有界ではない関数の広義多重リーマン積分
これまではユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界かつ閉な区間や基本領域上に定義された有界な多変数関数に対象を限定した上で、そのような関数が多重リーマン積分であることの意味を定義するとともに、多重リーマン積分可能な関数の性質について解説してきました。では、定義域が有界かつ閉な区間や基本領域ではないような関数や、有界ではない関数などについても、その多重リーマン積分可能性を検討できるのでしょうか。まずは有界ではない関数について考えます。以下が具体例です。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}
\end{equation*}です。この関数\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において定義されていないため、このままでは\(f\)が基本領域\(R\)上で2重リーマン積分可能であるか検討できません。\(f\left( 0,0\right) \)の値を選ぶことにより関数\(f\)の定義域を拡張して、\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{2}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を得たとしても、そもそもこの関数は\(R\)上で有界ではありません。実際、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つからです。多重リーマン積分は有界関数に対して定義される概念であるため、結局、この関数\(f\)が基本領域\(R\)上で2重リーマン積分可能であるか検討することさえできません。
上の例が示唆するように、有界ではない関数に関しては、そもそも多重リーマン積分可能であるか検討できません。このような問題を解決するためには、多重リーマン積分の概念を何らかの形で拡張する必要があります。具体的には以下の通りです。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界な基本領域\(R\)上に定義された多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられた状況において、\(R\)上の集積点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}\lim_{\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}}f\left( \boldsymbol{x}\right)
=\pm \infty
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、この関数は有界ではないということです。その一方で、十分小さい\(\varepsilon >0\)について、中心が\(\boldsymbol{a}\)であり半径が\(\varepsilon \)であるような近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right\Vert <\varepsilon
\right\}
\end{equation*}を基本領域\(R\)から除いた領域を\(f\)の定義域として採用して、\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\backslash N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}とした場合、この関数\(f\)は新たな定義域\(R\backslash N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)において有界であるものとします。関数\(f\)が新たな定義域である基本領域\(R\backslash N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)上で有界であるならば、\(f\)が\(R\backslash N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)上で多重リーマン積分可能であるか検討できます。その上で、十分小さい任意の\(\varepsilon \)について\(f\)は\(R\backslash N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)上で多重リーマン積分可能であるものとします。つまり、十分小さい任意の\(\varepsilon >0\)について、\begin{equation*}\int \cdots \int_{R\backslash N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dA
\end{equation*}が必ず有限な実数として定まる状況を想定するということです。以上の想定のもとでは、\(\varepsilon \rightarrow 0+\)の場合の右側極限\begin{equation*}\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}\int \cdots \int_{R\backslash
N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) }f\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) dA
\end{equation*}をとることができます。この右側極限が有限な実数として定まるのであれば、\(f\)はそもそもの定義域である基本領域\(R\)上で広義\(n\)重積分可能(improper \(n\)-dimensional integrable on \(R\))であるとか広義\(n\)重リーマン積分可能(improper \(n\)-dimensional Rieman integrable on \(R\))であるなどと言います。また、\(f\)が基本領域\(R\)上で広義\(n\)重積分可能である場合、先の右側極限を、\begin{equation*}\int \cdots \int_{R}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dA=\lim_{\varepsilon
\rightarrow 0+}\int \cdots \int_{R\backslash N_{\varepsilon }\left(
\boldsymbol{a}\right) }f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dA
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の\(R\)上での広義\(n\)重積分(improper \(n\)-dimensional integral on \(R\))や広義\(n\)重リーマン積分(improper \(n\)-dimensional Rieman integrable on \(R\))であるなどと呼びます。
改めて整理すると、有界な基本領域上に定義された関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \)が広義\(n\)重積分可能であることとは、十分小さい任意の\(\varepsilon >0\)について、\begin{equation*}\left( a\right) \ \int \cdots \int_{R\backslash N_{\varepsilon }\left(
\boldsymbol{a}\right) }f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dA\in \mathbb{R} \end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
\left( b\right) \ \lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}\int \cdots
\int_{R\backslash N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) }f\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dA\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つこととして定義されます。その上で、\(f\)の\(R\)上の広義\(n\)重積分は、\begin{equation*}\int \cdots \int_{R}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dA=\lim_{\varepsilon
\rightarrow 0+}\int \cdots \int_{R\backslash N_{\varepsilon }\left(
\boldsymbol{a}\right) }f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dA
\end{equation*}と定義されます。なお、関数\(f\)が\(R\)上で広義\(n\)重積分可能ではない場合、\(f\)は\(R\)上で発散する(diverge)と言います。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}
\end{equation*}です。この関数\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において定義されておらず、なおかつ、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
=\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=+\infty
\end{equation*}であるため、\(f\)が\(R\)上で広義2重積分可能であるか検証します。そこで、十分小さい\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で、関数\(f\)の定義域を、\begin{eqnarray*}R\backslash N_{\varepsilon }\left( \left( 0,0\right) \right) &=&\left\{
\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\} \backslash \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \varepsilon \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}}\leq 1\right\}
\end{eqnarray*}へと縮小して、\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{2}\supset R\backslash N_{\varepsilon }\left( \left( 0,0\right) \right)
\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}とした場合、\(f\)は有界になります。その上で、\begin{equation}\int \int_{R\backslash N_{\varepsilon }\left( \left( 0,0\right) \right)
}f\left( x,y\right) dA=\int \int_{R\backslash N_{\varepsilon }\left( \left(
0,0\right) \right) }\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}dA \quad \cdots (1)
\end{equation}を計算します。関数\(f\)は連続であるため、円座標を用いて2重積分を求めます。積分範囲を円座標に変換すると、\begin{equation*}R\backslash N_{\varepsilon }\left( \left( 0,0\right) \right) =\left\{ \left(
r,\theta \right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \varepsilon \leq r\leq 1\wedge 0\leq \theta \leq 2\pi \right\}
\end{equation*}となります。被積分関数も円座標に変換すると、\begin{eqnarray*}
\left. \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right\vert _{\left( x,y\right) =\left(
r\cos \left( \theta \right) ,r\sin \left( \theta \right) \right) }\cdot r &=&\frac{r}{\sqrt{r^{2}\cos \left( \theta ^{2}\right) +r^{2}\sin \left( \theta
^{2}\right) }} \\
&=&\frac{r}{\sqrt{r^{2}}} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
\int \int_{R\backslash N_{\varepsilon }\left( \left( 0,0\right) \right) }\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}dA &=&\int_{\varepsilon }^{1}\left(
\int_{0}^{2\pi }1d\theta \right) dr \\
&=&\int_{\varepsilon }^{1}\left( \left[ \theta \right] _{\theta =0}^{2\pi
}\right) dr \\
&=&\int_{\varepsilon }^{1}2\pi dr \\
&=&2\pi \int_{\varepsilon }^{1}1dr \\
&=&2\pi \left[ r\right] _{\varepsilon }^{1} \\
&=&2\pi \left( 1-\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\int \int_{R\backslash N_{\varepsilon }\left( \left( 0,0\right) \right) }\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}dA=2\pi \left( 1-\varepsilon \right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}\int \int_{R\backslash N_{\varepsilon
}\left( \left( 0,0\right) \right) }f\left( x,y\right) dA
&=&\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}\int \int_{R\backslash N_{\varepsilon
}\left( \left( 0,0\right) \right) }\frac{1}{x^{2}+y^{2}}dA\quad \because
\left( 1\right) \\
&=&\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}2\pi \left( 1-\varepsilon \right) \quad
\because \left( 2\right) \\
&=&2\pi
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため、\(f\)は\(R\)上で広義2重積分可能であるとともに、\begin{equation*}\int \int_{R}f\left( x,y\right) dA=2\pi
\end{equation*}であることが明らかになりました。
関数の広義多重積分可能であるとは限らない
関数は広義多重積分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}
\end{equation*}です。この関数\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において定義されておらず、なおかつ、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
=\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{1}{x^{2}+y^{2}}=+\infty
\end{equation*}であるため、\(f\)が\(R\)上で広義2重積分可能であるか検証します。そこで、十分小さい\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で、関数\(f\)の定義域を、\begin{eqnarray*}R\backslash N_{\varepsilon }\left( \left( 0,0\right) \right) &=&\left\{
\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \sqrt{x^{2}+y^{2}}\leq 1\right\} \backslash \left\{ \left(
x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \varepsilon \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}}\leq 1\right\}
\end{eqnarray*}へと縮小して、\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{2}\supset R\backslash N_{\varepsilon }\left( \left( 0,0\right) \right)
\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}とした場合、\(f\)は有界になります。ただし、\begin{eqnarray*}\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}\int \int_{R\backslash N_{\varepsilon
}\left( \left( 0,0\right) \right) }f\left( x,y\right) dA
&=&\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}\int \int_{R\backslash N_{\varepsilon
}\left( \left( 0,0\right) \right) }\frac{1}{x^{2}+y^{2}}dA \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)は\(R\)上で広義2重積分可能ではありません(演習問題)。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}
\end{equation*}です。この関数\(f\)は\(R\)上において広義2重積分可能ではないことを示してください。
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