} \quad \cdots (1)
\end{equation}に注目します。\(g:\left( 1,+\infty\right) \rightarrow \mathbb{R} \)は全単射であるため逆関数\(g^{-1}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \left( 1,+\infty \right) \)が存在し、それは、\begin{equation}x=g^{-1}\left( u\right) =u^{2}+1 \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。\(g^{-1}\)は\(C^{1}\)級であるため逆置換を利用できます。具体的には、\begin{eqnarray*}\int f\left( g^{-1}\left( u\right) \right) \frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}du &=&\int \left( \frac{u^{2}+1}{u}\cdot 2u\right) du\quad \because \left(
2\right) \\
&=&\int 2\left( u^{2}+1\right) du \\
&=&\int \left( 2u^{2}+2\right) du \\
&=&\frac{2}{3}u^{3}+2u+C
\end{eqnarray*}であるため、これと\(\left( 1\right) \)より、\(f\)の不定積分は、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\frac{2}{3}\left( \sqrt{x-1}\right) ^{3}+2\sqrt{x-1}+C\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{2}{3}\left( x-1\right) ^{\frac{3}{2}}+2\left( x-1\right) ^{\frac{1}{2}}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
定積分に関する逆置換の定理
原始関数に関する逆置換の定理と微分積分学の第2基本定理を用いることにより、定積分に関する逆置換の定理を導くことができます。具体的には以下の通りです。
命題（定積分に関する逆置換の定理）
区間上に定義された連続関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、この場合、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能である。全単射\(g:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選ぶ。ただし、その逆関数\(g^{-1}:g\left(I\right) \rightarrow I\)は\(C^{1}\)級であるものとする。この場合、関数\(\left( f\circ g^{-1}\right) \cdot \frac{dg^{-1}}{du}:g\left( I\right) \rightarrow I\)が定義可能であるとともに連続関数になるため、\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能である。この場合、関数\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上での定積分は、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\int_{g\left( a\right) }^{g\left( b\right)
}\left( f\circ g^{-1}\right) \cdot \frac{dg^{-1}}{du}du
\end{equation*}となる。
}\left( f\circ g^{-1}\right) \cdot \frac{dg^{-1}}{du}du
\end{equation*}となる。
逆置換を用いて定積分を求める手順を改めて整理します。
- 区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が連続であることを確認する。この場合、\(f\)がリーマン積分可能であることが保証される。
- 全単射\(g:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を選ぶ。ただし、逆関数\(g^{-1}:g\left( I\right) \rightarrow I\)が\(C^{1}\)級でなければならない。このとき、任意の\(\left( x,u\right) \in I\times g\left( I\right) \)に対して、\begin{equation*}u=g\left( x\right) \Leftrightarrow x=g^{-1}\left( u\right) \end{equation*}という関係が成り立つため、以上の関係を用いて、変数\(x\)に関する関数\(f\left( x\right) \)を変数\(u\)に関する関数\begin{equation*}f\left( g^{-1}\left( u\right) \right)
\end{equation*}に変換する。 - 逆関数\(g^{-1}:g\left( I\right) \rightarrow I\)を微分して導関数\begin{equation*}\frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}\end{equation*}を求める。
- 以上の二つの関数の積\begin{equation*}f\left( g^{-1}\left( u\right) \right) \cdot \frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}
\end{equation*}をとる。 - 積分区間を\(\left[ a,b\right] \)から\(\left[ g\left( a\right) ,g\left( b\right) \right] \)へ変換した上で、先の関数\(f\left( g^{-1}\left( u\right) \right) \cdot \frac{dg^{-1}\left(u\right) }{du}\)を\(\left[ g\left( a\right) ,g\left( b\right) \right] \)上でリーマン積分する。得られた定積分はもとの関数\(f\)の\(\left[ a,b\right]\)上での定積分と一致する。つまり、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\int_{g\left( a\right) }^{g\left( b\right)}f\left( g^{-1}\left( u\right) \right) \cdot \frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}du
\end{equation*}を計算する。
以下が具体例です。
例（定積分に関する逆置換）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 2x+1\right) ^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数を\(\left[ -2,2\right] \)上で積分します。\(f\)は連続関数であるため積分可能です。以下の関数\begin{equation}u=g\left( x\right) =2x+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}に注目します。\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は全単射であるため逆関数\(g^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、それは、\begin{equation}x=g^{-1}\left( u\right) =\frac{u-1}{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。\(g^{-1}\)は\(C^{1}\)級であるため逆置換を利用できます。具体的には、\(\left( 1\right) \)用いて積分区間を、\begin{equation*}\left[ -2,2\right] \rightarrow \left[ g\left( -2\right) ,g\left( 2\right) \right] =\left[ -3,5\right] \end{equation*}と変換した上で逆置換を利用すると、\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&\int_{-1}^{1}\left( 2x+1\right)
^{2}dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int_{-3}^{5}f\left( g^{-1}\left( u\right) \right) \cdot \frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}du\quad \because \text{逆置換}
\\
&=&\int_{-3}^{5}\left( u^{2}\cdot \frac{1}{2}\right) du\quad \because \left(
2\right) \\
&=&\int_{-3}^{5}\left( \frac{1}{2}u^{2}\right) du \\
&=&\left[ \frac{1}{6}u^{3}\right] _{-3}^{5} \\
&=&\frac{1}{6}\left( 5\right) ^{3}-\frac{1}{6}\left( -3\right) ^{3} \\
&=&\frac{76}{3}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数を\(\left[ -2,2\right] \)上で積分します。\(f\)は連続関数であるため積分可能です。以下の関数\begin{equation}u=g\left( x\right) =2x+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}に注目します。\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は全単射であるため逆関数\(g^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、それは、\begin{equation}x=g^{-1}\left( u\right) =\frac{u-1}{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。\(g^{-1}\)は\(C^{1}\)級であるため逆置換を利用できます。具体的には、\(\left( 1\right) \)用いて積分区間を、\begin{equation*}\left[ -2,2\right] \rightarrow \left[ g\left( -2\right) ,g\left( 2\right) \right] =\left[ -3,5\right] \end{equation*}と変換した上で逆置換を利用すると、\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&\int_{-1}^{1}\left( 2x+1\right)
^{2}dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int_{-3}^{5}f\left( g^{-1}\left( u\right) \right) \cdot \frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}du\quad \because \text{逆置換}
\\
&=&\int_{-3}^{5}\left( u^{2}\cdot \frac{1}{2}\right) du\quad \because \left(
2\right) \\
&=&\int_{-3}^{5}\left( \frac{1}{2}u^{2}\right) du \\
&=&\left[ \frac{1}{6}u^{3}\right] _{-3}^{5} \\
&=&\frac{1}{6}\left( 5\right) ^{3}-\frac{1}{6}\left( -3\right) ^{3} \\
&=&\frac{76}{3}
\end{eqnarray*}となります。
例（定積分に関する逆置換）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 1,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x}{\sqrt{x-1}}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数を\(\left[ 2,5\right] \)上で積分します。\(f\)は連続関数であるため積分可能です。以下の関数\begin{equation}u=g\left( x\right) =\sqrt{x-1} \quad \cdots (1)
\end{equation}に注目します。\(g:\left( 1,+\infty\right) \rightarrow \mathbb{R} \)は全単射であるため逆関数\(g^{-1}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \left( 1,+\infty \right) \)が存在し、それは、\begin{equation}x=g^{-1}\left( u\right) =u^{2}+1 \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。\(g^{-1}\)は\(C^{1}\)級であるため逆置換を利用できます。具体的には、\(\left( 1\right) \)用いて積分区間を、\begin{equation*}\left[ 2,5\right] \rightarrow \left[ g\left( 2\right) ,g\left( 5\right) \right] =\left[ 1,2\right] \end{equation*}と変換した上で逆置換を利用すると、\begin{eqnarray*}
\int_{2}^{5}f\left( x\right) dx &=&\int_{2}^{5}\left( 2x+1\right)
^{2}dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int_{1}^{2}f\left( g^{-1}\left( u\right) \right) \cdot \frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}du\quad \because \text{逆置換}
\\
&=&\int_{1}^{2}\left( \frac{u^{2}+1}{u}\cdot 2u\right) du\quad \because
\left( 2\right) \\
&=&\int_{1}^{2}\left( 2u^{2}+2\right) du \\
&=&\left[ \frac{2}{3}u^{3}+2u\right] _{1}^{2} \\
&=&\left( \frac{2}{3}\cdot 2^{3}+2\cdot 2\right) -\left( \frac{2}{3}\cdot
1^{3}+2\cdot 1\right) \\
&=&\frac{20}{3}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数を\(\left[ 2,5\right] \)上で積分します。\(f\)は連続関数であるため積分可能です。以下の関数\begin{equation}u=g\left( x\right) =\sqrt{x-1} \quad \cdots (1)
\end{equation}に注目します。\(g:\left( 1,+\infty\right) \rightarrow \mathbb{R} \)は全単射であるため逆関数\(g^{-1}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \left( 1,+\infty \right) \)が存在し、それは、\begin{equation}x=g^{-1}\left( u\right) =u^{2}+1 \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。\(g^{-1}\)は\(C^{1}\)級であるため逆置換を利用できます。具体的には、\(\left( 1\right) \)用いて積分区間を、\begin{equation*}\left[ 2,5\right] \rightarrow \left[ g\left( 2\right) ,g\left( 5\right) \right] =\left[ 1,2\right] \end{equation*}と変換した上で逆置換を利用すると、\begin{eqnarray*}
\int_{2}^{5}f\left( x\right) dx &=&\int_{2}^{5}\left( 2x+1\right)
^{2}dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int_{1}^{2}f\left( g^{-1}\left( u\right) \right) \cdot \frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}du\quad \because \text{逆置換}
\\
&=&\int_{1}^{2}\left( \frac{u^{2}+1}{u}\cdot 2u\right) du\quad \because
\left( 2\right) \\
&=&\int_{1}^{2}\left( 2u^{2}+2\right) du \\
&=&\left[ \frac{2}{3}u^{3}+2u\right] _{1}^{2} \\
&=&\left( \frac{2}{3}\cdot 2^{3}+2\cdot 2\right) -\left( \frac{2}{3}\cdot
1^{3}+2\cdot 1\right) \\
&=&\frac{20}{3}
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
問題（置換積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x\left( 2x+1\right) ^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}と定積分\begin{equation*}
\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx
\end{equation*}をそれぞれ求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}と定積分\begin{equation*}
\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx
\end{equation*}をそれぞれ求めてください。
問題（置換積分）
関数\(f:[-1,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \lbrack -1,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x\sqrt{x+1}
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}と定積分\begin{equation*}
\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx
\end{equation*}をそれぞれ求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}と定積分\begin{equation*}
\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx
\end{equation*}をそれぞれ求めてください。
問題（置換積分）
関数\(f:[-1,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \lbrack -1,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x^{2}\sqrt{1+x^{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}と定積分\begin{equation*}
\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx
\end{equation*}をそれぞれ求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}と定積分\begin{equation*}
\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx
\end{equation*}をそれぞれ求めてください。
問題（置換積分）
以下の不定積分\begin{equation*}
\int e^{\frac{x}{2}}dx
\end{equation*}を求めてください。
\int e^{\frac{x}{2}}dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（置換積分）
以下の不定積分\begin{equation*}
\int \left( 3x+2\right) ^{5}dx
\end{equation*}を求めてください。
\int \left( 3x+2\right) ^{5}dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（置換積分）
以下の不定積分\begin{equation*}
\int \frac{1}{\sqrt{1+4x}}dx
\end{equation*}を求めてください。
\int \frac{1}{\sqrt{1+4x}}dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（置換積分）
以下の不定積分\begin{equation*}
\int \frac{x^{2}}{x^{3}+1}dx
\end{equation*}を求めてください。
\int \frac{x^{2}}{x^{3}+1}dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（置換積分）
以下の不定積分\begin{equation*}
\int \left( 1-3x\right) ^{\frac{1}{3}}dx
\end{equation*}を求めてください。
\int \left( 1-3x\right) ^{\frac{1}{3}}dx
\end{equation*}を求めてください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】