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複素関数

複素対数関数の定義と具体例

目次

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複素対数関数

指数関数\begin{equation*}
e^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は単射であるとともにその値域は\(\mathbb{R} _{++}\)であるため、終集合を値域に制限して、\begin{equation*}e^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{++}
\end{equation*}とすれば全単射になり、したがってその逆写像が存在します。そこで、その逆写像として対数関数\begin{equation*}
\ln \left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は定義されます。では、複素指数関数\begin{equation*}
e^{z}:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}に関しても、その逆写像として複素対数関数\(\ln \left( z\right) \)なる複素関数を定義できるでしょうか。これまで学んだ知識を動員しながら順番に考えます。

複素指数関数\(e^{z}\)の値域は\(\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)であるため、\(e^{z}\)の逆写像\(\ln \left( z\right) \)が存在するのであれば、それは非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation}z=e^{w} \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす複素数\(w\in \mathbb{C} \)を定める規則に他なりません。そこで、まずは以上の条件を満たす複素数\(w\)を特定します。

非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\(\left( 1\right) \)を満たす複素数を\(w=x+yi\in \mathbb{C} \)で表記します。\(\left( 1\right) \)より、\begin{eqnarray}\left\vert z\right\vert &=&\left\vert e^{w}\right\vert \quad \cdots (2) \\
\arg \left( z\right) &=&\arg \left( e^{w}\right) \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}がともに成り立ちます。また、複素指数関数の絶対値に関しては、\begin{eqnarray*}
\left\vert e^{w}\right\vert &=&e^{\mathrm{Re}\left( w\right) }\quad \because
\text{複素指数関数の絶対値} \\
&=&e^{x}\quad \because w=x+yi
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert e^{w}\right\vert =e^{x} \quad \cdots (4)
\end{equation}が成り立ち、複素指数関数の偏角に関しては、\begin{eqnarray*}
\arg \left( e^{w}\right) &=&\mathrm{Im}\left( w\right) \quad \because \text{複素指数関数の偏角} \\
&=&y\quad \because w=x+yi
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
y=\arg \left( e^{w}\right) \quad \cdots (5)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(2\right) ,\left( 4\right) \)より、\begin{equation*}\left\vert z\right\vert =e^{x}
\end{equation*}が成り立つため、両辺の対数をとることにより、\begin{equation*}
\ln \left( e^{x}\right) =\ln \left( \left\vert z\right\vert \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
x=\ln \left( \left\vert z\right\vert \right) \quad \cdots (6)
\end{equation}を得ます。また、\(\left(3\right) ,\left( 5\right) \)より、\begin{equation}y=\arg \left( z\right) \quad \cdots (7)
\end{equation}を得ます。以上より、\begin{eqnarray*}
w &=&x+yi \\
&=&\ln \left( \left\vert z\right\vert \right) +i\arg \left( z\right) \quad
\because \left( 6\right) ,\left( 7\right)
\end{eqnarray*}であることが明らかになりました。

結論を整理します。非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それに対して以下の複素数\begin{equation}w=\ln \left( \left\vert z\right\vert \right) +i\arg \left( z\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を選べば、以下の関係\begin{equation*}
z=e^{w}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。ただし、\(z\)に対してその偏角\(\arg \left( z\right) \)は一意的に定まらず、ゆえに\(\left( 1\right) \)もまた一意的に定まりません。このような事情を踏まえた上で、それぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、以下の集合\begin{eqnarray*}\ln \left( z\right) &=&\left\{ \ln \left( \left\vert z\right\vert \right)
+i\arg \left( z\right) \in \mathbb{C} \right\} \\
&=&\left\{ \ln \left( \left\vert z\right\vert \right) +i\left[ \mathrm{Arg}\left( z\right) +2n\pi \right] \in \mathbb{C} \ |\ n\in \mathbb{Z} \right\}
\end{eqnarray*}を値として定める対応\begin{equation*}
\ln \left( z\right) :\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \twoheadrightarrow \mathbb{C} \end{equation*}を定義し、これを複素対数関数(complex logarithm function)や複素自然対数関数(complex natural logarithm function)などと呼びます。

 

複素対数関数の主値

複素指数関数\(e^{z}:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)の値域は\(\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)であるため、終集合を値域に制限して、\begin{equation}e^{z}:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}とすれば全射になります。その一方で、先の議論から明らかになったように、非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}z=e^{w}
\end{equation*}を定める複素数\(w\in \mathbb{C} \)は一意的に定まらないため\(e^{z}\)は単射ではなく、したがって全単射でもないため、\(\left( 1\right) \)の逆写像は存在しません。ただし、\(\left( 1\right) \)の定義域を適切な形で制限することにより全単射になるため、逆写像の存在を保証できます。具体的には以下の通りです。

以下の集合\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Re}\left( z\right) \in \mathbb{R} \wedge \mathrm{Im}\left( z\right) \in (-\pi ,\pi ]\right\}
\end{equation*}を基本領域(fundamental region)と呼びます。複素指数関数\(e^{z}\)の定義域として基本領域\(Z\)を採用し、終集合として\(\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)を採用して、\begin{equation*}e^{z}:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}とすれば、これは全単射になります。

命題(複素対数関数の根拠)
以下の複素関数\begin{equation*}
e^{z}:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}は全単射である。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Re}\left( z\right) \in \mathbb{R} \wedge \mathrm{Im}\left( z\right) \in \left( -\pi ,\pi \right] \right\}
\end{equation*}である。

証明

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複素指数関数の定義域と終集合を制限した写像\begin{equation}
e^{z}:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}が全単射であることが明らかになりました。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Re}\left( z\right) \in \mathbb{R} \wedge \mathrm{Im}\left( z\right) \in \left( -\pi ,\pi \right] \right\}
\end{equation*}です。したがって、\(\left( 1\right) \)の逆写像が存在するため、それを、\begin{equation*}\mathrm{Ln}\left( w\right) :\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow Z
\end{equation*}で表記し、これを複素対数関数の主値(principal value of a complex logarithm function)と呼びます。ただし、以降ではこれを複素対数関数と省略して呼ぶこととします。

逆写像の定義より、順序対\(\left( z,w\right) \in Z\times \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}w=e^{z}\Leftrightarrow z=\mathrm{Ln}\left( w\right)
\end{equation*}が成り立ちます。逆写像は全単射であるため、複素対数関数\(\mathrm{Ln}\left( w\right) \)は全単射です。

2つの変数\(z,w\)の記号を入れ替えることにより、複素対数関数を、\begin{equation*}\mathrm{Ln}\left( z\right) :\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow Z
\end{equation*}と表記することもできます。この場合、複素対数関数\(\mathrm{Ln}\left( z\right) \)の逆関数である複素指数関数は、\begin{equation*}e^{w}:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}と表記されます。逆写像の定義より、順序対\(\left( z,w\right) \in Z\times \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}z=e^{w}\Leftrightarrow w=\mathrm{Ln}\left( z\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

 

複素対数関数の実部と虚部

非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、その絶対値\(\left\vert x\right\vert \)は正の実数として定まるため、\(\ln \left(\left\vert x\right\vert \right) \)が1つの実数として定まります。また、非ゼロの複素数\(z\)に対しては、その偏角の主値\(\mathrm{Arg}\left( z\right) \)が1つの実数として定まります。このような事情を踏まえると、それぞれの非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、以下の複素数\begin{equation*}f\left( z\right) =\ln \left( \left\vert z\right\vert \right) +i\mathrm{Arg}\left( z\right)
\end{equation*}を値として定める複素関数\begin{equation*}
f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。この複素関数\(f\)の値域は基本領域\begin{equation*}Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Re}\left( z\right) \in \mathbb{R} \wedge \mathrm{Im}\left( z\right) \in \left( -\pi ,\pi \right] \right\}
\end{equation*}と一致します。

命題(複素対数関数の値域)
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\ln \left( \left\vert z\right\vert \right) +i\mathrm{Arg}\left( z\right)
\end{equation*}を定めるものとする。この複素関数\(f\)の値域は、\begin{equation*}Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Re}\left( z\right) \in \mathbb{R} \wedge \mathrm{Im}\left( z\right) \in \left( -\pi ,\pi \right] \right\}
\end{equation*}である。

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それぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\ln \left( \left\vert z\right\vert \right) +i\mathrm{Arg}\left( z\right)
\end{equation*}を定める複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)の値域は基本集合\(Z\)と一致することが明らかになりました。つまり、\begin{equation*}f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow Z
\end{equation*}の定義域と値域は複素対数関数\begin{equation*}
\mathrm{Ln}\left( z\right) :\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow Z
\end{equation*}の定義域と値域と一致します。実際、\(f\)と\(\mathrm{Ln}\left( z\right) \)は同一の複素関数です。つまり、以下の関係\begin{equation*}\forall z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} :\mathrm{Ln}\left( z\right) =\ln \left(
\left\vert z\right\vert \right) +i\mathrm{Arg}\left( z\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(複素対数関数の実部と虚部)
複素対数関数\(\mathrm{Ln}\left( z\right) :\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow Z\)について、\begin{equation*}\forall z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} :\mathrm{Ln}\left( z\right) =\ln \left(
\left\vert z\right\vert \right) +i\mathrm{Arg}\left( z\right)
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Re}\left( z\right) \in \mathbb{R} \wedge \mathrm{Im}\left( z\right) \in \left( -\pi ,\pi \right] \right\}
\end{equation*}である。

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例(複素対数関数の値)
複素対数関数\(\mathrm{Ln}\left( z\right) :\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow Z\)が複素数\(i\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Ln}\left( i\right) &=&\ln \left( \left\vert i\right\vert \right) +i\mathrm{Arg}\left( i\right) \\
&=&\ln \left( 1\right) +\frac{\pi }{2}i \\
&=&0+\frac{\pi }{2}i \\
&=&\frac{\pi }{2}i
\end{eqnarray*}です。

例(複素対数関数の値)
複素対数関数\(\mathrm{Ln}\left( z\right) :\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow Z\)が複素数\(1\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Ln}\left( 1\right) &=&\ln \left( \left\vert 1\right\vert \right) +i\mathrm{Arg}\left( 1\right) \\
&=&\ln \left( 1\right) +0i \\
&=&0+0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}です。

例(複素対数関数の値)
複素対数関数\(\mathrm{Ln}\left( z\right) :\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow Z\)が複素数\(1+i\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Ln}\left( 1+i\right) &=&\ln \left( \left\vert 1+i\right\vert \right)
+i\mathrm{Arg}\left( 1+i\right) \\
&=&\ln \left( \sqrt{2}\right) +\frac{\pi }{4}i
\end{eqnarray*}です。

 

複素対数関数の定義域と値域

複素対数関数の定義域と値域は以下の通りです。

命題(複素対数関数の定義域と値域)
複素対数関数\(\mathrm{Ln}\left( z\right) :\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow Z\)の定義域は、\begin{equation*}\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \end{equation*}であり、値域は、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Re}\left( z\right) \in \mathbb{R} \wedge \mathrm{Im}\left( z\right) \in \left( -\pi ,\pi \right] \right\}
\end{equation*}である。

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対数法則(積の対数)

対数関数\(\ln \left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)は以下の性質\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} _{++}:\ln \left( xy\right) =\ln \left( x\right) +\ln \left( y\right)
\end{equation*}を満たしますが、複素対数関数\(\mathrm{Ln}\left( z\right) :\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow Z\)も同様の性質\begin{equation*}\forall z,w\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} :\mathrm{Ln}\left( zw\right) =\mathrm{Ln}\left(
z\right) +\mathrm{Ln}\left( w\right)
\end{equation*}を満たします。つまり、積の対数は対数の和と一致します。

命題(積の対数)
複素対数関数\(\mathrm{Ln}\left( z\right) :\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow Z\)は以下の性質\begin{equation*}\forall z,w\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} :\mathrm{Ln}\left( zw\right) =\mathrm{Ln}\left(
z\right) +\mathrm{Ln}\left( w\right)
\end{equation*}を満たす。

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対数法則(商の対数)

対数関数\(\ln \left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)は以下の性質\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} _{++}:\ln \left( \frac{x}{y}\right) =\ln \left( x\right) -\ln \left(
y\right)
\end{equation*}を満たしますが、複素対数関数\(\mathrm{Ln}\left( z\right) :\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow Z\)も同様の性質\begin{equation*}\forall z,w\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} :\mathrm{Ln}\left( \frac{z}{w}\right) =\mathrm{Ln}\left( z\right) -\mathrm{Ln}\left( w\right)
\end{equation*}を満たします。つまり、商の対数は対数の差と一致します。

命題(商の対数)
複素対数関数\(\mathrm{Ln}\left( z\right) :\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow Z\)は以下の性質\begin{equation*}\forall z,w\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} :\mathrm{Ln}\left( \frac{z}{w}\right) =\mathrm{Ln}\left( z\right) -\mathrm{Ln}\left( w\right)
\end{equation*}を満たす。

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対数法則(整数乗の対数)

複素対数関数\(\mathrm{Ln}\left( z\right) :\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow Z\)は以下の性質\begin{equation*}\forall z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall k\in \mathbb{Z} :\mathrm{Ln}\left( z^{k}\right) =k\mathrm{Ln}\left( z\right)
\end{equation*}を満たします。

命題(整数乗の対数)
複素対数関数\(\mathrm{Ln}\left( z\right) :\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow Z\)は以下の性質\begin{equation*}\forall z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall k\in \mathbb{Z} :\mathrm{Ln}\left( z^{k}\right) =k\mathrm{Ln}\left( z\right)
\end{equation*}を満たす。

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演習問題

問題(複素対数関数の値)
複素対数関数\(\mathrm{Ln}\left( z\right) :\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow Z\)が複素数\(-i\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して定める値\begin{equation*}\mathrm{Ln}\left( -i\right)
\end{equation*}を求めてください。

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問題(複素対数関数の値)
複素対数関数\(\mathrm{Ln}\left( z\right) :\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow Z\)が複素数\(-2\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して定める値\begin{equation*}\mathrm{Ln} \left( -2\right)
\end{equation*}を求めてください。

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