分母の因数が異なる1次関数である場合
区間上に定義された有理関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、多項式関数\begin{eqnarray*}g &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \\
h &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}と表されるということです。有理関数は連続であるため原始関数と不定積分が存在することが保証されるとともに両者は一致します。ただ、有理関数をそのままの形で積分するのは容易ではありません。適切な形に変形してから積分する必要があります。今回は部分分数分解（partial fraction decomposition）によって有理関数を変形してから積分する方法について解説します。
有理関数\(\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)を構成する分子の多項式関数\(g\left( x\right) \)の次数が分母の多項式関数\(h\left( x\right) \)の次数よりも小さい場合、すなわち、\begin{equation*}\deg g<\deg h
\end{equation*}が成り立つ状況を想定します。このような有理関数\(\frac{g\left( x\right) }{h\left(x\right) }\)を真有理関数（proper rational function）と呼びます。これは真分数（proper fraction）に由来する用語です。
真有理関数\(\frac{g\left( x\right) }{h\left(x\right) }\)を構成する分母の有理関数\(h\left( x\right) \)が異なる1次関数の積として因数分解可能である場合には、すなわち、\begin{equation*}h\left( x\right) =\left( a_{1}x+b_{1}\right) \times \cdots \times \left(
a_{m}x+b_{m}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }=\frac{g\left( x\right) }{\left(
a_{1}x+b_{1}\right) \times \cdots \times \left( a_{m}x+b_{m}\right) }
\end{equation*}となります。この場合、実数\(A_{1},\cdots ,A_{m}\in \mathbb{R} \)を、
\begin{equation*}
\frac{g\left( x\right) }{\left( a_{1}x+b_{1}\right) \times \cdots \times
\left( a_{m}x+b_{m}\right) }=\frac{A_{1}}{a_{1}x+b_{1}}+\cdots +\frac{A_{m}}{a_{m}x+b_{m}}
\end{equation*}を満たすものとしておいた上で両辺に\(\left(a_{1}x+b_{1}\right) \times \cdots \times \left( a_{m}x+b_{m}\right) \)を掛けます。得られた式の係数どうしを比較すれば\(A_{1},\cdots ,A_{m}\)を特定できるため部分分数分解が完了します。
\int \frac{1}{x^{2}+1}dx
\end{equation*}を求めます。分母の多項式関数を因数分解すると、\begin{equation}
\frac{1}{x^{2}+1}=\frac{1}{x\left( x+1\right) } \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。そこで、\begin{equation}
\frac{1}{x\left( x+1\right) }=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1} \quad \cdots (2)
\end{equation}とおいた上で両辺に\(x\left( x+1\right) \)を掛けると、\begin{equation*}1=A\left( x+1\right) +Bx
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
1=\left( A+B\right) x+A
\end{equation*}となります。係数を比較すると、\begin{eqnarray*}
A+B &=&0 \\
A &=&1
\end{eqnarray*}となるため、これを解くことにより、\begin{eqnarray*}
A &=&1 \\
B &=&-1
\end{eqnarray*}を得ます。以上より、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x^{2}+1} &=&\frac{1}{x\left( x+1\right) }\quad \because \left(
1\right) \\
&=&\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}
\end{eqnarray*}という形で部分分数分解できることが明らかになりました。したがって、\begin{eqnarray*}
\int \frac{1}{x^{2}+1}dx &=&\int \left( \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right) dx
\\
&=&\int \frac{1}{x}dx-\int \frac{1}{x+1}dx \\
&=&\ln \left( \left\vert x\right\vert \right) -\ln \left( \left\vert
x+1\right\vert \right) +C \\
&=&\ln \left( \frac{\left\vert x\right\vert }{\left\vert x+1\right\vert }\right) +C \\
&=&\ln \left( \left\vert \frac{x}{x+1}\right\vert \right) +C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
分母の因数の中に1次関数の累乗が存在する場合
真有理関数\(\frac{g\left( x\right) }{h\left(x\right) }\)を構成する分母の有理関数\(h\left( x\right) \)が1次関数の積として因数分解可能であり、その中に1次関数の累乗が含まれる場合には、すなわち、\begin{equation*}h\left( x\right) =\left( a_{1}x+b_{1}\right) ^{\alpha _{1}}\times \cdots
\times \left( a_{m}x+b_{m}\right) ^{\alpha _{m}}
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }=\frac{g\left( x\right) }{\left(
a_{1}x+b_{1}\right) ^{\alpha _{1}}\times \cdots \times \left(
a_{m}x+b_{m}\right) ^{\alpha _{m}}}
\end{equation*}となります。この場合、実数\(A_{11},\cdots ,A_{m\alpha _{m}}\in \mathbb{R} \)を、
\begin{eqnarray*}
\frac{g\left( x\right) }{\left( a_{1}x+b_{1}\right) ^{\alpha _{1}}\times
\cdots \times \left( a_{m}x+b_{m}\right) ^{\alpha _{m}}} &=&\frac{A_{11}}{a_{1}x+b_{1}}+\frac{A_{12}}{\left( a_{1}x+b_{1}\right) ^{2}}+\cdots +\frac{A_{1m}}{\left( a_{1}x+b_{1}\right) ^{\alpha _{1}}} \\
&&+\cdots +\frac{A_{m1}}{a_{m}x+b_{m}}+\frac{A_{m2}}{\left(
a_{m}x+b_{m}\right) ^{2}}+\cdots +\frac{A_{m\alpha _{m}}}{\left(
a_{m}x+b_{m}\right) ^{\alpha _{m}}}
\end{eqnarray*}を満たすものとしておいた上で両辺に\(\left(a_{1}x+b_{1}\right) ^{\alpha _{1}}\times \cdots \times \left( a_{m}x+b_{m}\right) ^{\alpha _{m}}\)を掛けます。得られた式の係数どうしを比較すれば\(A_{11},\cdots ,A_{m\alpha _{m}}\)を特定できるため部分分数分解が完了します。
\int \frac{1}{x^{3}+x^{2}}dx
\end{equation*}を求めます。分母の多項式関数を因数分解すると、\begin{equation}
\frac{1}{x^{3}+x^{2}}=\frac{1}{x^{2}\left( x+1\right) } \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。そこで、\begin{equation}
\frac{1}{x^{2}\left( x+1\right) }=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x+1}
\quad \cdots (2)
\end{equation}とおいた上で両辺に\(x^{2}\left( x+1\right) \)を掛けると、\begin{equation*}1=Ax\left( x+1\right) +B\left( x+1\right) +Cx^{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
1=\left( A+C\right) x^{2}+\left( A+B\right) x+B
\end{equation*}となります。係数を比較すると、\begin{eqnarray*}
A+C &=&0 \\
A+B &=&0 \\
B &=&1
\end{eqnarray*}となるため、これを解くことにより、\begin{eqnarray*}
A &=&-1 \\
B &=&1 \\
C &=&1
\end{eqnarray*}を得ます。以上より、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x^{3}+x^{2}} &=&\frac{1}{x^{2}\left( x+1\right) }\quad \because
\left( 1\right) \\
&=&\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x+1}\quad \because \left( 2\right)
\\
&=&-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x+1}
\end{eqnarray*}という形で部分分数分解できることが明らかになりました。したがって、\begin{eqnarray*}
\int \frac{1}{x^{3}+x^{2}}dx &=&\int \left( -\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x+1}\right) dx \\
&=&-\int \frac{1}{x}dx+\int \frac{1}{x^{2}}dx+\int \frac{1}{x+1}dx \\
&=&-\ln \left( \left\vert x\right\vert \right) -\frac{1}{x}+\ln \left(
\left\vert x+1\right\vert \right) +C \\
&=&\ln \left( \frac{\left\vert x+1\right\vert }{\left\vert x\right\vert }\right) -\frac{1}{x}+C \\
&=&\ln \left( \left\vert \frac{x+1}{x}\right\vert \right) -\frac{1}{x}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
分母の因数の中に2次関数が存在する場合
真有理関数\(\frac{g\left( x\right) }{h\left(x\right) }\)を構成する分母の有理関数\(h\left( x\right) \)が1次関数と2次関数の積として因数分解可能である場合には、すなわち、\begin{equation*}h\left( x\right) =\left( a_{1}x+b_{1}\right) ^{\alpha _{1}}\times \cdots
\times \left( a_{m}x+b_{m}\right) ^{\alpha _{m}}\times \left(
cx^{2}+dx+e\right) ^{\beta }
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }=\frac{g\left( x\right) }{\left(
a_{1}x+b_{1}\right) ^{\alpha _{1}}\times \cdots \times \left(
a_{m}x+b_{m}\right) ^{\alpha _{m}}\times \left( cx^{2}+dx+e\right) ^{\beta }}
\end{equation*}となります。この場合、実数\(A_{11},\cdots ,A_{m\alpha_{m}},B_{1},\cdots ,B_{\beta },C_{1},\cdots ,C_{\beta }\in \mathbb{R} \)を、
\begin{eqnarray*}
&&\frac{g\left( x\right) }{\left( a_{1}x+b_{1}\right) ^{\alpha _{1}}\times
\cdots \times \left( a_{m}x+b_{m}\right) ^{\alpha _{m}}\times \left(
cx^{2}+dx+e\right) ^{\beta }} \\
&=&\frac{A_{11}}{a_{1}x+b_{1}}+\frac{A_{12}}{\left( a_{1}x+b_{1}\right) ^{2}}+\cdots +\frac{A_{1m}}{\left( a_{1}x+b_{1}\right) ^{\alpha _{1}}} \\
&&+\cdots +\frac{A_{m1}}{a_{m}x+b_{m}}+\frac{A_{m2}}{\left(
a_{m}x+b_{m}\right) ^{2}}+\cdots +\frac{A_{m\alpha _{m}}}{\left(
a_{m}x+b_{m}\right) ^{\alpha _{m}}} \\
&&+\frac{B_{1}x+C_{1}}{cx^{2}+dx+e}+\frac{B_{2}x+C_{2}}{\left(
cx^{2}+dx+e\right) ^{2}}+\cdots +\frac{B_{\beta }x+C_{\beta }}{\left(
cx^{2}+dx+e\right) ^{\beta }}
\end{eqnarray*}を満たすものとしておいた上で両辺に\(\left(a_{1}x+b_{1}\right) ^{\alpha _{1}}\times \cdots \times \left( a_{m}x+b_{m}\right) ^{\alpha _{m}}\times \left( cx^{2}+dx+e\right) ^{\beta }\)を掛けます。得られた式の係数どうしを比較すれば\(A_{11},\cdots ,A_{m\alpha_{m}},B_{1},\cdots ,B_{\beta },C_{1},\cdots ,C_{\beta }\)を特定できるため部分分数分解が完了します。
\int \frac{2x^{3}-4x-8}{x^{4}-x^{3}+4x^{2}-4x}dx
\end{equation*}を求めます。分母の多項式関数を因数分解すると、\begin{equation}
\frac{2x^{3}-4x-8}{x^{4}-x^{3}+4x^{2}-4x}=\frac{2x^{3}-4x-8}{x\left(
x-1\right) \left( x^{2}+4\right) } \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。そこで、\begin{equation}
\frac{2x^{3}-4x-8}{x\left( x-1\right) \left( x^{2}+4\right) }=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{Cx+D}{x^{2}+4} \quad \cdots (2)
\end{equation}とおいた上で両辺に\(x\left( x-1\right) \left( x^{2}+4\right) \)を掛けると、\begin{equation*}2x^{3}-4x-8=A\left( x-1\right) \left( x^{2}+4\right) +Bx\left(
x^{2}+4\right) +\left( Cx+D\right) x\left( x-1\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
2x^{3}-4x-8=\left( A+B+C\right) x^{3}+\left( -A-C\right) x^{2}+\left(
4A+4B-D\right) x+\left( -4A\right)
\end{equation*}となります。係数を比較すると、\begin{eqnarray*}
A+B+C &=&2 \\
-A-C &=&0 \\
4A+4B-D &=&-4 \\
-4A &=&-8
\end{eqnarray*}となるため、これを解くことにより、\begin{eqnarray*}
A &=&2 \\
B &=&-2 \\
C &=&2 \\
D &=&4
\end{eqnarray*}を得ます。以上より、\begin{eqnarray*}
\frac{2x^{3}-4x-8}{x^{4}-x^{3}+4x^{2}-4x} &=&\frac{2x^{3}-4x-8}{x\left(
x-1\right) \left( x^{2}+4\right) }\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{Cx+D}{x^{2}+4}\quad \because \left(
2\right) \\
&=&2\cdot \frac{1}{x}-2\cdot \frac{1}{x-1}+\left( 2x+4\right) \cdot \frac{1}{x^{2}+4} \\
&=&2\cdot \frac{1}{x}-2\cdot \frac{1}{x-1}+2\cdot \frac{x}{x^{2}+4}+4\cdot
\frac{1}{x^{2}+4}
\end{eqnarray*}という形で部分分数分解できることが明らかになりました。したがって、\begin{eqnarray*}
\int \frac{2x^{3}-4x-8}{x^{4}-x^{3}+4x^{2}-4x}dx &=&\int \left( 2\cdot \frac{1}{x}-2\cdot \frac{1}{x-1}+2\cdot \frac{x}{x^{2}+4}+4\cdot \frac{1}{x^{2}+4}\right) dx \\
&=&2\int \frac{1}{x}dx-2\int \frac{1}{x-1}dx+2\int \frac{x}{x^{2}+4}dx+4\int
\frac{1}{x^{2}+4}dx \\
&=&2\ln \left( \left\vert x\right\vert \right) -2\ln \left( \left\vert
x-1\right\vert \right) +2\cdot \frac{1}{2}\ln \left( x^{2}+4\right) +4\cdot
\frac{1}{2}\arctan \left( \frac{x}{2}\right) +C \\
&=&2\ln \left( \left\vert x\right\vert \right) -2\ln \left( \left\vert
x-1\right\vert \right) +\ln \left( x^{2}+4\right) +2\arctan \left( \frac{x}{2}\right) +C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
部分分数分解を用いた仮有理関数の積分
これまでは有理関数\(\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)が真有理関数である状況を想定しましたが、ここでは逆に、分子の多項式関数\(g\left( x\right) \)の次数が分母の多項式関数\(h\left( x\right) \)の次数以上である場合、すなわち、\begin{equation*}\deg g\geq \deg h
\end{equation*}が成り立つ状況を想定します。このような有理関数\(\frac{g\left( x\right) }{h\left(x\right) }\)を仮有理関数（improper rational function）と呼びます。これは仮分数（improper fraction）に由来する用語です。
仮有理関数\(\frac{g\left( x\right) }{h\left(x\right) }\)に対しては、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }=P\left(
x\right) +\frac{Q\left( x\right) }{h\left( x\right) } \\
&&\left( b\right) \ \deg Q<\deg h
\end{eqnarray*}を満たす多項式関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)が存在します。つまり、仮有理関数は多項式関数と真有理関数の和として表すことができます。多項式関数\(P\left( x\right) \)の積分は容易であるため、残された真有理関数\(\frac{Q\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)をこれまで解説した形で積分できるのであれば\(\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)の積分が完了します。
\int \frac{2x^{3}+x^{2}-7x+7}{x^{2}+x-2}dx
\end{equation*}を求めます。被積分関数は真有理関数であるため、\begin{equation*}
\frac{2x^{3}+x^{2}-7x+7}{x^{2}+x-2}=Ax+B+\frac{Cx+D}{x^{2}+x-2}
\end{equation*}とおきます。両辺に\(x^{2}+x-2\)を掛けると、\begin{equation*}2x^{3}+x^{2}-7x+7=Ax\left( x^{2}+x-2\right) +B\left( x^{2}+x-2\right) +Cx+D
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
2x^{3}+x^{2}-7x+7=Ax^{3}+\left( A+B\right) x^{2}+\left( -2A+B+C\right)
x+\left( D-2B\right)
\end{equation*}となります。係数を比較すると、\begin{eqnarray*}
A &=&2 \\
A+B &=&1 \\
-2A+B+C &=&-7 \\
D-2B &=&7
\end{eqnarray*}となるため、これを解くことにより、\begin{eqnarray*}
A &=&2 \\
B &=&-1 \\
C &=&-2 \\
D &=&5
\end{eqnarray*}を得ます。以上より、\begin{eqnarray*}
\frac{2x^{3}+x^{2}-7x+7}{x^{2}+x-2} &=&Ax+B+\frac{Cx+D}{x^{2}+x-2} \\
&=&2x-1+\frac{-2x+5}{x^{2}+x-2}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\frac{2x^{3}+x^{2}-7x+7}{x^{2}+x-2}=2x-1+\frac{-2x+5}{x^{2}+x-2} \quad \cdots (1)
\end{equation}と変形できることが明らかになりました。さらに、\begin{equation}
\frac{-2x+5}{x^{2}+x-2}=\frac{-2x+5}{\left( x+2\right) \left( x-1\right) }
\quad \cdots (2)
\end{equation}となるため、\begin{equation}
\frac{-2x+5}{\left( x+2\right) \left( x-1\right) }=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1} \quad \cdots (3)
\end{equation}とおいた上で両辺に\(\left( x+2\right) \left( x-1\right) \)を掛けると、\begin{equation*}-2x+5=A\left( x-1\right) +B\left( x+2\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
-2x+5=\left( A+B\right) x+\left( -A+2B\right)
\end{equation*}となります。係数を比較すると、\begin{eqnarray*}
A+B &=&-2 \\
-A+2B &=&5
\end{eqnarray*}となるため、これを解くことにより、\begin{eqnarray*}
A &=&-3 \\
B &=&1
\end{eqnarray*}を得ます。以上より、\begin{eqnarray*}
\frac{-2x+5}{x^{2}+x-2} &=&\frac{-2x+5}{\left( x+2\right) \left( x-1\right) }\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}\quad \because \left( 3\right) \\
&=&-3\cdot \frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-1}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\frac{-2x+5}{x^{2}+x-2}=-3\cdot \frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-1} \quad \cdots (4)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
\int \frac{2x^{3}+x^{2}-7x+7}{x^{2}+x-2}dx &=&\int \left( 2x-1+\frac{-2x+5}{x^{2}+x-2}\right) dx\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\int \left( 2x-1-3\cdot \frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-1}\right) dx\quad
\because \left( 4\right) \\
&=&2\int xdx-\int 1dx-3\int \frac{1}{x+2}dx+\int \frac{1}{x-1}dx \\
&=&2\cdot \frac{1}{2}x^{2}-x-3\ln \left( \left\vert x+2\right\vert \right)
+\ln \left( \left\vert x-1\right\vert \right) +C \\
&=&x^{2}-x-3\ln \left( \left\vert x+2\right\vert \right) +\ln \left(
\left\vert x-1\right\vert \right) +C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
演習問題
\int \frac{1}{x^{2}-5x+6}dx
\end{equation*}
を求めてください。
\int \frac{1}{x^{2}-5x+5}dx
\end{equation*}
を求めてください。
\int \frac{x^{2}+x-1}{x^{3}+3x^{2}+2x}dx
\end{equation*}を求めてください。
\int \frac{5x^{2}+20x+6}{x^{3}+2x^{2}+x}dx
\end{equation*}を求めてください。
\int \frac{8x^{3}+13x}{x^{4}+4x^{2}+4}dx
\end{equation*}を求めてください。
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