問題1（40点）
問題（積分の計算）
以下の問いに答えてください（各8点）。
- 以下の不定積分\begin{equation*}\int e^{x}\cos \left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。 - 以下の定積分\begin{equation*}\int_{0}^{\pi }x\sin \left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。 - \(a>0\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の定積分\begin{equation*}\int_{0}^{1}\frac{x}{1+ax^{2}}dx\end{equation*}を求めてください。
- 区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)は微分可能であるとともに任意の\(x\in I\)について\(f\left( x\right) >0\)が成り立つものとします。以下の定積分\begin{equation*}\int_{0}^{1}\frac{f^{\prime }\left( x\right) }{f\left( x\right) }dx\end{equation*}を求めてください。
- 以下の定積分\begin{equation*}\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{\tan \left( x\right) }{1+\tan ^{2}\left(
x\right) }dx
\end{equation*}を求めてください。
問題2（40点）
問題（サイクリストのエネルギー消費）
サイクリストが直線道路を走行します。出発後\(t\geq 0\)分後の速度（km/min）が、\begin{equation*}v\left( t\right) =0.3+0.2\left( 1-e^{-\frac{t}{10}}\right)
\end{equation*}であるものとします。また、単位時間あたりのエネルギー消費量（kcal/min）が、\begin{equation*}
P\left( t\right) =50v\left( t\right)
\end{equation*}であるものとします。以下の問いに答えてください（各8点）。
\end{equation*}であるものとします。また、単位時間あたりのエネルギー消費量（kcal/min）が、\begin{equation*}
P\left( t\right) =50v\left( t\right)
\end{equation*}であるものとします。以下の問いに答えてください（各8点）。
- 速度\(v\left( t\right) \)が狭義単調増加であることを示し、その上限を求めてください。
- 時点\(t>0\)までに進んだ距離\(S\left( t\right) \)を求めてください。
- 時点\(t>0\)における平均速度\begin{equation*}\overline{v}\left( t\right) =\frac{S\left( t\right) }{t}\end{equation*}を求めた上で、\(t\rightarrow+\infty \)の場合の極限を求めてください。その上で、結果を解釈してください。
- 任意の時点\(t>0\)において、\begin{equation*}0.3<\overline{v}\left( t\right) <0.5\end{equation*}が成り立つことを示してください。
- 時点\(t>0\)におけるエネルギー消費量\(P\left( t\right) \)と、平均消費量\begin{equation*}\overline{P}\left( t\right) =\frac{1}{t}\int_{0}^{t}P\left( s\right) ds\end{equation*}の間には以下の関係\begin{equation*}
\overline{P}\left( t\right) <P\left( t\right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
問題3（20点）
問題（リーマン積分の定義）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
x & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
0 & \left( if\ x=1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。
\begin{array}{cl}
x & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
0 & \left( if\ x=1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。
- 区間\(\left[ 0,1\right] \)の分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を任意に選んだとき、各小区間\(\left[x_{k-1},x_{k}\right] \)における上限と下限\begin{eqnarray*}M_{k} &=&\sup \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ x_{k-1},x_{k}\right] \right\} \\m_{k} &=&\inf \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ x_{k-1},x_{k}\right] \right\}
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください（6点）。 - 上リーマン和\(U\left( f,P\right) \)と下リーマン和\(L\left( f,P\right) \)をそれぞれ求めた上で両者の差\(U\left( f,P\right) -L\left(f,P\right) \)をとり、これを利用して関数\(f\)が\(\left[ 0,1\right] \)上でリーマン積分可能であることを示してください（8点）。
- 定積分\(\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx\)を求めてください（6点）。
会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】