複素指数関数の定義と具体例

複素指数関数の定義

指数関数\begin{equation*}
e^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はマクローリン展開可能であり、点\(0\)とは異なる点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}e^{x}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots
\end{equation*}が成り立ちます。また、点\(0\)については、\begin{eqnarray*}e^{0} &=&1 \\
&=&1+\frac{0}{1!}+\frac{0^{2}}{2!}+\frac{0^{3}}{3!}+\cdots
\end{eqnarray*}が成り立つため、任意の\(x\in \mathbb{R} \)において、\begin{equation*}e^{x}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。では、指数関数\(e^{x}\)の定義域を数直線\(\mathbb{R} \)から複素平面\(\mathbb{C} \)へ拡張して、\begin{equation*}e^{z}:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}とするためにはどうすればよいでしょうか。これまで学んだ知識を動員しながら順番に考えます。

複素数\(z\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、以下の無限級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{z^{n}}{n!}=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{3}}{3!}+\cdots
\end{equation*}は複素数へ収束します。

複素数\(z\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、以下の無限級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{z^{n}}{n!}=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{3}}{3!}+\cdots
\end{equation*}は複素数へ収束することが明らかになりました。このような事情を踏まえると、それぞれの複素数\(z\in \mathbb{C} \)に対して、以下の複素数\begin{equation*}e^{z}=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{3}}{3!}+\cdots
\end{equation*}を値として定める複素関数\begin{equation*}
e^{z}:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。これを複素指数関数（complex exponential function）と呼びます。複素指数関数を、\begin{equation*}
\exp \left( z\right) :\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}と表記することもできます。

オイラーの公式

複素指数関数\(e^{z}:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、以下の複素数\begin{equation}e^{z}=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{3}}{3!}+\cdots \quad \cdots (1)
\end{equation}を値として定める複素関数として定義されます。

実数\(\theta \in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、これと虚数単位\(i\in \mathbb{C} \)の積\(i\theta \in \mathbb{C} \)は複素数であるため、\(\left( 1\right) \)において\(z=i\theta \)とおくと、\begin{eqnarray*}e^{i\theta } &=&1+\frac{i\theta }{1!}+\frac{\left( i\theta \right) ^{2}}{2!}+\frac{\left( i\theta \right) ^{3}}{3!}+\cdots \\
&=&1+\frac{i\theta }{1!}+\frac{i^{2}\theta ^{2}}{2!}+\frac{i^{3}\theta ^{3}}{3!}+\cdots \\
&=&1+\frac{i\theta }{1!}-\frac{\theta ^{2}}{2!}-\frac{i\theta ^{3}}{3!}+\cdots
\end{eqnarray*}を得ますが、さらにこれを変形することにより、\begin{equation*}
e^{i\theta }=\cos \left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right)
\end{equation*}を得ます。これをオイラーの公式（Euler’s formula）と呼びます。

指数法則（底を共有する累乗の積）

指数関数\(e^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は以下の性質\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} :e^{x}\cdot e^{y}=e^{x+y}
\end{equation*}を満たしますが、複素指数関数\(e^{z}:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)も同様の性質\begin{equation*}\forall z,w\in \mathbb{C} :e^{z}\cdot e^{w}=e^{z+w}
\end{equation*}を満たします。つまり、底\(e\)を共有する累乗\(e^{z},e^{w}\)が与えられたとき、それらの積\(e^{z}\cdot e^{w}\)を求めるためには指数どうしの和\(z+w\)をとり、それを指数とする累乗\(e^{z+w}\)をとればよいということです。「累乗の積」に関する問題は「指数の和」に関する問題へと帰着させられます。

複素指数関数の実部と虚部

複素指数関数\(e^{z}:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、以下の複素数\begin{equation*}e^{z}=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{3}}{3!}+\cdots
\end{equation*}を値として定めます。その一方で、オイラーの公式より、任意の\(\theta \in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}e^{i\theta }=\cos \left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。複素数\(z\in \mathbb{C} \)は何らかの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation}z=x+iy \quad \cdots (2)
\end{equation}と表現されることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
e^{z} &=&e^{x+iy}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&e^{x}e^{iy}\quad \because \text{指数法則} \\
&=&e^{x}\left[ \cos \left( y\right) +i\sin \left( y\right) \right] \quad
\because \left( 1\right) \\
&=&e^{x}\cos \left( y\right) +ie^{x}\sin \left( y\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
e^{x+iy}=e^{x}\cos \left( y\right) +ie^{x}\sin \left( y\right)
\end{equation*}を得ます。議論の結果を命題としてまとめます。

複素指数関数の代表的な値

複素指数関数\(e^{z}:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)が定める値としては、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ e^{0}=1 \\
&&\left( b\right) \ e^{\frac{\pi }{2}i}=i \\
&&\left( c\right) \ e^{\pi i}=-1 \\
&&\left( d\right) \ e^{\frac{3\pi }{2}i}=-i
\end{eqnarray*}などが重要です。

複素指数関数の値は非ゼロ

指数関数\(e^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は以下の性質\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :e^{x}>0
\end{equation*}を満たします。複素指数関数\(e^{z}:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)は指数関数の一般化であるため、複素指数関数が実数に対して定める値も正です。一方、複素指数関数に複素数を入力する状況を想定する場合には、\begin{equation*}\forall z\in \mathbb{C} :e^{z}\not=0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、複素指数関数がとり得る値は非ゼロです。

指数関数の値が1であるための条件

複素指数関数\(e^{z}:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)は以下の性質\begin{equation*}\forall z\in \mathbb{C} :\left( e^{z}=1\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb{Z} :z=2k\pi i\right)
\end{equation*}を満たします。つまり、複素指数関数に\(2\pi i\)の整数倍の値を入力すると\(1\)が出力されます。

指数法則（負の複素数乗の解釈）

指数関数\(e^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は以下の性質\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :e^{-x}=\frac{1}{e^{x}}
\end{equation*}を満たしますが、複素指数関数\(e^{z}:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)も同様の性質\begin{equation*}\forall z\in \mathbb{C} :e^{-z}=\frac{1}{e^{z}}
\end{equation*}を満たします。

指数法則（底を共有する累乗の商）

指数関数\(e^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は以下の性質\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} :\frac{e^{x}}{e^{y}}=e^{x-y}
\end{equation*}を満たしますが、複素指数関数\(e^{z}:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)も同様の性質\begin{equation*}\forall z,w\in \mathbb{C} :\frac{e^{z}}{e^{w}}=e^{z-w}
\end{equation*}を満たします。つまり、底\(e\)を共有する累乗\(e^{z},e^{w}\)が与えられたとき、それらの商\(\frac{e^{z}}{e^{w}}\)を求めるためには指数どうしの差\(z-w\)をとり、それを指数とする累乗\(e^{z-w}\)をとればよいということです。「累乗の商」に関する問題は「指数の差」に関する問題へと帰着させられます。

指数関数の整数乗

複素指数関数\(e^{z}:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)は以下の性質\begin{equation*}\forall z\in \mathbb{C} ,\ \forall k\in \mathbb{Z} :\left( e^{z}\right) ^{k}=e^{kz}
\end{equation*}を満たします。

複素指数関数の絶対値

複素指数関数\(e^{z}:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)は以下の性質\begin{equation*}\forall z\in \mathbb{C} :\left\vert e^{z}\right\vert =e^{\mathrm{Re}\left( z\right) }
\end{equation*}を満たします。つまり、複素指数関数が定める値\(e^{z}\)の絶対値を特定するためには、\(z\)の実部を指数とする累乗をとればよいということです。

複素指数関数の偏角

複素指数関数\(e^{z}:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)は以下の性質\begin{equation*}\forall z\in \mathbb{C} :\mathrm{Arg}\left( e^{z}\right) =\mathrm{Im}\left( z\right)
\end{equation*}を満たします。つまり、複素指数関数が定める値\(e^{z}\)の偏角は\(z\)の虚部と一致するということです。

演習問題