区間の左側の端点において無限大となる関数の広義逐次積分
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する有界かつ閉な区間\begin{equation*}\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] =\left[ a_{1},b_{1}\right] \times
\cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right]
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、任意の\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)に対して\(a_{i}<b_{i}\)です。このような区間上に定義された多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset \prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(I\)上で有界であるものとします。変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)を並び替えたものを\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)で表記します。この場合、\(f\)の\(I\)上における変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)に関する逐次積分は、\begin{equation*}\int_{a_{\left( n\right) }}^{b_{\left( n\right) }}\left( \cdots \left(
\int_{a_{\left( 1\right) }}^{b_{\left( 1\right) }}f\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots \right) dx_{\left(
n\right) }
\end{equation*}と定義されます。特に、\(f\)が\(I\)上において連続である場合には、フビニの定理より、\(f\)は\(I\)上において\(n\)重積分であるとともに、変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の任意の並び\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)について、\begin{equation*}\int_{I}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dA=\int_{a_{\left( n\right)
}}^{b_{\left( n\right) }}\left( \cdots \left( \int_{a_{\left( 1\right)
}}^{b_{\left( 1\right) }}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{\left(
1\right) }\right) \cdots \right) dx_{\left( n\right) }
\end{equation*}が成り立ちます。
では、定義域が無限区間であるような関数や、有界ではない関数などについても、その逐次積分可能性を検討できるのでしょうか。まずは有界ではない関数について考えます。以下が具体例です。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
I=\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}です。この関数\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において定義されていないため、このままでは\(f\)が有界閉区間\(I\)上で逐次積分可能であるか検討できません。\(f\left( 0,0\right) \)の値を選ぶことにより関数\(f\)の定義域を拡張して、\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{2}\supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を得たとしても、そもそもこの関数は\(I\)上で有界ではありません。実際、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0+,0+\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0+,0+\right) }\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つからです。逐次積分は有界関数に対して定義される概念であるため、結局、この関数\(f\)が有界閉区間\(I\)上で逐次積分可能であるか検討することさえできません。
上の例が示唆するように、有界ではない関数に関しては、そもそも逐次積分可能であるか検討できません。このような問題を解決するためには、逐次積分の概念を何らかの形で拡張する必要があります。具体的には以下の通りです。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する有界な区間上に定義された多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset \prod_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。ただし、任意の\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)に対して\(a_{i}<b_{i}\)です。さらに、点\(\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)において、\begin{equation*}\lim_{\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \rightarrow \left( a_{1}+,\cdots
,a_{n}+\right) }f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =\pm \infty
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、この関数は有界ではないということです。その一方で、\begin{equation*}
a_{i}<c_{i}<b_{i}\quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}を満たす点\(\left( c_{1},\cdots ,c_{n}\right)\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、この関数の定義域を、\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset \prod_{i=1}^{n}\left[ c_{i},b_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}へと縮小した場合、この関数\(f\)は新たな定義域\(\prod_{i=1}^{n}\left[ c_{i},b_{i}\right] \)上において有界であるものとします。関数\(f\)が新たな定義域である区間\(\prod_{i=1}^{n}\left[ c_{i},b_{i}\right] \)上で有界であるならば、\(f\)が逐次積分可能であるか検討できます。その上で、\(a_{i}<c_{i}<b_{i}\)を満たす点\(\left( c_{1},\cdots ,c_{n}\right) \)としてどのような値を選んだ場合でも、関数\(f\)の区間\(\prod_{i=1}^{n}\left[ c_{i},b_{i}\right] \)上での変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left(n\right) }\)に関する逐次積分\begin{equation*}\int_{c_{\left( n\right) }}^{b_{\left( n\right) }}\left( \cdots \left(
\int_{c_{\left( 1\right) }}^{b_{\left( 1\right) }}f\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots \right) dx_{\left(
n\right) }
\end{equation*}が必ず有限な実数として定まる状況を想定します。以上の想定のもとでは、\(\left( c_{\left(1\right) },\cdots ,c_{\left( n\right) }\right) \rightarrow \left( a_{\left(
1\right) }+,\cdots ,a_{\left( n\right) }+\right) \)の場合の右側極限\begin{equation*}\lim_{\left( c_{\left( 1\right) },\cdots ,c_{\left( n\right) }\right)
\rightarrow \left( a_{\left( 1\right) }+,\cdots ,a_{\left( n\right)
}+\right) }\int_{c_{\left( n\right) }}^{b_{\left( n\right) }}\left( \cdots
\left( \int_{c_{\left( 1\right) }}^{b_{\left( 1\right) }}f\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots \right)
dx_{\left( n\right) }
\end{equation*}をとることができます。この右側極限が有限な実数として定まるのであれば、\(f\)はそもそもの定義域である\(\prod_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right] \)上で変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)に関して広義逐次積分可能(improper iterated integrable)であると言います。また、\(f\)が\(\prod_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right] \)上で変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left(n\right) }\)に関して広義逐次積分可能である場合、先の右側極限を、\begin{equation*}\int_{a_{\left( n\right) }}^{b_{\left( n\right) }}\left( \cdots \left(
\int_{a_{\left( 1\right) }}^{b_{\left( 1\right) }}f\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots \right) dx_{\left(
n\right) }=\lim_{\left( c_{\left( 1\right) },\cdots ,c_{\left( n\right)
}\right) \rightarrow \left( a_{\left( 1\right) }+,\cdots ,a_{\left( n\right)
}+\right) }\int_{c_{\left( n\right) }}^{b_{\left( n\right) }}\left( \cdots
\left( \int_{c_{\left( 1\right) }}^{b_{\left( 1\right) }}f\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots \right)
dx_{\left( n\right) }
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の\(\prod_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right] \)上での変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)に関する広義逐次積分(improper iterated integral)と呼びます。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
I=\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}です。この関数\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において定義されておらず、なおかつ、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0+,0+\right) }f\left( x,y\right)
=\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0+,0+\right) }\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=+\infty
\end{equation*}であるため、\(f\)が\(I\backslash\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)上で広義逐次積分可能であるか検証します。そこで、\begin{eqnarray*}0 &<&\varepsilon _{1}<1 \\
0 &<&\varepsilon _{2}<1
\end{eqnarray*}を満たす\(\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\in \mathbb{R} \)を選んだ上で、\(f\)の定義域を、\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ \varepsilon _{1},1\right] \times \left[ \varepsilon _{2},1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}へと縮小した場合、\(f\)は有界になります。その上で、\begin{equation}\int_{\varepsilon _{2}}^{1}\left( \int_{\varepsilon _{1}}^{1}f\left(
x,y\right) dx\right) dy=\int_{\varepsilon _{2}}^{1}\left( \int_{\varepsilon
_{1}}^{1}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}dx\right) dy \quad \cdots (1)
\end{equation}を計算します。被積分関数は連続であるため、円座標を用いて逐次積分を求めます。積分範囲を円座標に変換すると、\begin{eqnarray*}
&&\left\{ \left( r,\theta \right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq \theta \leq \frac{\pi }{4}\wedge 0\leq r\leq \frac{1-\varepsilon _{1}}{\cos \left( \theta \right) }\right\} \\
&&\cup \left\{ \left( r,\theta \right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \frac{\pi }{4}<\theta \leq \frac{\pi }{2}\wedge 0\leq r\leq \frac{1-\varepsilon _{2}}{\sin \left( \theta \right) }\right\}
\end{eqnarray*}となります。被積分関数も円座標に変換すると、\begin{eqnarray*}
\left. \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right\vert _{\left( x,y\right) =\left(
r\cos \left( \theta \right) ,r\sin \left( \theta \right) \right) }\cdot r &=&\frac{r}{\sqrt{r^{2}\cos ^{2}\left( \theta \right) +r^{2}\sin ^{2}\left(
\theta \right) }} \\
&=&\frac{r}{\sqrt{r^{2}}} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
\int_{\varepsilon _{2}}^{1}\left( \int_{\varepsilon _{1}}^{1}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}dx\right) dy &=&\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\left( \int_{0}^{\frac{1-\varepsilon _{1}}{\cos \left( \theta \right) }}1dr\right) d\theta +\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\left( \int_{0}^{\frac{1-\varepsilon _{2}}{\sin \left( \theta \right) }}1dr\right) d\theta \\
&=&\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\left( \left[ r\right] _{r=0}^{\frac{1-\varepsilon _{1}}{\cos \left( \theta \right) }}\right) d\theta +\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\left( \left[ r\right] _{r=0}^{\frac{1-\varepsilon _{2}}{\sin \left( \theta \right) }}\right) d\theta \\
&=&\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1-\varepsilon _{1}}{\cos \left( \theta
\right) }d\theta +\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\left( \frac{1-\varepsilon _{2}}{\sin \left( \theta \right) }\right) d\theta \\
&=&\left( 1-\varepsilon _{1}\right) \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{\cos
\left( \theta \right) }d\theta +\left( 1-\varepsilon _{2}\right) \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{\sin \left( \theta \right) }d\theta \\
&=&\left( 1-\varepsilon _{1}\right) \ln \left( \sqrt{2}+1\right) +\left(
1-\varepsilon _{2}\right) \ln \left( \sqrt{2}+1\right) \\
&=&\left( 2-\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2}\right) \ln \left( \sqrt{2}+1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\int_{\varepsilon _{2}}^{1}\left( \int_{\varepsilon _{1}}^{1}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}dx\right) dy=\left( 2-\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2}\right)
\ln \left( \sqrt{2}+1\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( \varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\right) \rightarrow \left(
0+,0+\right) }\int_{\varepsilon _{2}}^{1}\left( \int_{\varepsilon
_{1}}^{1}f\left( x,y\right) dx\right) dy &=&\lim_{\left( \varepsilon
_{1},\varepsilon _{2}\right) \rightarrow \left( 0+,0+\right)
}\int_{\varepsilon _{2}}^{1}\left( \int_{\varepsilon _{1}}^{1}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}dx\right) dy\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\lim_{\left( \varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\right) \rightarrow \left(
0+,0+\right) }\left( 2-\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2}\right) \ln \left(
\sqrt{2}+1\right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&2\ln \left( \sqrt{2}+1\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため、\(f\)は\(I\backslash \left\{ \left( 0,0\right)\right\} \)上において変数\(x,y\)について広義逐次積分可能であるとともに、\begin{equation*}\int_{0}^{1}\left( \int_{0}^{1}f\left( x,y\right) dx\right) dy=2\ln \left(
\sqrt{2}+1\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。
f:\mathbb{R} ^{n}\supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(I\)上において連続であるものとします。ただし、任意の\(i\ \left( =1,\cdots,n\right) \)に対して\(a_{i}<b_{i}\)です。さらに、点\(\left( a_{1},\cdots,a_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)において、\begin{equation*}\lim_{\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \rightarrow \left( a_{1}+,\cdots
,a_{n}+\right) }f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =\pm \infty
\end{equation*}が成り立つものとします。以下の条件\begin{equation*}
a_{i}<c_{i}<b_{i}\quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}を満たす点\(\left( c_{1},\cdots ,c_{n}\right)\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、この関数の定義域を、\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset \prod_{i=1}^{n}\left[ c_{i},b_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}へと縮小した場合、この関数\(f\)は新たな定義域\(\prod_{i=1}^{n}\left( c_{i},b_{i}\right] \)上において連続です。したがって、フビニの定理より、\(f\)は\(\prod_{i=1}^{n}\left[c_{i},b_{i}\right] \)上において\(n\)重積分であるとともに、変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の任意の並び\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)について、\begin{equation*}\int_{\prod_{i=1}^{n}\left[ c_{i},b_{i}\right] }f\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) dA=\int_{c_{\left( n\right) }}^{b_{\left( n\right) }}\left(
\cdots \left( \int_{c_{\left( 1\right) }}^{b_{\left( 1\right) }}f\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots \right)
dx_{\left( n\right) }
\end{equation*}が成り立ちます。すると、\begin{eqnarray*}
\int_{I}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dA &=&\lim_{\left( c_{\left(
1\right) },\cdots ,c_{\left( n\right) }\right) \rightarrow \left( a_{\left(
1\right) }+,\cdots ,a_{\left( n\right) }+\right) }\int_{\prod_{i=1}^{n}\left[
c_{i},b_{i}\right] }f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dA \\
&=&\lim_{\left( c_{\left( 1\right) },\cdots ,c_{\left( n\right) }\right)
\rightarrow \left( a_{\left( 1\right) }+,\cdots ,a_{\left( n\right)
}+\right) }\int_{c_{\left( n\right) }}^{b_{\left( n\right) }}\left( \cdots
\left( \int_{c_{\left( 1\right) }}^{b_{\left( 1\right) }}f\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots \right)
dx_{\left( n\right) }
\end{eqnarray*}を得るため、広義逐次積分を用いて広義\(n\)重積分を特定できます。
区間の右側の端点において無限大となる関数の広義逐次積分
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する有界な区間上に定義された多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset \prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。ただし、任意の\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)に対して\(a_{i}<b_{i}\)です。さらに、点\(\left( b_{1},\cdots ,b_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)において、\begin{equation*}\lim_{\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \rightarrow \left( b_{1}-,\cdots
,b_{n}-\right) }f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =\pm \infty
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、この関数は有界ではないということです。その一方で、\begin{equation*}
a_{i}<c_{i}<b_{i}\quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}を満たす点\(\left( c_{1},\cdots ,c_{n}\right)\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、この関数の定義域を、\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset \prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},c_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}へと縮小した場合、この関数\(f\)は新たな定義域\(\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},c_{i}\right] \)上において有界であるものとします。関数\(f\)が新たな定義域である区間\(\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},c_{i}\right] \)上で有界であるならば、\(f\)が逐次積分可能であるか検討できます。その上で、\(a_{i}<c_{i}<b_{i}\)を満たす点\(\left( c_{1},\cdots ,c_{n}\right) \)としてどのような値を選んだ場合でも、関数\(f\)の区間\(\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},c_{i}\right] \)上での変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left(n\right) }\)に関する逐次積分\begin{equation*}\int_{a_{\left( n\right) }}^{c_{\left( n\right) }}\left( \cdots \left(
\int_{a_{\left( 1\right) }}^{c_{\left( 1\right) }}f\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots \right) dx_{\left(
n\right) }
\end{equation*}が必ず有限な実数として定まる状況を想定します。以上の想定のもとでは、\(\left( c_{\left(1\right) },\cdots ,c_{\left( n\right) }\right) \rightarrow \left( b_{\left(
1\right) }-,\cdots ,b_{\left( n\right) }-\right) \)の場合の左側極限\begin{equation*}\lim_{\left( c_{\left( 1\right) },\cdots ,c_{\left( n\right) }\right)
\rightarrow \left( b_{\left( 1\right) }-,\cdots ,b_{\left( n\right)
}-\right) }\int_{a_{\left( n\right) }}^{c_{\left( n\right) }}\left( \cdots
\left( \int_{a_{\left( 1\right) }}^{c_{\left( 1\right) }}f\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots \right)
dx_{\left( n\right) }
\end{equation*}をとることができます。この左側極限が有限な実数として定まるのであれば、\(f\)はそもそもの定義域である\(\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right) \)上で変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)に関して広義逐次積分可能(improper iterated integrable)であると言います。また、\(f\)が\(\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right) \)上で変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left(n\right) }\)に関して広義逐次積分可能である場合、先の右側極限を、\begin{equation*}\int_{a_{\left( n\right) }}^{b_{\left( n\right) }}\left( \cdots \left(
\int_{a_{\left( 1\right) }}^{b_{\left( 1\right) }}f\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots \right) dx_{\left(
n\right) }=\lim_{\left( c_{\left( 1\right) },\cdots ,c_{\left( n\right)
}\right) \rightarrow \left( b_{\left( 1\right) }-,\cdots ,b_{\left( n\right)
}-\right) }\int_{a_{\left( n\right) }}^{c_{\left( n\right) }}\left( \cdots
\left( \int_{a_{\left( 1\right) }}^{c_{\left( 1\right) }}f\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots \right)
dx_{\left( n\right) }
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の\(\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right) \)上での変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)に関する広義逐次積分(improper iterated integral)と呼びます。
\end{equation*}上に定義された多変数関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(I\)上において連続であるものとします。ただし、任意の\(i\ \left( =1,\cdots,n\right) \)に対して\(a_{i}<b_{i}\)です。さらに、点\(\left( b_{1},\cdots,b_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)において、\begin{equation*}\lim_{\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \rightarrow \left( b_{1}-,\cdots
,b_{n}-\right) }f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =\pm \infty
\end{equation*}が成り立つものとします。以下の条件\begin{equation*}
a_{i}<c_{i}<b_{i}\quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}を満たす点\(\left( c_{1},\cdots ,c_{n}\right)\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、この関数の定義域を、\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset \prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},c_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}へと縮小した場合、この関数\(f\)は新たな定義域\(\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},c_{i}\right] \)上において連続です。したがって、フビニの定理より、\(f\)は\(\prod_{i=1}^{n}\left[a_{i},c_{i}\right] \)上において\(n\)重積分であるとともに、変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の任意の並び\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)について、\begin{equation*}\int_{\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},c_{i}\right] }f\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) dA=\int_{a_{\left( n\right) }}^{c_{\left( n\right) }}\left(
\cdots \left( \int_{a_{\left( 1\right) }}^{c_{\left( 1\right) }}f\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots \right)
dx_{\left( n\right) }
\end{equation*}が成り立ちます。すると、\begin{eqnarray*}
\int_{I}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dA &=&\lim_{\left( c_{\left(
1\right) },\cdots ,c_{\left( n\right) }\right) \rightarrow \left( b_{\left(
1\right) }-,\cdots ,b_{\left( n\right) }-\right) }\int_{\prod_{i=1}^{n}\left[
a_{i},c_{i}\right] }f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dA \\
&=&\lim_{\left( c_{\left( 1\right) },\cdots ,c_{\left( n\right) }\right)
\rightarrow \left( b_{\left( 1\right) }-,\cdots ,b_{\left( n\right)
}-\right) }\int_{a_{\left( n\right) }}^{c_{\left( n\right) }}\left( \cdots
\left( \int_{a_{\left( 1\right) }}^{c_{\left( 1\right) }}f\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots \right)
dx_{\left( n\right) }
\end{eqnarray*}を得るため、広義逐次積分を用いて広義\(n\)重積分を特定できます。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】