対数関数を用いた有理関数の積分

対数関数を用いた有理関数の積分

区間上に定義された有理関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、多項式関数\begin{eqnarray*}g &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \\
h &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}と表されるということです。有理関数は連続であるため原始関数と不定積分が存在することが保証されるとともに両者は一致します。ただ、有理関数をそのままの形で積分するのは容易ではありません。ただし、\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}\ln \left( \left\vert h\left( x\right) \right\vert \right)
&=&\left. \frac{d}{dy}\ln \left( \left\vert y\right\vert \right) \right\vert
_{y=h\left( x\right) }\cdot \frac{d}{dx}h\left( x\right) \quad \because
\text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{1}{y}\right\vert _{y=h\left( x\right) }\cdot \frac{d}{dx}h\left( x\right) \\
&=&\frac{h^{\prime }\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\frac{d}{dx}\ln \left( \left\vert h\left( x\right) \right\vert \right) =\frac{h^{\prime }\left( x\right) }{h\left( x\right) } \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、2つの多項式関数\(g,h\)の間に以下の関係\begin{equation}g\left( x\right) =h^{\prime }\left( x\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つ場合には、つまり\(g\)が\(h\)の導関数である場合には、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }dx \\
&=&\int \frac{h^{\prime }\left( x\right) }{h\left( x\right) }dx\quad
\because \left( 2\right) \\
&=&\ln \left( \left\vert h\left( x\right) \right\vert \right) +C\quad
\because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となり、有理関数の積分が完了します。ただし、\(C\)は積分定数です。

対数関数と定数倍の法則を用いた有理関数の積分

有理関数\(\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)を構成する2つの多項式関数\(g,h\)の間に以下の関係\begin{equation*}g\left( x\right) =h^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}が成立しない場合でも、何らかの定数\(c\in \mathbb{R} \)のもとで以下の関係\begin{equation}g\left( x\right) =ch^{\prime }\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}
\int \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }dx &=&\int \frac{ch^{\prime
}\left( x\right) }{h\left( x\right) }dx\quad \because \left( 1\right) \\
&=&c\int \frac{h^{\prime }\left( x\right) }{h\left( x\right) }dx\quad
\because \text{定数倍の法則} \\
&=&c\ln \left( \left\vert h\left( x\right) \right\vert \right) +C
\end{eqnarray*}となり、有理関数の積分が完了します。ただし、\(C\)は積分定数です。

対数関数と約分を用いた有理関数の積分

有理関数\(\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)を構成する2つの多項式関数\(g,h\)の間に以下の関係\begin{equation*}g\left( x\right) =h^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}が成立しない場合でも、\(g\left( x\right) \)と\(h\left( x\right) \)が共有する因数を約分することにより先の形へ変形できるのであれば、先と同じ要領で有理関数の積分が完了します。

演習問題