複素関数の定義と具体例
複素平面もしくはその部分集合を始集合とし、複素平面を終集合とする写像を複素関数と呼びます。つまり、複素関数とはそれぞれの複素数に対して複素数を1つずつ定める規則です。
TABLE OF CONTENTS
目次
COMPLEX FUNCTION
複素数列の極限を定義します。
複素関数の実部と虚部
複素関数は実部および虚部と呼ばれる2つの実数値関数の組み合わせとして表現することができます。
複素関数の極形式と指数表現
複素関数の変数である複素数を極形式または指数表現へと変換することにより、複素関数を絶対値と偏角を変数とする2変数関数へ変換できます。
複素関数による像と複素関数の値域
複素関数が始集合のそれぞれの要素に対して定める複素数を、その要素の像と呼びます。複素関数がとり得るすべての値からなる集合を複素関数の値域と呼びます。
複素関数による逆像と複素関数の定義域
複素関数による要素の逆像、複素関数による集合の逆像、複素関数の定義域などについて解説します。
COMPLEX POLYNOMIAL
複素多項式関数
複素多項式関数について解説します。
移動（複素1次関数の具体例）
移動と呼ばれる複素1次関数について解説します。移動は入力した点をそのまま平行移動する複素1次関数です。
回転（複素1次関数の具体例）
回転と呼ばれる複素1次関数について解説します。回転は入力した点を原点を中心に回転する複素1次関数です。
拡大（複素1次関数の具体例）
拡大と呼ばれる複素1次関数について解説します。回転は入力した点を相似拡大・相似縮小する複素1次関数です。
複素1次関数（複素線型関数）
複素1次関数と呼ばれる複素1次関数について解説します。複素1次関数は回転・拡大・移動の合成写像とみなすことができます。
COMPLEX EXPONENTIAL / LOGARITHMIC FUNCTION
複素指数関数・複素対数関数
複素指数関数と複素対数関数について解説します。
複素指数関数の定義と具体例
指数関数の始集合と終集合を複素空間へ拡張することにより得られる関数を複素指数関数と呼びます。複素指数関数を定義した上で、その基本的な性質について解説します。
複素対数関数の定義と具体例
複素指数関数の定義域と終集合を適当な形で制限すれば全単射になるため、その逆写像である複素対数関数を定義することができます。
COMPLEX POWER FUNCTION
複素ベキ関数
複素ベキ関数について解説します。
複素ベキ関数の定義と具体例
複素指数関数の定義域と終集合を適当な形で制限すれば全単射になるため、その逆写像である複素対数関数を定義することができます。
COMPLEX HYPERBOLIC FUNCTION
複素双曲線関数
複素双曲線関数について解説します。
複素双曲線正弦関数（複素sinh関数）の定義と具体例
複素双曲線正弦関数（複素ハイパボリックサイン関数）と呼ばれる複素関数を定義するとともに、その基本的な性質について解説します。
複素双曲線余弦関数（複素cosh関数）の定義と具体例
複素双曲線余弦関数（複素ハイパボリックコサイン関数）と呼ばれる複素関数を定義するとともに、その基本的な性質について解説します。
複素双曲線正接関数（複素tanh関数）の定義と具体例
複素双曲線正接関数（複素ハイパボリックタンジェント関数）と呼ばれる複素関数を定義するとともに、その基本的な性質について解説します。
COMPLEX TRIGONOMETRIC FUNCTION
複素三角関数
複素三角関数について解説します。
複素正弦関数（複素sin関数）の定義と具体例
それぞれの複素数に対してその正弦（サイン）を定める複素関数を複素正弦関数（複素サイン関数）と呼びます。
複素余弦関数（複素cos関数）の定義と具体例
それぞれの複素数に対してその余弦（コサイン）を定める複素関数を複素余弦関数（複素コサイン関数）と呼びます。
複素正接関数（複素tan関数）の定義と具体例
複素余弦の値が非ゼロになるようなそれぞれの複素数に対してその複素正接（複素タンジェント）を定める複素関数を複素正接関数（複素タンジェント関数）と呼びます。
LIMIT OF COMPLEX FUNCTION
複素関数の極限
複素関数が収束ないし発散することの意味を解説します。
複素関数の極限（収束する複素関数）
複素関数が収束することの直感的な意味を解説し、さらにイプシロン・デルタ論法を用いて厳密に定義します。
複素数列を用いた複素関数の収束判定
複素関数が収束することをイプシロン・デルタ論法を用いて証明する手続きは面倒です。複素関数が収束する・収束しないことを複素数列を用いて判定する方法を解説します。
実部と虚部を用いた複素関数の収束判定
複素関数が収束することをイプシロン・デルタ論法を用いて証明する手続きは面倒です。複素関数が収束する・収束しないことを複素関数の実部および虚部である2変数の実数値関数の収束可能性へ帰着させる方法を解説します。
極形式や指数表現を用いた複素関数の収束判定
複素関数の変数を極形式や指数表現へ変換した上で、複素関数の収束可能性を判定する方法について解説します。
複素関数の無限極限（発散する複素関数）
複素関数の変数が特定の点へ限りなく近づく場合に複素関数が無限大へ発散することの意味を定義します。
LIMIT AT INFINITY OF COMPLEX FUNCTION
無限大における複素関数の極限
複素関数が無限大において収束ないし発散することの意味を解説します。
無限大における複素関数の極限
複素関数が無限大において複素数へ収束することの意味を定義します。
無限大における複素関数の無限極限
複素関数が無限大において無限大へ発散することの意味を定義します。
PROPERTIES OF LIMIT OF COMPLEX FUNCTION
複素関数の極限の性質
複素関数の極限に関する基本的な性質について解説します。
複素定数関数の極限
複素定数関数の極限を求める方法について解説します。
複素恒等関数の極限
複素恒等関数の極限を求める方法について解説します。
複素関数の定数倍の極限（定数倍の法則）
収束する複素関数を定数倍して得られる複素関数もまた収束し、新たな複素関数の極限はもとの複素関数の極限の定数倍になります。
複素関数の和の極限（和の法則）
収束する複素関数どうしの和として定義される複素関数もまた収束し、新たな複素関数の極限はもとの複素関数の極限の和と一致します。
複素関数の差の極限（差の法則）
収束する複素関数どうしの差として定義される複素関数もまた収束し、新たな複素関数の極限はもとの複素関数の極限の差と一致します。
複素関数の積の極限（積の法則）
収束する複素関数どうしの積として定義される複素関数もまた収束し、新たな複素関数の極限はもとの複素関数の極限の積と一致します。
複素関数の商の極限（商の法則）
収束する複素関数どうしの商として定義される複素関数もまた収束し、新たな複素関数の極限はもとの複素関数の極限の商と一致します。
複素多項式関数の極限
複素多項式関数の極限を求める方法について解説します。
複素有理関数の極限
複素有理関数の極限を求める方法について解説します。
複素合成関数（複素関数どうしの合成写像）の極限
複素合成関数（複素関数どうしの合成写像）の極限を求める方法について解説します。
LIMIT OF ELEMENTARY COMPLEX FUNCTION
初等複素関数の極限
代表的な複素関数の極限について解説します
複素指数関数の極限
複素指数関数の極限を求める方法について解説します。
複素対数関数の極限
複素指数関数の極限を求める方法について解説します。
複素ベキ関数の極限
複素ベキ関数の極限を求める方法について解説します。
複素双曲線正弦関数（複素sinh関数）の極限
複素双曲線正弦関数（複素ハイボリックサイン関数）の極限を求める方法について解説します。
複素双曲線余弦関数（複素cosh関数）の極限
複素双曲線余弦関数（複素ハイボリックコサイン関数）の極限を求める方法について解説します。
複素双曲線正接関数（複素tanh関数）の極限
複素双曲線正接関数（複素ハイボリックタンジェント関数）の極限を求める方法について解説します。
複素正弦関数（複素sin関数）の極限
複素正弦関数の極限を求める方法について解説します。
複素余弦関数（複素cos関数）の極限
複素余弦関数の極限を求める方法について解説します。
複素正接関数（複素tan関数）の極限
複素正接関数の極限を求める方法について解説します。
CONTINUITY OF COMPLEX FUNCTION
複素関数の連続性
複素関数が連続であることの意味を解説します。
複素関数の連続性（連続な複素関数）
複素関数の変数が定義域上のある点に限りなく近づくにつれて複素関数の値が複素数へ収束するとともに、その点における複素関数の値が先の極限と一致する場合、複素関数はその点において連続であると言います。
イプシロン・デルタ論法を用いた複素関数の連続性の判定
複素関数が連続であることを定義する際に、複素関数の極限の概念を経由せず、イプシロン・デルタ論法を用いることもできます。
複素数列を用いた複素関数の連続性の判定
複素関数が定義域上の点において連続であること、連続ではないことを複素数列を用いて判定する方法を解説します。
実部と虚部を用いた複素関数の連続性の判定
複素関数が連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて証明する手続きは面倒です。複素関数が連続であることを複素関数の実部および虚部である2変数の実数値関数の連続性へ帰着させる方法を解説します。
PROPERTIES OF COMPLEX CONTINUOUS FUNCTION
複素連続関数の性質
複素関数の連続性に関する基本的な性質について解説します。
複素定数関数の連続性
複素定数関数は定義域上の任意の点において連続です。
複素恒等関数の連続性
複素恒等関数は定義域上の任意の点において連続です。
複素関数の定数倍の連続性（定数倍の法則）
連続な複素関数の定数倍として定義される複素関数もまた連続です。
複素関数の和の連続性（和の法則）
連続な複素関数どうしの和として定義される複素関数もまた連続です。
複素関数の差の連続性（差の法則）
連続な複素関数どうしの差として定義される複素関数もまた連続です。
複素関数の積の連続性（積の法則）
連続な複素関数どうしの積として定義される複素関数もまた連続です。
複素関数の商の連続性（商の法則）
連続な複素関数どうしの商として定義される複素関数もまた連続です。
複素多項式関数の連続性
複素多項式関数は複素平面上の任意の点において連続です。
複素有理関数の連続性
複素有理関数は定義域上の任意の点において連続です。
複素合成関数の連続性
連続な複素関数どうしの合成複素関数もまた連続な複素関数になります。
CONTINUITY OF ELEMENTARY COMPLEX FUNCTION
初等複素関数の連続性
代表的な複素関数の連続性について解説します
複素指数関数の連続性
複素指数関数は複素平面上の任意の点において連続です。
複素対数関数の連続性
複素対数関数は複素平面上の実軸の非負の領域を除いた領域において連続です。
複素ベキ関数の連続性
複素ベキ関数の連続性は複素平面上の実軸の非負の領域を除いた領域において連続です。
複素双曲線正弦関数（複素sinh関数）の連続性
複素双曲線正弦関数は複素平面上の任意の点において連続です。
複素双曲線余弦関数（複素cosh関数）の連続性
複素双曲線余弦関数は複素平面上の任意の点において連続です。
複素双曲線正接関数（複素tanh関数）の連続性
複素双曲線正接関数は定義域上の任意の点において連続です。
複素正弦関数（複素sin関数）の連続性
複素正弦関数は複素平面上の任意の点において連続です。
複素余弦関数（複素cos関数）の連続性
複素余弦関数は複素平面上の任意の点において連続です。
複素正接関数（複素tan関数）の連続性
複素正接関数は定義域上の任意の点において連続です。
EXAM
確認テスト
複素関数に関する確認テストです。
RELATED KNOWLEDGE
関連知識
REQUIRED KNOWLEDGE
前提知識
本節を学ぶ上で以下の知識が役に立ちます。
述語論理
命題論理の基本単位が命題変数であったのに対し、述語論理では命題関数と呼ばれる概念が基本単位となります。それにより扱うことのできる言明の範囲が広がるとともに、量化と呼ばれる操作が可能になります。
ADVANCED KNOWLEDGE
発展知識
本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での基礎になります。
述語論理
命題論理の基本単位が命題変数であったのに対し、述語論理では命題関数と呼ばれる概念が基本単位となります。それにより扱うことのできる言明の範囲が広がるとともに、量化と呼ばれる操作が可能になります。
