区分求積法
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関して以下の極限\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_{k}
\end{equation*}の値を特定しようとしている状況を想定します。
有界閉区間\(\left[ 0,1\right] \)上に定義された連続関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。連続関数はリーマン積分可能であるため\(f\)は\(\left[ 0,1\right]\)上においてリーマン積分可能であり、したがって、定積分\begin{equation*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が有限な実数として定まります。この場合、区間\(\left[ 0,1\right] \)を\(n\)等分する分割\begin{eqnarray*}P &=&\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n} \\
&=&\left\{ \frac{k}{n}\right\} _{k=0}^{n} \\
&=&\left\{ 0,\frac{1}{n},\frac{2}{n},\cdots ,\frac{n}{n}=1\right\}
\end{eqnarray*}と、\(\left[ a,b\right] \)のそれぞれの小区間\(\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \)の右側の端点を選ぶ代表点の組\begin{eqnarray*}P^{\ast } &=&\left\{ x_{k}^{\ast }\right\} _{k=1}^{n} \\
&=&\left\{ \frac{k}{n}\right\} _{k=1}^{n} \\
&=&\left\{ \frac{1}{n},\frac{2}{n},\cdots ,\frac{n}{n}=1\right\}
\end{eqnarray*}にあえて注目した上で、関数\(f\)の右側リーマン和\begin{eqnarray*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left(
x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot f\left( x_{k}^{\ast }\right) \right] \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \frac{1}{n}\cdot f\left( \frac{k}{n}\right) \right]
\\
&=&\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left( \frac{k}{n}\right)
\end{eqnarray*}をとった場合、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }S\left( f,P,P^{\ast }\right)
=\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left( \frac{k}{n}\right) =\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立ちます。
このような事情を踏まえると、\begin{equation*}
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_{k}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left( \frac{k}{n}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{k}=f\left( \frac{k}{n}\right)
\end{equation*}を満たす連続関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_{k}=\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left( \frac{k}{n}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_{k}=\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つため、極限を特定する問題を定積分の計算へと帰着させることができます。
結論を整理します。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関して以下の極限\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_{k}
\end{equation*}を求めるためには、以下の条件\begin{equation*}
\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{k}=f\left( \frac{k}{n}\right)
\end{equation*}を満たす連続関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を特定した上でその定積分をとれば、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_{k}=\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立ちます。このような手法を区分求積法（Riemann sum）と呼びます。
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\left( \sqrt{\frac{1}{n}}+\sqrt{\frac{2}{n}}+\cdots +1\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\frac{k}{n}}
\end{equation*}を特定します。それぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、\(f\)は連続であるとともに、\begin{equation*}\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\sqrt{\frac{k}{n}}=f\left( \frac{k}{n}\right)
\end{equation*}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\frac{k}{n}}
&=&\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx\quad \because \text{区分求積法} \\
&=&\int_{0}^{1}\sqrt{x}dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int_{0}^{1}x^{\frac{1}{2}}dx \\
&=&\left[ \frac{2}{1+2}\cdot x^{\frac{1+2}{2}}\right] _{0}^{1}\quad \because
\text{無理関数の定積分} \\
&=&\left[ \frac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}\right] _{0}^{1} \\
&=&\frac{2}{3}
\end{eqnarray*}となります。
与えられた極限が、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_{k}
\end{equation*}の形をしていない場合でも、変形により上の形になるのであれば、区分求積法を利用できます。
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+n}\right)
\end{equation*}を特定します。和を変形すると、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+n} &=&\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left( \frac{1}{n}\cdot \frac{n}{n+k}\right) \\
&=&\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n+k} \\
&=&\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}
\end{eqnarray*}となるため、以下の極限\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}
\end{equation*}を特定することが目標になります。それぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{1+x}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、\(f\)は連続であるとともに、\begin{equation*}\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\frac{1}{1+\frac{k}{n}}=f\left(
\frac{k}{n}\right)
\end{equation*}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}
&=&\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx\quad \because \text{区分求積法} \\
&=&\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}dx\quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\left[ \ln \left( 1+x\right) \right] _{0}^{1} \\
&=&\ln \left( 2\right) -\ln \left( 1\right) \\
&=&\ln \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となります。
左側リーマン和を利用した区分求積法
先の解説では右側リーマン和を利用しましたが、左側リーマン和を利用する場合にも同様の議論が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関して以下の極限\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}x_{k}
\end{equation*}の値を特定しようとしている状況を想定します。
有界閉区間\(\left[ 0,1\right] \)上に定義された連続関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。連続関数はリーマン積分可能であるため\(f\)は\(\left[ 0,1\right]\)上においてリーマン積分可能であり、したがって、定積分\begin{equation*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が有限な実数として定まります。この場合、区間\(\left[ 0,1\right] \)を\(n\)等分する分割\begin{eqnarray*}P &=&\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n} \\
&=&\left\{ \frac{k}{n}\right\} _{k=0}^{n} \\
&=&\left\{ 0,\frac{1}{n},\frac{2}{n},\cdots ,\frac{n}{n}=1\right\}
\end{eqnarray*}と、\(\left[ a,b\right] \)のそれぞれの小区間\(\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \)の左側の端点を選ぶ代表点の組\begin{eqnarray*}P^{\ast } &=&\left\{ x_{k}^{\ast }\right\} _{k=1}^{n} \\
&=&\left\{ \frac{k-1}{n}\right\} _{k=1}^{n} \\
&=&\left\{ 0,\frac{1}{n},\frac{2}{n},\cdots ,\frac{n-1}{n}\right\}
\end{eqnarray*}にあえて注目した上で、関数\(f\)の左側リーマン和\begin{eqnarray*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left(
x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot f\left( x_{k}^{\ast }\right) \right] \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \frac{1}{n}\cdot f\left( \frac{k-1}{n}\right) \right]
\\
&=&\sum_{k=0}^{n-1}\left[ \frac{1}{n}\cdot f\left( \frac{k}{n}\right) \right]
\\
&=&\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left( \frac{k}{n}\right)
\end{eqnarray*}をとった場合、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }S\left( f,P,P^{\ast }\right)
=\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left( \frac{k}{n}\right) =\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立ちます。
このような事情を踏まえると、\begin{equation*}
\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}x_{k}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left( \frac{k}{n}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall k\in \left\{ 0,\cdots ,n-1\right\} :x_{k}=f\left( \frac{k}{n}\right)
\end{equation*}を満たす連続関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}x_{k}=\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left( \frac{k}{n}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}x_{k}=\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つため、極限を特定する問題を定積分の計算へと帰着させることができます。
結論を整理します。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関して以下の極限\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}x_{k}
\end{equation*}を求めるためには、以下の条件\begin{equation*}
\forall k\in \left\{ 0,\cdots ,n-1\right\} :x_{k}=f\left( \frac{k}{n}\right)
\end{equation*}を満たす連続関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を特定した上でその定積分をとれば、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}x_{k}=\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立ちます。
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\ln \left( 1+\frac{k}{n}\right)
\end{equation*}を特定します。それぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( 1+x\right)
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、\(f\)は連続であるとともに、\begin{equation*}\forall k\in \left\{ 0,\cdots ,n-1\right\} :\ln \left( 1+\frac{k}{n}\right)
=f\left( \frac{k}{n}\right)
\end{equation*}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\ln \left( 1+\frac{k}{n}\right) &=&\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx\quad \because \text{区分求積法} \\
&=&\int_{0}^{1}\ln \left( 1+x\right) dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left[ \left( x+1\right) \ln \left( x+1\right) -x-1\right] _{0}^{1}\quad
\because \text{置換積分} \\
&=&\left[ 2\ln \left( 2\right) -1-1\right] -\left[ \ln \left( 1\right) -1\right] \\
&=&2\ln \left( 2\right) -1
\end{eqnarray*}となります。
区間をmn等分する分割を利用した区分求積法
これまでは区間\(\left[ 0,1\right] \)を\(n\)等分する分割を利用する区分求積法について解説しましたが、より一般的な等分割を利用する場合にも同様の議論が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関して以下の極限\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{mn}x_{k}
\end{equation*}の値を特定しようとしている状況を想定します。
有界閉区間\(\left[ 0,m\right] \)上に定義された連続関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,m\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。連続関数はリーマン積分可能であるため\(f\)は\(\left[ 0,m\right]\)上においてリーマン積分可能であり、したがって、定積分\begin{equation*}\int_{0}^{m}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が有限な実数として定まります。この場合、区間\(\left[ 0,m\right] \)を\(mn\)等分する分割\begin{eqnarray*}P &=&\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{mn} \\
&=&\left\{ \frac{k}{mn}\right\} _{k=0}^{mn} \\
&=&\left\{ 0,\frac{1}{mn},\frac{2}{mn},\cdots ,\frac{mn}{mn}=1\right\}
\end{eqnarray*}と、\(\left[ 0,m\right] \)のそれぞれの小区間\(\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \)の右側の端点を選ぶ代表点の組\begin{eqnarray*}P^{\ast } &=&\left\{ x_{k}^{\ast }\right\} _{k=1}^{mn} \\
&=&\left\{ \frac{k}{mn}\right\} _{k=1}^{mn} \\
&=&\left\{ \frac{1}{mn},\frac{2}{mn},\cdots ,\frac{mn}{mn}=1\right\}
\end{eqnarray*}にあえて注目した上で、関数\(f\)の右側リーマン和\begin{eqnarray*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{mn}\left[ \left(
x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot f\left( x_{k}^{\ast }\right) \right] \\
&=&\sum_{k=1}^{mn}\left[ \frac{m}{mn}\cdot f\left( \frac{k}{mn}\right) \right] \\
&=&\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{mn}f\left( \frac{k}{mn}\right)
\end{eqnarray*}をとった場合、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }S\left( f,P,P^{\ast }\right)
=\int_{0}^{m}f\left( x\right) dx
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{mn}f\left( \frac{k}{mn}\right) =\int_{0}^{m}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立ちます。
このような事情を踏まえると、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{mn}x_{k}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{mn}f\left( \frac{k}{mn}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,mn\right\} :x_{k}=f\left( \frac{k}{mn}\right)
\end{equation*}を満たす連続関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,m\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{mn}x_{k}=\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{mn}f\left( \frac{k}{mn}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{mn}x_{k}=\int_{0}^{m}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つため、極限を特定する問題を定積分の計算へと帰着させることができます。
結論を整理します。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関して以下の極限\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{mn}x_{k}
\end{equation*}を求めるためには、以下の条件\begin{equation*}
\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,mn\right\} :x_{k}=f\left( \frac{k}{mn}\right)
\end{equation*}を満たす連続関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,m\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を特定した上でその定積分をとれば、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{mn}x_{k}=\int_{0}^{m}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立ちます。
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+2n}\right)
\end{equation*}を特定します。和を変形すると、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+2n} &=&\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{n+k} \\
&=&\sum_{k=1}^{2n}\left( \frac{1}{n}\cdot \frac{n}{n+k}\right) \\
&=&\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{2n}\frac{n}{n+k} \\
&=&\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}
\end{eqnarray*}となるため、以下の極限\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}
\end{equation*}を特定することが目標になります。それぞれの\(x\in \left[ 0,2\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{1+x}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、\(f\)は連続であるとともに、\begin{equation*}\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,2n\right\} :\frac{1}{1+\frac{k}{n}}=f\left(
\frac{k}{n}\right)
\end{equation*}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}
&=&\int_{0}^{2}f\left( x\right) dx\quad \because \text{区分求積法} \\
&=&\int_{0}^{2}\frac{1}{1+x}dx\quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\left[ \ln \left( 1+x\right) \right] _{0}^{2} \\
&=&\ln \left( 3\right) -\ln \left( 1\right) \\
&=&\ln \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となります。
区分求積法の一般化
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)と数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関して以下の極限\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}x_{k}
\end{equation*}の値を特定しようとしている状況を想定します。
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された連続関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。連続関数はリーマン積分可能であるため\(f\)は\(\left[ a,b\right]\)上においてリーマン積分可能であり、したがって、定積分\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が有限な実数として定まります。この場合、区間\(\left[ a,b\right] \)を\(n\)等分する分割\begin{eqnarray*}P &=&\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n} \\
&=&\left\{ a+k\left( \frac{b-a}{n}\right) \right\} _{k=0}^{n} \\
&=&\left\{ a,a+\frac{b-a}{n},a+2\left( \frac{b-a}{n}\right) ,\cdots
,a+n\left( \frac{b-a}{n}\right) =b\right\}
\end{eqnarray*}と、\(\left[ a,b\right] \)のそれぞれの小区間\(\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \)の右側の端点を選ぶ代表点の組\begin{eqnarray*}P^{\ast } &=&\left\{ x_{k}^{\ast }\right\} _{k=1}^{n} \\
&=&\left\{ a+k\left( \frac{b-a}{n}\right) \right\} _{k=1}^{n} \\
&=&\left\{ a+\frac{b-a}{n},a+2\left( \frac{b-a}{n}\right) ,\cdots ,a+n\left(
\frac{b-a}{n}\right) =b\right\}
\end{eqnarray*}にあえて注目した上で、関数\(f\)の右側リーマン和\begin{eqnarray*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left(
x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot f\left( x_{k}^{\ast }\right) \right] \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \frac{b-a}{n}\cdot f\left( a+k\left( \frac{b-a}{n}\right) \right) \right] \\
&=&\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left( a+k\left( \frac{b-a}{n}\right) \right)
\end{eqnarray*}をとった場合、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }S\left( f,P,P^{\ast }\right)
=\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left( a+k\left(
\frac{b-a}{n}\right) \right) =\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立ちます。
このような事情を踏まえると、\begin{equation*}
\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}x_{k}=\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(
a+k\left( \frac{b-a}{n}\right) \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{k}=f\left( a+k\left( \frac{b-a}{n}\right) \right)
\end{equation*}を満たす連続関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}x_{k}=\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left( a+k\left( \frac{b-a}{n}\right) \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}x_{k}=\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つため、極限を特定する問題を定積分の計算へと帰着させることができます。
結論を整理します。\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)と数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関して以下の極限\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}x_{k}
\end{equation*}を求めるためには、以下の条件\begin{equation*}
\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{k}=f\left( a+k\left( \frac{b-a}{n}\right) \right)
\end{equation*}を満たす連続関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を特定した上でその定積分をとれば、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}x_{k}=\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立ちます。
演習問題
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sin \left( \frac{k\pi
}{n}\right)
\end{equation*}の値を特定してください。
\end{equation*}の値を特定してください。
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n^{2}}\left( \sqrt{n^{2}-1}+\sqrt{n^{2}-4}+\cdots +\sqrt{n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}}\right)
\end{equation*}の値を特定してください。
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[ \left( 1+\frac{1}{n}\right) \left( 1+\frac{2}{n}\right) \times \cdots \times \left( 1+\frac{n}{n}\right) \right] ^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}の値を特定してください。
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