関数の振幅を用いたリーマン積分可能性の判定

積分可能性に関するコーシーの判定条件

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が有界であるものとします。区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)および代表点の組\(P^{\ast }=\left\{ x_{k}^{\ast}\right\} _{k=1}^{n}\)が与えられれば、関数\(f\)のリーマン和は、\begin{equation*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) =\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right)
\cdot f\left( x_{k}^{\ast }\right)
\end{equation*}として定まります。ただし、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)とは以下の条件\begin{equation*}a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b
\end{equation*}を満たす有限個の点\(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n-1},x_{n}\in \mathbb{R} \)からなる組であり、代表点の組\(P^{\ast }\)とは以下の条件\begin{equation*}x_{k}^{\ast }\in \left[ x_{k-1},x_{k}\right] \end{equation*}を満たす有限個の点\(x_{1}^{\ast },\cdots ,x_{n}^{\ast }\in \mathbb{R} \)からなる組です。また、分割\(P\)の大きさは、\begin{equation*}\left\vert P\right\vert =\max \left\{ x_{k}-x_{k-1}\in \mathbb{R} \ |\ k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \right\}
\end{equation*}と定義されます。関数\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であることとは、分割\(P\)の大きさを\(0\)に限りなく近づける形で分割を変更していった場合、代表点の組\(P^{\ast }\)の選び方とは関係なく、関数\(f\)のリーマン和がある有限な実数\(\alpha \in \mathbb{R} \)へ限りなく近づくこと、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -\alpha \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。このとき、上の極限\(\alpha \)を\(f\)の\(\left[a,b\right] \)間の定積分と呼び、そのことを、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\alpha
\end{equation*}で表記します。

関数\(f\)のリーマン和\(S\left(f,P,P^{\ast }\right) \)は区間の分割\(P\)に依存するだけでなく、分割\(P\)に対する代表点の組\(P^{\ast }\)の選び方にも依存します。関数\(f\)がリーマン積分可能であることを示す際には分割\(P\)と代表点の組\(P^{\ast }\)をともに動かす状況を想定する必要があるため、多くの場合、その手続きは煩雑になります。よりシンプルな条件を用いて関数がリーマン積分可能であることを判定できれば、それはより望ましいと言えます。

有界な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を選べば、\(f\)の上リーマン和は、\begin{equation*}U\left( f,P\right) =\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot M_{k}
\end{equation*}と定義され、\(f\)の下リーマン和は、\begin{equation*}L\left( f,P\right) =\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot m_{k}
\end{equation*}と定義されます。ただし、\begin{eqnarray*}
M_{k} &=&\sup \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ x_{k-1},x_{k}\right] \right\} \\
m_{k} &=&\inf \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ x_{k-1},x_{k}\right] \right\}
\end{eqnarray*}です。上リーマン和と下リーマン和の差は、\begin{eqnarray*}
U\left( f,P\right) -L\left( f,P\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left(
x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot M_{k}-\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right)
\cdot m_{k} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot \left( M_{k}-m_{k}\right)
\end{eqnarray*}となります。上リーマン和\(U\left( f,P\right) \)および下リーマン和\(f\left( f,P\right) \)の値は分割\(P\)に依存して変化しますが、分割\(P\)を適当な形でとることにより上リーマン和と下リーマン和の差をいくらでも小さくできることは、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists P:U\left( f,P\right) -L\left( f,P\right)
<\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるための必要十分条件であることを示しました。これを積分可能性に関するコーシーの判定条件と呼びます。上リーマン和\(U\left( f,P\right) \)および下リーマン和\(L\left( f,P\right) \)は分割\(P\)の選び方のみに依存し、分割の代表点の組\(P^{\ast }\)には依存しないため、積分可能性の定義と比べるとコーシーの判定条件は使いやすさの点で優れています。

関数の振幅

有界な閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が有界である場合には、その値域\begin{equation*}f\left( I\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in I\right\}
\end{equation*}は有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合となるため、実数の連続性より、その上限\(\sup f\left( I\right) \)と下限\(\inf f\left( I\right) \)がそれぞれ1つの有限な実数として定まることが保証されるため、それらの差\begin{equation*}\sup f\left( I\right) -\inf f\left( I\right)
\end{equation*}もまた1つの有限な実数として定まることが保証されます。これを\(f\)の\(I\)における振幅（oscillation of \(f\) on \(I\)）と呼び、以降ではこれを、\begin{equation*}\mathrm{osc}f\left( I\right) =\sup f\left( I\right) -\inf f\left( I\right)
\end{equation*}と表記します。

関数の振幅を用いた積分可能性の判定

有界な閉区間上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を選べば、上リーマン和と下リーマン和の差を、\begin{eqnarray*}&&U\left( f,P\right) -L\left( f,P\right) \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot
M_{k}-\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot m_{k}\quad \because
U\left( f,P\right) ,L\left( f,P\right) \text{の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot \left( M_{k}-m_{k}\right)
\\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot \left[ \sup f\left( \left[
x_{k-1},x_{k}\right] \right) -\inf f\left( \left[ x_{k-1},x_{k}\right] \right) \right] \quad \because M_{k},m_{k}\text{の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot \mathrm{osc}f\left( \left[ x_{k-1},x_{k}\right] \right) \quad \because \text{振幅の定義}
\end{eqnarray*}と表現できるため、コーシーの判定条件は、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists P:\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right)
\cdot \mathrm{osc}f\left( \left[ x_{k-1},x_{k}\right] \right) <\varepsilon
\end{equation*}と必要十分になるため、関数の振幅を用いて関数の積分可能性を判定できます。具体的には、関数\(f\)の定義域である区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)を適当な形でとることにより、\(\left[ a,b\right] \)のそれぞれの小区間\(\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \)について、その長さ\(x_{k}-x_{k-1}\)を十分小さくできるか、もしくは\(f\)の\(\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \)における振幅\(\mathrm{osc}f\left( \left[ x_{k-1},x_{k}\right] \right) \)を十分小さくできるのであれば、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上においてリーマン積分可能であるということです。

さらに、以上の事実を踏まえると以下の命題が得られます。

先の命題を用いてリーマン積分可能性を判定する際には、以下の命題も併用すると効果的です。

演習問題