非有界集合上に定義された関数の広義多重リーマン積分
これまではユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界かつ閉な区間や基本領域上に定義された有界な多変数関数に対象を限定した上で、そのような関数が多重リーマン積分であることの意味を定義するとともに、多重リーマン積分可能な関数の性質について解説してきました。では、定義域が有界かつ閉な区間や基本領域ではないような関数や、有界ではない関数などについても、その多重リーマン積分可能性を検討できるのでしょうか。ここでは定義域が有界ではない関数について考えます。以下が具体例です。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は有界ではないため、このままでは\(f\)が\(\mathbb{R} ^{2}\)上で2重リーマン積分可能であるか検討できません。
上の例が示唆するように、定義域が有界ではない関数に関しては、そもそも多重リーマン積分可能であるか検討できません。このような問題を解決するためには、多重リーマン積分の概念を何らかの形で拡張する必要があります。具体的には以下の通りです。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界ではない集合\(X\)上に定義された多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられた状況を想定します。点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で固定し、十分大きい\(\varepsilon >0\)について、中心が\(\boldsymbol{a}\)であり半径が\(\varepsilon \)であるような近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right\Vert <\varepsilon
\right\}
\end{equation*}をとります。\(f\)の新たな定義域として\(X\)と\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)の共通部分を採用して、\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\cap N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}とした場合、この関数\(f\)は新たな定義域\(X\cap N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)において有界であるものとします。関数\(f\)が新たな定義域である基本領域\(X\cap N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)上で有界であるならば、\(f\)が\(X\cap N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)上で多重リーマン積分可能であるか検討できます。その上で、十分大きい任意の\(\varepsilon \)について\(f\)は\(X\cap N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)上で多重リーマン積分可能であるものとします。つまり、十分大きい任意の\(\varepsilon >0\)について、\begin{equation*}\int \cdots \int_{X\cap N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dA
\end{equation*}が必ず有限な実数として定まる状況を想定するということです。以上の想定のもとでは、\(\varepsilon \rightarrow +\infty \)の場合の極限\begin{equation*}\lim_{\varepsilon \rightarrow +\infty }\int \cdots \int_{X\cap
N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) }f\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) dA
\end{equation*}をとることができます。この極限が有限な実数として定まるのであれば、\(f\)はそもそもの定義域\(X\)上で広義\(n\)重積分可能(improper \(n\)-dimensional integrable on \(X\))であるとか広義\(n\)重リーマン積分可能(improper \(n\)-dimensional Rieman integrable on \(X\))であるなどと言います。また、\(f\)が定義域\(X\)上で広義\(n\)重積分可能である場合、先の極限を、\begin{equation*}\int \cdots \int_{X}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dA=\lim_{\varepsilon
\rightarrow +\infty }\int \cdots \int_{X\cap N_{\varepsilon }\left(
\boldsymbol{a}\right) }f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dA
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の\(X\)上での広義\(n\)重積分(improper \(n\)-dimensional integral on \(X\))や広義\(n\)重リーマン積分(improper \(n\)-dimensional Rieman integrable on \(X\))であるなどと呼びます。
改めて整理すると、有界ではない集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が広義\(n\)重積分可能であることとは、十分大きい任意の\(\varepsilon >0\)について、\begin{equation*}\left( a\right) \ \int \cdots \int_{X\cap N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) }f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dA\in \mathbb{R} \end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
\left( b\right) \ \lim_{\varepsilon \rightarrow +\infty }\int \cdots
\int_{X\cap N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) }f\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dA\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つこととして定義されます。その上で、\(f\)の\(X\)上の広義\(n\)重積分は、\begin{equation*}\int \cdots \int_{X}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dA=\lim_{\varepsilon
\rightarrow +\infty }\int \cdots \int_{X\cap N_{\varepsilon }\left(
\boldsymbol{a}\right) }f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dA
\end{equation*}と定義されます。なお、関数\(f\)が\(X\)上で広義\(n\)重積分可能ではない場合、\(f\)は\(X\)上で発散する(diverge)と言います。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は有界ではないため、\(f\)が\(\mathbb{R} ^{2}\)上で広義2重積分可能であるか検討します。原点\(\left( 0,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( \left( 0,0\right) \right) =\left\{ \left( x,y\right)
\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\varepsilon \right\}
\end{equation*}に注目した上で、関数\(f\)の定義域を、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{2}\cap N_{\varepsilon }\left( \left( 0,0\right) \right) =N_{\varepsilon}\left( \left( 0,0\right) \right)
\end{equation*}へと縮小して、\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{2}\supset N_{\varepsilon }\left( \left( 0,0\right) \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}とした場合、\(f\)は有界になります。その上で、\begin{equation}\int \int_{N_{\varepsilon }\left( \left( 0,0\right) \right) }f\left(
x,y\right) dA=\int \int_{N_{\varepsilon }\left( \left( 0,0\right) \right)
}e^{-x^{2}-y^{2}}dA \quad \cdots (1)
\end{equation}を計算します。関数\(f\)は連続であるため、円座標を用いて2重積分を求めます。積分範囲を円座標に変換すると、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( \left( 0,0\right) \right) =\left\{ \left( r,\theta
\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq r\leq \varepsilon \wedge 0\leq \theta <2\pi \right\}
\end{equation*}となります。被積分関数も円座標に変換すると、\begin{eqnarray*}
\left. e^{-x^{2}-y^{2}}\right\vert _{\left( x,y\right) =\left( r\cos \left(
\theta \right) ,r\sin \left( \theta \right) \right) }\cdot r
&=&e^{-r^{2}\cos ^{2}\left( \theta \right) -r^{2}\sin ^{2}\left( \theta
\right) }\cdot r \\
&=&re^{-r^{2}}
\end{eqnarray*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
\int \int_{N_{\varepsilon }\left( \left( 0,0\right) \right)
}e^{-x^{2}-y^{2}}dA &=&\int_{0}^{\varepsilon }\left( \int_{0}^{2\pi
}re^{-r^{2}}d\theta \right) dr \\
&=&\int_{0}^{\varepsilon }\left( re^{-r^{2}}\int_{0}^{2\pi }1d\theta \right)
dr \\
&=&\int_{0}^{\varepsilon }re^{-r^{2}}\left( \left[ \theta \right] _{\theta
=0}^{2\pi }\right) dr \\
&=&\int_{0}^{\varepsilon }re^{-r^{2}}2\pi dr \\
&=&2\pi \int_{0}^{\varepsilon }re^{-r^{2}}dr
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\int \int_{N_{\varepsilon }\left( \left( 0,0\right) \right)
}e^{-x^{2}-y^{2}}dA=2\pi \int_{0}^{\varepsilon }re^{-r^{2}}dr \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。そこで、\begin{equation*}
\int_{0}^{\varepsilon }re^{-r^{2}}dr
\end{equation*}を計算します。被積分関数\(re^{-r^{2}}\)の形状を観察すると、\begin{eqnarray*}re^{-r^{2}} &=&\left. e^{u}\right\vert _{u=-r^{2}}\cdot -\frac{1}{2}\frac{d}{dr}\left( -r^{2}\right) \\
&&\left. -\frac{1}{2}e^{u}\right\vert _{u=-r^{2}}\cdot \frac{d}{dr}\left(
-r^{2}\right)
\end{eqnarray*}であることに気が付きます。関数\(-\frac{1}{2}e^{u}\)は連続であるため、関数\(-r^{2}\)は\(C^{1}\)級であるため直接置換を利用できます。具体的には、積分区間を、\begin{equation*}\left[ 0,\varepsilon \right] \rightarrow \left[ -0^{2},-\varepsilon ^{2}\right] =\left[ 0,-\varepsilon ^{2}\right] \end{equation*}へ変換した上で直接置換を利用すると、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{\varepsilon }re^{-r^{2}}dr &=&\int_{0}^{-\varepsilon ^{2}}-\frac{1}{2}e^{u}du \\
&=&-\frac{1}{2}\int_{0}^{-\varepsilon ^{2}}e^{u}du \\
&=&-\frac{1}{2}\left[ e^{u}\right] _{0}^{-\varepsilon ^{2}} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( e^{-\varepsilon ^{2}}-e^{0}\right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left( e^{-\varepsilon ^{2}}-1\right) \\
&=&\frac{1}{2}-\frac{e^{-\varepsilon ^{2}}}{2}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\int_{0}^{\varepsilon }re^{-r^{2}}dr=\frac{1}{2}-\frac{e^{-\varepsilon ^{2}}}{2} \quad \cdots (3)
\end{equation}となります。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
\int \int_{N_{\varepsilon }\left( \left( 0,0\right) \right) }f\left(
x,y\right) dA &=&\int \int_{N_{\varepsilon }\left( \left( 0,0\right) \right)
}e^{-x^{2}-y^{2}}dA\quad \because \left( 1\right) \\
&=&2\pi \int_{0}^{\varepsilon }re^{-r^{2}}dr\quad \because \left( 2\right)
\\
&=&2\pi \left( \frac{1}{2}-\frac{e^{-\varepsilon ^{2}}}{2}\right) \quad
\because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{\varepsilon \rightarrow +\infty }\int \int_{N_{\varepsilon }\left(
\left( 0,0\right) \right) }f\left( x,y\right) dA &=&\lim_{\varepsilon
\rightarrow +\infty }2\pi \left( \frac{1}{2}-\frac{e^{-\varepsilon ^{2}}}{2}\right) \\
&=&\pi
\end{eqnarray*}を得ますが、これは有限な実数であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で広義2重積分可能であるとともに、\begin{equation*}\int \int_{\mathbb{R} ^{2}}f\left( x,y\right) dA=\pi
\end{equation*}であることが明らかになりました。
関数の広義多重積分可能であるとは限らない
関数は広義多重積分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において定義されておらず、なおかつ\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)は有界でないため、\(f\)が\(\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)上で広義2重積分可能であるか検証します。そこで、十分大きい\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で、関数\(f\)の定義域を、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \cap N_{\varepsilon}\left( \left( 0,0\right) \right) =N_{\varepsilon }\left( \left( 0,0\right)
\right) \backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\}
\end{equation*}へと縮小して、\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{2}\supset N_{\varepsilon }\left( \left( 0,0\right) \right) \backslash
\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}とした場合、\(f\)は有界になります。ただし、\begin{equation*}\lim_{\varepsilon \rightarrow +\infty }\int \int_{N_{\varepsilon }\left(
\left( 0,0\right) \right) \backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\}
}f\left( x,y\right) dA=+\infty
\end{equation*}であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)上で広義2重積分可能ではありません(演習問題)。
演習問題
\int \int_{\mathbb{R} ^{2}}\frac{1}{\left( 1+x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}dA
\end{equation*}の値を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)上において広義2重積分可能ではないことを示してください。
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