正弦関数と余弦関数のべきの積の積分
正弦関数と余弦関数の定義域はともに\(\mathbb{R} \)であるとともに、両者はともに連続です。したがって両者の原始関数が存在するとともに、それは不定積分と一致します。具体的には、\begin{eqnarray*}\int \sin \left( x\right) dx &=&-\cos \left( x\right) +C \\
\int \cos \left( x\right) dx &=&\sin \left( x\right) +C
\end{eqnarray*}です。ただし、\(C\)は積分定数です。
以上を踏まえた上で、ここでは正弦関数と余弦関数のべきの積の積分\begin{equation*}
\int \sin ^{n}\left( x\right) \cos ^{m}\left( x\right) dx
\end{equation*}の計算方法について解説します。ただし、\(n,m\)は非負の整数です。
正弦の指数が奇数の場合
被積分関数\(\sin ^{n}\left( x\right) \cos^{m}\left( x\right) \)において正弦の指数\(n\)が奇数である場合について考えます。この場合、被積分関数に含まれる\(\sin ^{n}\left(x\right) \)を、\begin{equation*}\sin ^{n}\left( x\right) =\sin ^{n-1}\left( x\right) \sin \left( x\right)
\end{equation*}と変形します。\(n\)は奇数であるため\(n-1\)は偶数であることに注意してください。したがって、以下の関係\begin{equation*}\sin ^{2}\left( x\right) =1-\cos ^{2}\left( x\right)
\end{equation*}を用いることにより、\(\sin ^{n-1}\left( x\right) \)を\(\cos \left( x\right) \)に関する式に変換できます。以上の要領で被積分関数を変形した上で、\begin{equation*}u=g\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}とおく形で置換積分を行います。逆関数は、\begin{equation*}
x=g^{-1}\left( u\right) =\arccos \left( u\right)
\end{equation*}ですが、置換積分の後に、\begin{eqnarray*}
\frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du} &=&\frac{d}{du}\arccos \left( u\right) \\
&=&-\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}} \\
&=&-\frac{1}{\sqrt{1-\cos ^{2}\left( x\right) }} \\
&=&-\frac{1}{\sqrt{\sin ^{2}\left( x\right) }} \\
&=&-\frac{1}{\sin \left( x\right) }
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}=-\frac{1}{\sin \left( x\right) }
\end{equation*}であるという事実を利用すれば、被積分関数を\(u\)に関する関数として表現できます。
\int \sin ^{3}\left( x\right) \cos ^{2}\left( x\right) dx
\end{equation*}を計算します。正弦関数の指数は\(3\)であり、余弦関数の指数は\(2\)です。そこで、\begin{eqnarray*}\int \sin ^{3}\left( x\right) \cos ^{2}\left( x\right) dx &=&\int \sin
^{2}\left( x\right) \sin \left( x\right) \cos ^{2}\left( x\right) dx\quad
\because \sin ^{3}\left( x\right) =\sin ^{2}\left( x\right) \sin \left(
x\right) \\
&=&\int \left[ 1-\cos ^{2}\left( x\right) \right] \sin \left( x\right) \cos
^{2}\left( x\right) dx\quad \because \sin ^{2}\left( x\right) =1-\cos
^{2}\left( x\right)
\end{eqnarray*}と変形します。その上で、\begin{equation}
u=g\left( x\right) =\cos \left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、その逆関数は、\begin{equation*}
x=g^{-1}\left( u\right) =\arccos \left( u\right)
\end{equation*}となります。\(g^{-1}\)は\(C^{1}\)級であるため逆置換を利用できますが、ここでのポイントは、\begin{equation}\frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}=-\frac{1}{\sin \left( x\right) } \quad \cdots (2)
\end{equation}であるということです。したがって、\begin{eqnarray*}
\int \left[ 1-\cos ^{2}\left( x\right) \right] \sin \left( x\right) \cos
^{2}\left( x\right) dx &=&\int \left( 1-u^{2}\right) \sin \left( x\right)
u^{2}\frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}du\quad \because \left( 1\right)
\text{および置換積分} \\
&=&\int \left( 1-u^{2}\right) \sin \left( x\right) u^{2}\left[ -\frac{1}{\sin \left( x\right) }\right] du\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\int -\left( 1-u^{2}\right) u^{2}du \\
&=&\int \left( u^{4}-u^{2}\right) du \\
&=&\frac{1}{5}u^{5}-\frac{1}{3}u^{3}+C \\
&=&\frac{1}{5}\cos ^{5}\left( x\right) -\frac{1}{3}\cos ^{3}\left( x\right)
+C\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\int \sin ^{5}\left( x\right) dx
\end{equation*}を計算します。正弦関数の指数は\(5\)であり、余弦関数の指数は\(0\)です。そこで、\begin{eqnarray*}\int \sin ^{5}\left( x\right) dx &=&\int \sin ^{4}\left( x\right) \sin
\left( x\right) dx\quad \because \sin ^{5}\left( x\right) =\sin ^{4}\left(
x\right) \sin \left( x\right) \\
&=&\int \left[ 1-\cos ^{2}\left( x\right) \right] ^{2}\sin \left( x\right)
dx\quad \because \sin ^{2}\left( x\right) =1-\cos ^{2}\left( x\right)
\end{eqnarray*}と変形します。その上で、\begin{equation}
u=g\left( x\right) =\cos \left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、その逆関数は、\begin{equation*}
x=g^{-1}\left( u\right) =\arccos \left( u\right)
\end{equation*}となります。\(g^{-1}\)は\(C^{1}\)級であるため逆置換を利用できますが、ここでのポイントは、\begin{equation}\frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}=-\frac{1}{\sin \left( x\right) } \quad \cdots (2)
\end{equation}であるということです。したがって、\begin{eqnarray*}
\int \left[ 1-\cos ^{2}\left( x\right) \right] ^{2}\sin \left( x\right) dx
&=&\int \left( 1-u^{2}\right) ^{2}\sin \left( x\right) \frac{dg^{-1}\left(
u\right) }{du}du\quad \because \left( 1\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int \left( 1-u^{2}\right) ^{2}\sin \left( x\right) \left[ -\frac{1}{\sin
\left( x\right) }\right] du\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\int -\left( 1-u^{2}\right) ^{2}du \\
&=&\int \left( -u^{4}+2u^{2}-1\right) du \\
&=&-\frac{1}{5}u^{5}+\frac{2}{3}u^{3}-u+C \\
&=&-\frac{1}{5}\cos ^{2}\left( x\right) +\frac{2}{3}\cos ^{3}\left( x\right)
-\cos \left( x\right) +C\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
余弦の指数が奇数の場合
被積分関数\(\sin ^{n}\left( x\right) \cos^{m}\left( x\right) \)において余弦の指数\(m\)が奇数である場合についても同様に考えます。この場合、被積分関数に含まれる\(\cos ^{m}\left( x\right) \)を、\begin{equation*}\cos ^{m}\left( x\right) =\cos ^{m-1}\left( x\right) \cos \left( x\right)
\end{equation*}と変形します。\(m\)は奇数であるため\(m-1\)は偶数であることに注意してください。したがって、以下の関係\begin{equation*}\cos ^{2}\left( x\right) =1-\sin ^{2}\left( x\right)
\end{equation*}を用いることにより、\(\cos ^{n-1}\left( x\right) \)を\(\sin \left( x\right) \)に関する式に変換できます。以上の要領で被積分関数を変形した上で、\begin{equation*}u=g\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}とおく形で置換積分を行います。逆関数は、\begin{equation*}
x=g^{-1}\left( u\right) =\arcsin \left( u\right)
\end{equation*}ですが、置換積分の後に、\begin{eqnarray*}
\frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du} &=&\frac{d}{du}\arcsin \left( u\right) \\
&=&\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}} \\
&=&\frac{1}{\sqrt{1-\sin ^{2}\left( x\right) }} \\
&=&\frac{1}{\sqrt{\cos ^{2}\left( x\right) }} \\
&=&\frac{1}{\cos \left( x\right) }
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}=\frac{1}{\cos \left( x\right) }
\end{equation*}であるという事実を利用すれば、被積分関数を\(u\)に関する関数として表現できます。
\int \sin ^{2}\left( x\right) \cos ^{3}\left( x\right) dx
\end{equation*}を計算します。正弦関数の指数は\(2\)であり、余弦関数の指数は\(3\)です。そこで、\begin{eqnarray*}\int \sin ^{2}\left( x\right) \cos ^{3}\left( x\right) dx &=&\int \sin
^{2}\left( x\right) \cos ^{2}\left( x\right) \cos \left( x\right) dx\quad
\because \cos {}^{3}\left( x\right) =\cos ^{2}\left( x\right) \cos \left(
x\right) \\
&=&\int \sin ^{2}\left( x\right) \left[ 1-\sin ^{2}\left( x\right) \right] \cos \left( x\right) dx\quad \because \cos ^{2}\left( x\right) =1-\sin
^{2}\left( x\right)
\end{eqnarray*}と変形します。その上で、\begin{equation}
u=g\left( x\right) =\sin \left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、その逆関数は、\begin{equation*}
x=g^{-1}\left( u\right) =\arcsin \left( u\right)
\end{equation*}となります。\(g^{-1}\)は\(C^{1}\)級であるため逆置換を利用できますが、ここでのポイントは、\begin{equation}\frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}=\frac{1}{\cos \left( x\right) } \quad \cdots (2)
\end{equation}であるということです。したがって、\begin{eqnarray*}
\int \sin ^{2}\left( x\right) \left[ 1-\sin ^{2}\left( x\right) \right] \cos
\left( x\right) dx &=&\int u^{2}\left( 1-u^{2}\right) \cos \left( x\right)
\frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}du\quad \because \left( 1\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int u^{2}\left( 1-u^{2}\right) \cos \left( x\right) \frac{1}{\cos \left(
x\right) }du\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\int u^{2}\left( 1-u^{2}\right) du \\
&=&\int \left( -u^{4}+u^{2}\right) du \\
&=&-\frac{1}{5}u^{5}+\frac{1}{3}u^{3}+C \\
&=&-\frac{1}{5}\sin ^{5}\left( x\right) +\frac{1}{3}\sin ^{3}\left( x\right)
+C\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\int \cos ^{5}\left( x\right) dx
\end{equation*}を計算します。正弦関数の指数は\(0\)であり、余弦関数の指数は\(5\)です。そこで、\begin{eqnarray*}\int \cos \left( x\right) dx &=&\int \cos ^{4}\left( x\right) \cos \left(
x\right) dx\quad \because \cos ^{5}\left( x\right) =\cos ^{4}\left( x\right)
\cos \left( x\right) \\
&=&\int \left[ 1-\sin ^{2}\left( x\right) \right] ^{2}\cos \left( x\right)
dx\quad \because \cos ^{2}\left( x\right) =1-\sin ^{2}\left( x\right)
\end{eqnarray*}と変形します。その上で、\begin{equation}
u=g\left( x\right) =\sin \left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、その逆関数は、\begin{equation*}
x=g^{-1}\left( u\right) =\arcsin \left( u\right)
\end{equation*}となります。\(g^{-1}\)は\(C^{1}\)級であるため逆置換を利用できますが、ここでのポイントは、\begin{equation}\frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}=\frac{1}{\cos \left( x\right) } \quad \cdots (2)
\end{equation}であるということです。したがって、\begin{eqnarray*}
\int \left[ 1-\sin ^{2}\left( x\right) \right] ^{2}\cos \left( x\right) dx
&=&\int \left( 1-u^{2}\right) ^{2}\cos \left( x\right) \frac{dg^{-1}\left(
u\right) }{du}du\quad \because \left( 1\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int \left( 1-u^{2}\right) ^{2}\cos \left( x\right) \frac{1}{\cos \left(
x\right) }du\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\int \left( 1-u^{2}\right) ^{2}du \\
&=&\int \left( u^{4}-2u^{2}+1\right) du \\
&=&\frac{1}{5}u^{5}-\frac{2}{3}u^{3}+u+C \\
&=&\frac{1}{5}\sin ^{2}\left( x\right) -\frac{2}{3}\sin ^{3}\left( x\right)
+\sin \left( x\right) +C\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
正弦と余弦の指数がともに偶数の場合
被積分関数\(\sin ^{n}\left( x\right) \cos^{m}\left( x\right) \)において指数\(n,m\)がともに偶数である場合には、2倍角の公式\begin{eqnarray*}\cos \left( 2x\right) &=&1-2\sin ^{2}\left( x\right) \\
\cos \left( 2x\right) &=&2\cos ^{2}\left( x\right) -1
\end{eqnarray*}から導かれる以下の式\begin{eqnarray*}
\sin ^{2}\left( x\right) &=&\frac{1}{2}-\frac{\cos \left( 2x\right) }{2} \\
\cos ^{2}\left( x\right) &=&\frac{1}{2}+\frac{\cos \left( 2x\right) }{2}
\end{eqnarray*}を用いて、被積分関数を低次の関数に変換した上で積分を行います。
\int \sin ^{2}\left( x\right) \cos ^{2}\left( x\right) dx
\end{equation*}を計算します。指数はともに\(2\)です。そこで、\begin{eqnarray}\sin ^{2}\left( x\right) &=&\frac{1}{2}-\frac{\cos \left( 2x\right) }{2}
\quad \cdots (1) \\
\cos ^{2}\left( x\right) &=&\frac{1}{2}+\frac{\cos \left( 2x\right) }{2}
\quad \cdots (2)
\end{eqnarray}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\int \sin ^{2}\left( x\right) \cos ^{2}\left( x\right) dx &=&\int \left[
\frac{1}{2}-\frac{\cos \left( 2x\right) }{2}\right] \left[ \frac{1}{2}+\frac{\cos \left( 2x\right) }{2}\right] dx\quad \because \left( 1\right) ,\left(
2\right) \\
&=&\int \left[ \frac{1}{4}-\frac{\cos ^{2}\left( 2x\right) }{4}\right] dx \\
&=&\int \left\{ \frac{1}{4}-\frac{1}{4}\left[ \frac{1}{2}+\frac{\cos \left(
4x\right) }{2}\right] \right\} dx\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\int \left[ \frac{1}{8}-\frac{1}{8}\cos \left( 4x\right) \right] dx \\
&=&\frac{1}{8}x-\frac{1}{8}\cdot \frac{\sin \left( 4x\right) }{4}+C \\
&=&\frac{1}{8}x-\frac{1}{32}\sin \left( 4x\right) +C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\int \sin ^{4}\left( x\right) dx
\end{equation*}を計算します。正弦関数の指数は\(4\)であり、余弦関数の指数は\(0\)です。そこで、\begin{eqnarray}\sin ^{2}\left( x\right) &=&\frac{1}{2}-\frac{\cos \left( 2x\right) }{2}
\quad \cdots (1) \\
\cos ^{2}\left( x\right) &=&\frac{1}{2}+\frac{\cos \left( 2x\right) }{2}
\quad \cdots (2)
\end{eqnarray}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\int \sin ^{4}\left( x\right) dx &=&\int \left[ \sin ^{2}\left( x\right) \right] ^{2}dx \\
&=&\int \left[ \frac{1}{2}-\frac{\cos \left( 2x\right) }{2}\right] ^{2}dx\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\int \left[ \frac{1}{4}-\frac{1}{2}\cos \left( 2x\right) +\frac{\cos
^{2}\left( 2x\right) }{4}\right] dx \\
&=&\int \left\{ \frac{1}{4}-\frac{1}{2}\cos \left( 2x\right) +\frac{1}{4}\left[ \frac{1}{2}+\frac{\cos \left( 4x\right) }{2}\right] \right\} dx\quad
\because \left( 2\right) \\
&=&\int \left[ \frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos \left( 2x\right) +\frac{1}{8}\cos
\left( 4x\right) \right] dx \\
&=&\frac{3}{8}x-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin \left( 2x\right) }{2}+\frac{1}{8}\cdot \frac{\sin \left( 4x\right) }{4}+C \\
&=&\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}\sin \left( 2x\right) +\frac{1}{32}\sin \left(
4x\right) +C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
演習問題
\int \cos ^{4}\left( x\right) dx
\end{equation*}を計算してください。
\int \sin ^{5}\left( x\right) \cos ^{2}\left( x\right) dx
\end{equation*}を計算してください。
\int \sin ^{2}\left( x\right) \cos ^{4}\left( x\right) dx
\end{equation*}を計算してください。
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