上リーマン和と下リーマン和の差を用いた積分可能性の判定（積分可能性に関するコーシーの判定条件）

上リーマン和と下リーマン和の差と定積分の関係

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が有界であるものとします。区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)および代表点の組\(P^{\ast }=\left\{ x_{k}^{\ast}\right\} _{k=1}^{n}\)が与えられれば、関数\(f\)のリーマン和は、\begin{equation*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) =\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right)
\cdot f\left( x_{k}^{\ast }\right)
\end{equation*}として定まります。ただし、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)とは以下の条件\begin{equation*}a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b
\end{equation*}を満たす有限個の点\(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n-1},x_{n}\in \mathbb{R} \)からなる組であり、代表点の組\(P^{\ast }\)とは以下の条件\begin{equation*}x_{k}^{\ast }\in \left[ x_{k-1},x_{k}\right] \end{equation*}を満たす有限個の点\(x_{1}^{\ast },\cdots ,x_{n}^{\ast }\in \mathbb{R} \)からなる組です。また、分割\(P\)の大きさは、\begin{equation*}\left\vert P\right\vert =\max \left\{ x_{k}-x_{k-1}\in \mathbb{R} \ |\ k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \right\}
\end{equation*}と定義されます。関数\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であることとは、分割\(P\)の大きさを\(0\)に限りなく近づける形で分割を変更していった場合、代表点の組\(P^{\ast }\)の選び方とは関係なく、関数\(f\)のリーマン和がある有限な実数\(\alpha \in \mathbb{R} \)へ限りなく近づくこと、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -\alpha \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。このとき、上の極限\(\alpha \)を\(f\)の\(\left[a,b\right] \)間の定積分と呼び、そのことを、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\alpha
\end{equation*}で表記します。

関数\(f\)のリーマン和\(S\left(f,P,P^{\ast }\right) \)は区間の分割\(P\)に依存するだけでなく、分割\(P\)に対する代表点の組\(P^{\ast }\)の選び方にも依存します。関数\(f\)がリーマン積分可能であることを示す際には分割\(P\)と代表点の組\(P^{\ast }\)をともに動かす状況を想定する必要があるため、多くの場合、その手続きは煩雑になります。よりシンプルな条件を用いて関数がリーマン積分可能であることを判定できれば、それはより望ましいと言えます。ここで役に立つのが上リーマン和と下リーマン和です。

有界な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を選べば、\(f\)の上リーマン和は、\begin{equation*}U\left( f,P\right) =\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot M_{k}
\end{equation*}と定義され、\(f\)の下リーマン和は、\begin{equation*}L\left( f,P\right) =\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot m_{k}
\end{equation*}と定義されます。ただし、\begin{eqnarray*}
M_{k} &=&\sup \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ x_{k-1},x_{k}\right] \right\} \\
m_{k} &=&\inf \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ x_{k-1},x_{k}\right] \right\}
\end{eqnarray*}です。上リーマン和と下リーマン和の差は、\begin{eqnarray*}
U\left( f,P\right) -L\left( f,P\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left(
x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot M_{k}-\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right)
\cdot m_{k} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot \left( M_{k}-m_{k}\right)
\end{eqnarray*}となります。上リーマン和\(U\left( f,P\right) \)および下リーマン和\(f\left( f,P\right) \)の値は分割\(P\)に依存して変化しますが、分割\(P\)を適当な形でとることにより上リーマン和と下リーマン和の差をいくらでも小さくできるのであれば、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists P:U\left( f,P\right) -L\left( f,P\right)
<\varepsilon
\end{equation*}が成り立つならば、関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能です。その逆も成立するため以下の命題を得ます。これを積分可能性に関するコーシーの判定条件（Cauchy criterion for integrability）と呼びます。

上リーマン和と下リーマン和の差を用いた積分可能性の判定

先の命題より、上リーマン和と下リーマン和の差がいくらでも小さくなるような分割が存在する場合には、関数はリーマン積分であることが保証されます。任意の分割のもとで上リーマン和と下リーマン和の差がいくらでも小さくなることを示す必要はなく、何らかの分割のもとで、上リーマン和と下リーマン和の差がいくらでも小さくなることを示せば十分であるということです。

上リーマン和と下リーマン和の差を用いた積分不可能性の判定

繰り返しになりますが、区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が有界である場合、上リーマン和と下リーマン和の差がいくらでも小さくなるような分割が存在することは関数\(f\)が積分可能であるための必要十分条件である。したがって、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割をどのように選んだ場合でも上リーマン和と下リーマン和の差を一定以上小さくできないのであれば（例えば、両者の差が\(0\)より大きい定数である場合）、関数\(f\)は積分可能ではありません。

演習問題