複素関数

複素関数と呼ばれる概念を定義した上で、代表的な複素関数について解説します。また、複素関数の極限や連続性などの概念について解説します。

学習内容

複素関数

複素関数の極限を定義します。

複素関数の定義と具体例

複素平面もしくはその部分集合を始集合とし、複素平面を終集合とする写像を複素関数と呼びます。つまり、複素関数とはそれぞれの複素数に対して複素数を1つずつ定める規則です。

複素関数の実部と虚部

複素関数は実部および虚部と呼ばれる2つの実数値関数の組み合わせとして表現することができます。

複素関数の極形式と指数表現

複素関数の変数である複素数を極形式または指数表現へと変換することにより、複素関数を絶対値と偏角を変数とする2変数関数へ変換できます。

複素関数による像と複素関数の値域

複素関数が始集合のそれぞれの要素に対して定める複素数を、その要素の像と呼びます。複素関数がとり得るすべての値からなる集合を複素関数の値域と呼びます。

複素関数による逆像と複素関数の定義域

複素関数による要素の逆像、複素関数による集合の逆像、複素関数の定義域などについて解説します。

複素多項式関数

複素多項式関数について解説します。

複素指数関数・複素対数関数

複素指数関数と複素対数関数について解説します。

複素ベキ関数

複素ベキ関数について解説します。

複素双曲線関数

複素双曲線関数について解説します。

複素三角関数

複素三角関数について解説します。

複素関数の極限

複素関数が収束ないし発散することの意味を解説します。

無限大における複素関数の極限

複素関数が無限大において収束ないし発散することの意味を解説します。

複素関数の極限の性質

複素関数の極限に関する基本的な性質について解説します。

複素定数関数の極限

複素定数関数の極限を求める方法について解説します。

複素恒等関数の極限

複素恒等関数の極限を求める方法について解説します。

複素関数の定数倍の極限(定数倍の法則)

収束する複素関数を定数倍して得られる複素関数もまた収束し、新たな複素関数の極限はもとの複素関数の極限の定数倍になります。

複素関数の和の極限(和の法則)

収束する複素関数どうしの和として定義される複素関数もまた収束し、新たな複素関数の極限はもとの複素関数の極限の和と一致します。

複素関数の差の極限(差の法則)

収束する複素関数どうしの差として定義される複素関数もまた収束し、新たな複素関数の極限はもとの複素関数の極限の差と一致します。

複素関数の積の極限(積の法則)

収束する複素関数どうしの積として定義される複素関数もまた収束し、新たな複素関数の極限はもとの複素関数の極限の積と一致します。

複素関数の商の極限(商の法則)

収束する複素関数どうしの商として定義される複素関数もまた収束し、新たな複素関数の極限はもとの複素関数の極限の商と一致します。

複素多項式関数の極限

複素多項式関数の極限を求める方法について解説します。

複素有理関数の極限

複素有理関数の極限を求める方法について解説します。

複素合成関数(複素関数どうしの合成写像)の極限

複素合成関数(複素関数どうしの合成写像)の極限を求める方法について解説します。

初等複素関数の極限

代表的な複素関数の極限について解説します。

複素関数の連続性

複素関数が連続であることの意味を解説します。

複素連続関数の性質

複素関数の連続性に関する基本的な性質について解説します。

初等複素関数の連続性

代表的な複素関数の連続性について解説します。

学習ガイド

大学の数学カリキュラムとWIISのカリキュラムは何が違うのか

多くの大学では入学後すぐに微分積分学や線形代数学を学び、その後に実数論や位相空間論などの理論的な科目へ進みます。一方、WIISでは論理学・集合論の後に実数論を学び、その上で微分積分学へ進むカリキュラムを採用しています。本記事では、それぞれの考え方とWIISの学習順序のメリットについて解説します。

最新の議論

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関連分野

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集合論

集合論は現代数学の共通言語です。集合、写像、関係、濃度、順序関係を中心に、数学のさまざまな分野を理解するための基礎概念を体系的に解説します。実数論、線形代数学、位相空間論などへ進むための土台を築きます。

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実数論では、実数の連続性や極限の概念を基礎から学びます。実数の定義、数列、関数、級数、関数列、数直線の位相、拡大実数系を通じて、解析学の理論的基盤を体系的に理解することを目指します。

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ユークリッド空間は、現代数学における解析学と幾何学の出発点です。点列、位相、ベクトル値関数、多変数関数を通じて、高次元空間における極限・連続性・収束の概念を学びます。位相空間論や最適化理論へ進むための重要な基礎を体系的に解説します。

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複素級数

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複素平面の位相

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複素関数の微分

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複素関数の積分

複素関数の積分の概念を定義した上で、その基本的な性質について学びます。

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