複素双曲線正接関数

複素双曲線正弦関数\begin{equation*}
\sinh \left( z\right) :\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}はそれぞれの複素数\(z\in \mathbb{C} \)に対して、以下の複素数\begin{equation}\sinh \left( z\right) =\frac{e^{z}-e^{-z}}{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}を値として定める一方で、複素双曲線余弦関数\begin{equation*}
\cosh \left( z\right) :\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}はそれぞれの複素数\(z\in \mathbb{C} \)に対して、以下の複素数\begin{equation}\cosh \left( z\right) =\frac{e^{z}+e^{-z}}{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}を値として定めます。

以上を踏まえた上で、複素数\(z\in \mathbb{C} \)の双曲線正接（hyperbolic tangent）を、\begin{equation*}
\tanh \left( z\right) =\frac{\sinh \left( z\right) }{\cosh \left( z\right) }
\end{equation*}と定義します。\(\left( 1\right),\left( 2\right) \)を踏まえると、\begin{eqnarray*}\tanh \left( z\right) &=&\frac{\sinh \left( z\right) }{\cosh \left(
z\right) }\quad \because \tanh \left( z\right) \text{の定義} \\
&=&\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}/\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}\quad \because \left(
1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\frac{e^{z}-e^{-z}}{e^{z}+e^{-z}}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\tanh \left( z\right) =\frac{e^{z}-e^{-z}}{e^{z}+e^{-z}}
\end{equation*}が成立します。

複素数をゼロで割ることはできないため、\(\cosh \left( z\right) =0\)を満たす\(z\in \mathbb{C} \)において\(\tanh \left( z\right) \)は定義されません。このような事情を踏まえると、以下の集合\begin{equation*}Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \cosh \left( z\right) \not=0\right\}
\end{equation*}に属するそれぞれの値\(z\in Z\)に対して、その双曲線正接\(\tanh \left( z\right) \in \mathbb{C} \)に相当する複素数を1つずつ定める複素関数\begin{equation*}\tanh \left( z\right) :\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。これを複素双曲線正接関数（complex hyperbolic tangent function）や複素ハイパボリックタンジェント関数などと呼びます。

複素双曲線正接関数の定義域と値域

複素双曲線正接関数の定義域と値域は以下の通りです。

複素双曲線正接関数は双曲線正接関数の一般化

双曲線正接関数\(\tanh \left(x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の定義域は、\begin{equation*}\mathbb{R} \end{equation*}である一方で、複素双曲線正接関数\(\tanh \left(z\right) :\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)の定義域は、\begin{equation*}Z=\mathbb{C} \backslash \left\{ \frac{\pm \pi }{2}i,\frac{\pm 3\pi }{2}i,\frac{\pm 5\pi }{2}i,\cdots \right\}
\end{equation*}であることが明らかになりました。実数\(x\in \mathbb{R} \)は複素数\(x+0i\in Z\)と同一視されますが、これを複素双曲線正接関数\(\tanh \left( z\right) \)に入力すると、\begin{eqnarray*}\tanh \left( x+0i\right) &=&\frac{\sinh \left( x+0i\right) }{\cosh \left(
x+0i\right) }\quad \because \tanh \left( z\right) \\
&=&\frac{\sinh \left( x\right) }{\cosh \left( x\right) }\quad \because \sinh
\left( z\right) \text{と}\sinh \left( x\right) \text{の関係、}\cosh \left( z\right) \text{と}\cosh \left( x\right)
\text{の関係} \\
&=&\tanh \left( x\right)
\end{eqnarray*}が得られますが、これは双曲線正接関数\(\tanh \left( x\right) \)に実数\(x\in \mathbb{R} \)を入力した場合に出力される値と一致します。以上より、複素双曲線正接関数は双曲線正接関数の一般化であることが明らかになりました。

複素双曲線正接関数の実部と虚部

複素双曲線正接関数の実部と虚部は以下の通りです。