限りなく大きい任意の点を含む無限閉区間上での関数の広義逐次積分
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する有界かつ閉な区間\begin{equation*}\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] =\left[ a_{1},b_{1}\right] \times
\cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right]
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、任意の\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)に対して\(a_{i}<b_{i}\)です。このような区間上に定義された多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset \prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(I\)上で有界であるものとします。変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)を並び替えたものを\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)で表記します。この場合、\(f\)の\(I\)上における変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)に関する逐次積分は、\begin{equation*}\int_{a_{\left( n\right) }}^{b_{\left( n\right) }}\left( \cdots \left(
\int_{a_{\left( 1\right) }}^{b_{\left( 1\right) }}f\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots \right) dx_{\left(
n\right) }
\end{equation*}と定義されます。特に、\(f\)が\(I\)上において連続である場合には、フビニの定理より、\(f\)は\(I\)上において\(n\)重積分であるとともに、変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の任意の並び\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)について、\begin{equation*}\int_{I}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dA=\int_{a_{\left( n\right)
}}^{b_{\left( n\right) }}\left( \cdots \left( \int_{a_{\left( 1\right)
}}^{b_{\left( 1\right) }}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{\left(
1\right) }\right) \cdots \right) dx_{\left( n\right) }
\end{equation*}が成り立ちます。
では、定義域が無限区間であるような関数や、有界ではない関数などについても、その逐次積分可能性を検討できるのでしょうか。ここでは定義域が無限区間であるような関数について考えます。以下が具体例です。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}^{2}=[0,+\infty )\times \lbrack 0,+\infty )
\end{equation*}です。有界な閉区間上に定義された有界関数に対して定義される概念ですが、\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)は有界ではないため、この関数\(f\)が定義域\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上で逐次積分可能であるか検討できません。
上の例が示唆するように、無限閉区間上に定義された関数に関しては、そもそもその区間上で逐次積分可能であるか検討できません。このような問題を解決するためには、逐次積分の概念を何らかの形で拡張する必要があります。具体的には以下の通りです。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する無限区間上に定義された多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset \prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。ただし、任意の\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)に対して\(a_{i}\in \mathbb{R} \)です。ここで、以下の条件\begin{equation*}a_{i}<b_{i}\quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}を満たす点\(\left( b_{1},\cdots ,b_{n}\right)\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、この関数の定義域を、\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset \prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}へと縮小した場合、この関数\(f\)は新たな定義域\(\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \)上において有界であるものとします。関数\(f\)が新たな定義域である区間\(\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \)上で有界であるならば、\(f\)が逐次積分可能であるか検討できます。その上で、\(a_{i}<b_{i}\)を満たす点\(\left( b_{1},\cdots ,b_{n}\right) \)としてどのような値を選んだ場合でも、関数\(f\)の区間\(\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \)上での変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)に関する逐次積分\begin{equation*}\int_{a_{\left( n\right) }}^{b_{\left( n\right) }}\left( \cdots \left(
\int_{a_{\left( 1\right) }}^{b_{\left( 1\right) }}f\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots \right) dx_{\left(
n\right) }
\end{equation*}が必ず有限な実数として定まる状況を想定します。以上の想定のもとでは、\(\left( b_{\left(1\right) },\cdots ,b_{\left( n\right) }\right) \rightarrow \left( +\infty
,\cdots ,+\infty \right) \)の場合の極限\begin{equation*}\lim_{\left( b_{\left( 1\right) },\cdots ,b_{\left( n\right) }\right)
\rightarrow \left( +\infty ,\cdots ,+\infty \right) }\int_{a_{\left(
n\right) }}^{b_{\left( n\right) }}\left( \cdots \left( \int_{a_{\left(
1\right) }}^{b_{\left( 1\right) }}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots \right) dx_{\left( n\right) }
\end{equation*}をとることができます。この極限が有限な実数として定まるのであれば、\(f\)はそもそもの定義域である\(\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},+\infty \right) \)上で変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)に関して広義逐次積分可能(improper iterated integrable)であると言います。また、\(f\)が\(\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},+\infty \right) \)上で変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)に関して広義逐次積分可能である場合、先の極限を、\begin{equation*}\int_{a_{\left( n\right) }}^{+\infty }\left( \cdots \left( \int_{a_{\left(
1\right) }}^{+\infty }f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{\left( 1\right)
}\right) \cdots \right) dx_{\left( n\right) }=\lim_{\left( b_{\left(
1\right) },\cdots ,b_{\left( n\right) }\right) \rightarrow \left( +\infty
,\cdots ,+\infty \right) }\int_{a_{\left( n\right) }}^{b_{\left( n\right)
}}\left( \cdots \left( \int_{a_{\left( 1\right) }}^{b_{\left( 1\right)
}}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots
\right) dx_{\left( n\right) }
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の\(\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},+\infty \right) \)上での変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)に関する広義逐次積分(improper iterated integral)と呼びます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)は有界ではないため、\(f\)が\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上で広義逐次積分可能であるか検討します。そこで、\begin{eqnarray*}0 &<&\varepsilon _{1} \\
0 &<&\varepsilon _{2}
\end{eqnarray*}を満たす\(\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\in \mathbb{R} \)を選んだ上で、\(f\)の定義域を、\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ 0,\varepsilon _{1}\right] \times \left[ 0,\varepsilon _{2}\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}へと縮小した場合、\(f\)は有界になります。すると、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{\varepsilon _{2}}\left( \int_{0}^{\varepsilon _{1}}f\left(
x,y\right) dx\right) dy &=&\int_{0}^{\varepsilon _{2}}\left(
\int_{0}^{\varepsilon _{1}}xye^{-x^{2}-y^{2}}dx\right) dy \\
&=&\int_{0}^{\varepsilon _{2}}\left( \int_{0}^{\varepsilon
_{1}}xe^{-x^{2}}ye^{-y^{2}}dx\right) dy \\
&=&\int_{0}^{\varepsilon _{2}}\left( ye^{-y^{2}}\int_{0}^{\varepsilon
_{1}}xe^{-x^{2}}dx\right) dy \\
&=&\int_{0}^{\varepsilon _{2}}\left( ye^{-y^{2}}\left[ \frac{1}{2}\left(
1-e^{-x^{2}}\right) \right] _{x=0}^{\varepsilon _{1}}\right) dy \\
&=&\int_{0}^{\varepsilon _{2}}ye^{-y^{2}}\frac{1}{2}\left( 1-e^{-\varepsilon
_{1}^{2}}\right) dy \\
&=&\int_{0}^{\varepsilon _{2}}ye^{-y^{2}}\frac{1}{2}\left( 1-e^{-\varepsilon
_{1}^{2}}\right) dy \\
&=&\frac{1}{2}\left( 1-e^{-\varepsilon _{1}^{2}}\right)
\int_{0}^{\varepsilon _{2}}ye^{-y^{2}}dy \\
&=&\frac{1}{2}\left( 1-e^{-\varepsilon _{1}^{2}}\right) \left[ \frac{1}{2}\left( 1-e^{-y^{2}}\right) \right] _{y=0}^{\varepsilon _{2}} \\
&=&\frac{1}{4}\left( 1-e^{-\varepsilon _{1}^{2}}\right) \left(
1-e^{-\varepsilon _{2}^{2}}\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( \varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\right) \rightarrow \left(
+\infty ,+\infty \right) }\int_{0}^{\varepsilon _{2}}\left(
\int_{0}^{\varepsilon _{1}}f\left( x,y\right) dx\right) dy &=&\lim_{\left(
\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\right) \rightarrow \left( +\infty ,+\infty
\right) }\frac{1}{4}\left( 1-e^{-\varepsilon _{1}^{2}}\right) \left(
1-e^{-\varepsilon _{2}^{2}}\right) \\
&=&\frac{1}{4}\left( 1-0\right) \left( 1-0\right) \\
&=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上において変数\(x,y\)について広義逐次積分可能であるとともに、\begin{equation*}\int_{0}^{+\infty }\left( \int_{0}^{+\infty }f\left( x,y\right) dx\right) dy=\frac{1}{4}
\end{equation*}であることが明らかになりました。
\end{equation*}上に定義された多変数関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(I\)上において連続であるものとします。ただし、任意の\(i\ \left( =1,\cdots,n\right) \)に対して\(a_{i}\in \mathbb{R} \)です。以下の条件\begin{equation*}a_{i}<b_{i}\quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}を満たす点\(\left( b_{1},\cdots ,b_{n}\right)\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、この関数の定義域を、\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset \prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}へと縮小した場合、この関数\(f\)は新たな定義域\(\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \)上において連続です。したがって、フビニの定理より、\(f\)は\(\prod_{i=1}^{n}\left[a_{i},b_{i}\right] \)上において\(n\)重積分であるとともに、変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の任意の並び\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)について、\begin{equation*}\int_{\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] }f\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) dA=\int_{a_{\left( n\right) }}^{b_{\left( n\right) }}\left(
\cdots \left( \int_{a_{\left( 1\right) }}^{b_{\left( 1\right) }}f\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots \right)
dx_{\left( n\right) }
\end{equation*}が成り立ちます。すると、\begin{eqnarray*}
\int_{I}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dA &=&\lim_{\left( b_{\left(
1\right) },\cdots ,b_{\left( n\right) }\right) \rightarrow \left( +\infty
,\cdots ,+\infty \right) }\int_{\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] }f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dA \\
&=&\lim_{\left( b_{\left( 1\right) },\cdots ,b_{\left( n\right) }\right)
\rightarrow \left( +\infty ,\cdots ,+\infty \right) }\int_{a_{\left(
n\right) }}^{b_{\left( n\right) }}\left( \cdots \left( \int_{a_{\left(
1\right) }}^{b_{\left( 1\right) }}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots \right) dx_{\left( n\right) }
\end{eqnarray*}を得るため、広義逐次積分を用いて広義\(n\)重積分を特定できます。
限りなく小さい任意の点を含む無限閉区間上での関数の広義逐次積分
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する無限区間上に定義された多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset \prod_{i=1}^{n}(-\infty ,b_{i}]\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。ただし、任意の\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)に対して\(b_{i}\in \mathbb{R} \)です。ここで、以下の条件\begin{equation*}a_{i}<b_{i}\quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}を満たす点\(\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right)\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、この関数の定義域を、\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset \prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}へと縮小した場合、この関数\(f\)は新たな定義域\(\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \)上において有界であるものとします。関数\(f\)が新たな定義域である区間\(\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \)上で有界であるならば、\(f\)が逐次積分可能であるか検討できます。その上で、\(a_{i}<b_{i}\)を満たす点\(\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \)としてどのような値を選んだ場合でも、関数\(f\)の区間\(\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \)上での変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)に関する逐次積分\begin{equation*}\int_{a_{\left( n\right) }}^{b_{\left( n\right) }}\left( \cdots \left(
\int_{a_{\left( 1\right) }}^{b_{\left( 1\right) }}f\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots \right) dx_{\left(
n\right) }
\end{equation*}が必ず有限な実数として定まる状況を想定します。以上の想定のもとでは、\(\left( a_{\left(1\right) },\cdots ,a_{\left( n\right) }\right) \rightarrow \left( -\infty
,\cdots ,-\infty \right) \)の場合の極限\begin{equation*}\lim_{\left( a_{\left( 1\right) },\cdots ,a_{\left( n\right) }\right)
\rightarrow \left( -\infty ,\cdots ,-\infty \right) }\int_{a_{\left(
n\right) }}^{b_{\left( n\right) }}\left( \cdots \left( \int_{a_{\left(
1\right) }}^{b_{\left( 1\right) }}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots \right) dx_{\left( n\right) }
\end{equation*}をとることができます。この極限が有限な実数として定まるのであれば、\(f\)はそもそもの定義域である\(\prod_{i=1}^{n}(-\infty ,b_{i}]\)上で変数\(x_{\left(1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)に関して広義逐次積分可能(improper iterated integrable)であると言います。また、\(f\)が\(\prod_{i=1}^{n}(-\infty ,b_{i}]\)上で変数\(x_{\left(1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)に関して広義逐次積分可能である場合、先の極限を、\begin{equation*}\int_{-\infty }^{b_{\left( n\right) }}\left( \cdots \left( \int_{-\infty
}^{b_{\left( 1\right) }}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{\left(
1\right) }\right) \cdots \right) dx_{\left( n\right) }=\lim_{\left(
a_{\left( 1\right) },\cdots ,a_{\left( n\right) }\right) \rightarrow \left(
-\infty ,\cdots ,-\infty \right) }\int_{a_{\left( n\right) }}^{b_{\left(
n\right) }}\left( \cdots \left( \int_{a_{\left( 1\right) }}^{b_{\left(
1\right) }}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{\left( 1\right) }\right)
\cdots \right) dx_{\left( n\right) }
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の\(\prod_{i=1}^{n}(-\infty ,b_{i}]\)上での変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)に関する広義逐次積分(improper iterated integral)と呼びます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{-}^{2}\)は有界ではないため、\(f\)が\(\mathbb{R} _{-}^{2}\)上で広義逐次積分可能であるか検討します。そこで、\begin{eqnarray*}\varepsilon _{1} &<&0 \\
\varepsilon _{2} &<&0
\end{eqnarray*}を満たす\(\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\in \mathbb{R} \)を選んだ上で、\(f\)の定義域を、\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ \varepsilon _{1},0\right] \times \left[ \varepsilon _{2},0\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}へと縮小した場合、\(f\)は有界になります。すると、\begin{eqnarray*}\int_{\varepsilon _{2}}^{0}\left( \int_{\varepsilon _{1}}^{0}f\left(
x,y\right) dx\right) dy &=&\int_{\varepsilon _{2}}^{0}\left(
\int_{\varepsilon _{1}}^{0}xye^{-x^{2}-y^{2}}dx\right) dy \\
&=&\int_{\varepsilon _{2}}^{0}\left( \int_{\varepsilon
_{1}}^{0}xe^{-x^{2}}ye^{-y^{2}}dx\right) dy \\
&=&\int_{\varepsilon _{2}}^{0}\left( ye^{-y^{2}}\int_{\varepsilon
_{1}}^{0}xe^{-x^{2}}dx\right) dy \\
&=&\int_{\varepsilon _{2}}^{0}\left( ye^{-y^{2}}\left[ \frac{1}{2}\left(
1-e^{-x^{2}}\right) \right] _{x=\varepsilon _{1}}^{0}\right) dy \\
&=&\int_{\varepsilon _{2}}^{0}ye^{-y^{2}}\frac{1}{2}\left( e^{-\varepsilon
_{1}^{2}}-1\right) dy \\
&=&\int_{\varepsilon _{2}}^{0}ye^{-y^{2}}\frac{1}{2}\left( e^{-\varepsilon
_{1}^{2}}-1\right) dy \\
&=&\frac{1}{2}\left( e^{-\varepsilon _{1}^{2}}-1\right) \int_{\varepsilon
_{2}}^{0}ye^{-y^{2}}dy \\
&=&\frac{1}{2}\left( e^{-\varepsilon _{1}^{2}}-1\right) \left[ \frac{1}{2}\left( 1-e^{-y^{2}}\right) \right] _{y=\varepsilon _{2}}^{0} \\
&=&\frac{1}{4}\left( e^{-\varepsilon _{1}^{2}}-1\right) \left(
e^{-\varepsilon _{2}^{2}}-1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( \varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\right) \rightarrow \left(
-\infty ,-\infty \right) }\int_{\varepsilon _{2}}^{0}\left(
\int_{\varepsilon _{1}}^{0}f\left( x,y\right) dx\right) dy &=&\lim_{\left(
\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\right) \rightarrow \left( -\infty ,-\infty
\right) }\frac{1}{4}\left( e^{-\varepsilon _{1}^{2}}-1\right) \left(
e^{-\varepsilon _{2}^{2}}-1\right) \\
&=&\frac{1}{4}\left( 0-1\right) \left( 0-1\right) \\
&=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上において変数\(x,y\)について広義逐次積分可能であるとともに、\begin{equation*}\int_{-\infty }^{0}\left( \int_{-\infty }^{0}f\left( x,y\right) dx\right) dy=\frac{1}{4}
\end{equation*}であることが明らかになりました。
f:\mathbb{R} ^{n}\supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(I\)上において連続であるものとします。ただし、任意の\(i\ \left( =1,\cdots,n\right) \)に対して\(b_{i}\in \mathbb{R} \)です。以下の条件\begin{equation*}a_{i}<b_{i}\quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}を満たす点\(\left( b_{1},\cdots ,b_{n}\right)\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、この関数の定義域を、\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset \prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}へと縮小した場合、この関数\(f\)は新たな定義域\(\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \)上において連続です。したがって、フビニの定理より、\(f\)は\(\prod_{i=1}^{n}\left[a_{i},b_{i}\right] \)上において\(n\)重積分であるとともに、変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の任意の並び\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)について、\begin{equation*}\int_{\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] }f\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) dA=\int_{a_{\left( n\right) }}^{b_{\left( n\right) }}\left(
\cdots \left( \int_{a_{\left( 1\right) }}^{b_{\left( 1\right) }}f\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots \right)
dx_{\left( n\right) }
\end{equation*}が成り立ちます。すると、\begin{eqnarray*}
\int_{I}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dA &=&\lim_{\left( a_{\left(
1\right) },\cdots ,a_{\left( n\right) }\right) \rightarrow \left( -\infty
,\cdots ,-\infty \right) }\int_{\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] }f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dA \\
&=&\lim_{\left( a_{\left( 1\right) },\cdots ,a_{\left( n\right) }\right)
\rightarrow \left( -\infty ,\cdots ,-\infty \right) }\int_{a_{\left(
n\right) }}^{b_{\left( n\right) }}\left( \cdots \left( \int_{a_{\left(
1\right) }}^{b_{\left( 1\right) }}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots \right) dx_{\left( n\right) }
\end{eqnarray*}を得るため、広義逐次積分を用いて広義\(n\)重積分を特定できます。
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