複素ベキ関数の定義と具体例

複素ベキ関数

複素指数関数\(e^{z}:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)の値域は\(\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)ですが、非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それに対して以下の複素数\begin{equation}w=\ln \left( \left\vert z\right\vert \right) +i\arg \left( z\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を選べば、以下の関係\begin{equation}
z=e^{w} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\(z\)に対してその偏角\(\arg \left( z\right) \)は一意的に定まらず、ゆえに\(\left( 1\right) \)もまた一意的に定まりません。このような事情を踏まえた上で、それぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、以下の集合\begin{equation*}\ln \left( z\right) =\left\{ \ln \left( \left\vert z\right\vert \right)
+i\arg \left( z\right) \in \mathbb{C} \right\}
\end{equation*}を値として定める対応\begin{equation*}
\ln \left( z\right) :\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \twoheadrightarrow \mathbb{C} \end{equation*}を定義し、これを複素対数関数と呼びました。

集合\(\left\{ \ln \left( \left\vert z\right\vert \right) +i\arg\left( z\right) \in \mathbb{C} \right\} \)に属する関数を\(\ln\left( z\right) \)で表記するのであれば、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation}z=e^{\ln \left( z\right) } \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。すると、整数\(n\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、\begin{eqnarray*}z^{n} &=&\left( e^{\ln \left( z\right) }\right) ^{n}\quad \because \left(
3\right) \\
&=&e^{n\ln \left( z\right) }\quad \because \text{複素指数関数の整数乗}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
z^{n}=e^{n\ln \left( z\right) } \quad \cdots (4)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(4\right) \)は任意の整数\(n\)について成り立つため、\(\left( 4\right) \)によって複素数\(z\)の整数乗の定義とすることもできます。

以上を踏まえた上で、複素数の複素数乗を\(\left( 4\right) \)と同様に定義します。つまり、非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)と複素数\(p\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、底が\(z\)で指数が\(p\)であるような複素累乗（complex power）を、\begin{equation*}z^{p}=e^{p\ln \left( z\right) }
\end{equation*}と定義します。複素対数関数の定義より、\begin{equation*}
\ln \left( z\right) =\ln \left( \left\vert z\right\vert \right) +i\arg
\left( z\right)
\end{equation*}が成り立つため、以下の関係\begin{equation*}
z^{p}=e^{p\left[ \ln \left( \left\vert z\right\vert \right) +i\arg \left(
z\right) \right] }
\end{equation*}が成り立ちます。

複素対数関数\(\ln \left( z\right) \)の定義域は\(\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)であるため、非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して\(\ln \left(z\right) \)が複素数として定まります。複素平面は乗法について閉じているため\(p\ln \left( z\right) \)は複素数として定まります。さらに、複素指数関数\(e^{z}\)の定義域は\(\mathbb{C} \)であるため\(e^{p\ln \left( z\right) }\)は複素数として定まることが保証されます。ただし、複素対数関数は対応であるため\(\ln \left( z\right) \)は一意的に定まりません。このような事情を踏まえると、複素数\(p\in \mathbb{C} \)が与えられたとき、それぞれの非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、以下の集合\begin{eqnarray*}z^{p} &=&\left\{ e^{p\ln \left( z\right) }\in \mathbb{C} \right\} \\
&=&\left\{ e^{p\left[ \ln \left( \left\vert z\right\vert \right) +i\arg
\left( z\right) \right] }\in \mathbb{C} \right\}
\end{eqnarray*}を値として定める対応\begin{equation*}
z^{p}:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \twoheadrightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。これを複素ベキ関数（complex power function）と呼びます。

複素ベキ関数の主値

複素対数関数\(\ln \left( z\right) :\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \twoheadrightarrow \mathbb{C} \)は対応である一方で、複素対数関数の主値\begin{equation*}\mathrm{Ln}\left( z\right) :\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow Z
\end{equation*}は関数です。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Re}\left( z\right) \in \mathbb{R} \wedge \mathrm{Im}\left( z\right) \in (-\pi ,\pi ]\right\}
\end{equation*}です。そこで、非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)と複素数\(p\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、底が\(z\)で指数が\(p\)であるような複素累乗の主値（principal value of a complex power）を、\begin{equation*}z^{p}=e^{p\mathrm{Ln}\left( z\right) }
\end{equation*}と定義します。複素対数関数の主値の定義より、\begin{equation*}
\mathrm{Ln}\left( z\right) =\ln \left( \left\vert z\right\vert \right) +i\mathrm{Arg}\left( z\right)
\end{equation*}が成り立つため、以下の関係\begin{equation*}
z^{p}=e^{p\left[ \ln \left( \left\vert z\right\vert \right) +i\mathrm{Arg}\left( z\right) \right] }
\end{equation*}が成り立ちます。

複素対数関数\(\mathrm{Ln}\left( z\right) \)の定義域は\(\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)であるため、非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して\(\ln \left(z\right) \)が複素数として定まります。複素平面は乗法について閉じているため\(p\mathrm{Ln}\left( z\right) \)は複素数として定まります。さらに、複素指数関数\(e^{z}\)の定義域は\(\mathbb{C} \)であるため\(e^{p\mathrm{Ln}\left( z\right) }\)は複素数として定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、複素数\(p\in \mathbb{C} \)が与えられたとき、それぞれの非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、以下の複素数\begin{eqnarray*}z^{p} &=&e^{p\mathrm{Ln}\left( z\right) } \\
&=&e^{p\left[ \ln \left( \left\vert z\right\vert \right) +i\mathrm{Arg}\left(
z\right) \right] }
\end{eqnarray*}を値として定める複素関数\begin{equation*}
z^{p}:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。これを複素ベキ関数の主値（principal value of complex power function）と呼びます。以降では主に複素ベキ関数の主値を扱うこととし、これを複素ベキ関数と省略して呼ぶこととします。

\(0\)は複素数であるため、\(0\)を指数とする複素ベキ関数\begin{equation*}z^{0}:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能ですが、この場合には、\begin{eqnarray*}
z^{0} &=&e^{0\mathrm{Ln}\left( z\right) } \\
&=&e^{0} \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(0\)を指数とする複素ベキ関数は複素定数関数\(1\)となってしまいます。このような事情もあり、多くの場合、\(z^{0}\)を複素ベキ関数から除外します。つまり、\(p\not=0\)を満たす複素数\(p\in \mathbb{C} \)に対してのみ複素ベキ関数\(z^{p}:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)を定義するということです。

複素ベキ関数はベキ関数の一般化

実数\(p\in \mathbb{R} \)を指数とするベキ関数\begin{equation*}x^{p}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。実数\(p\)は複素数\(p+0i\in \mathbb{C} \)と同一視されるため、\(p+0i\)を指数とする複素ベキ関数\begin{equation*}z^{p+0i}:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}もまた定義可能です。正の実数\(x\in \mathbb{R} _{++}\)は非ゼロの複素数\(x+0i\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)と同一視されますが、これを複素ベキ関数\(z^{p+0i}\)に入力すると、\begin{eqnarray*}\left( x+0i\right) ^{p+0i} &=&e^{\left( p+0i\right) \mathrm{Ln}\left(
x+0i\right) } \\
&=&e^{\left( p+0i\right) \left[ \ln \left( \left\vert x+0i\right\vert
\right) +i\mathrm{Arg}\left( x+0i\right) \right] } \\
&=&e^{\left( p+0i\right) \left[ \ln \left( x\right) +i0\right] } \\
&=&e^{p\ln \left( x\right) } \\
&=&x^{p}
\end{eqnarray*}が得られますが、これはベキ関数\(x^{p}\)に正の実数\(x\in \mathbb{R} _{++}\)を入力した場合に出力される値と一致します。以上より、複素ベキ関数はベキ関数の一般化であることが明らかになりました。

底を共有する累乗の積

複素数\(p,q\in \mathbb{C} \)が与えられれば\(p+q\in \mathbb{C} \)となるため、3つの複素ベキ関数\begin{eqnarray*}z^{p} &:&\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \\
z^{q} &:&\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \\
z^{p+q} &:&\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}が定義可能ですが、これらの間には以下の関係\begin{equation*}
\forall z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} :z^{p}\cdot z^{q}=z^{p+q}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、底\(z\in \mathbb{C} \)を共有する累乗\(z^{p},z^{q}\)が与えられたとき、それらの積\(z^{p}\cdot z^{q}\)を求めるためには指数どうしの和\(p+q\)をとり、それを指数とする累乗\(z^{p+q}\)をとればよいということです。「累乗の積」に関する問題は「指数の和」に関する問題へと帰着させられます。

積の累乗

複素数\(p\in \mathbb{C} \)が与えられれば複素ベキ関数\begin{equation*}z^{p}:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能ですが、これは以下の性質\begin{equation*}
\forall z,w\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} :\left( zw\right) ^{p}=z^{p}\cdot w^{p}
\end{equation*}を満たします。つまり、非ゼロの複素数\(z,w\)が与えられたとき、それらの積の複素数乗\(\left( zw\right) ^{p}\)を求めるためには、\(z\)の複素数乗\(z^{p}\)と\(w\)の複素数乗\(w^{p}\)をとり、それらの積をとればよいということです。「積の累乗」に関する問題は「累乗の積」に関する問題へと帰着させられます。

演習問題