連続複素関数の定数倍の連続性
複素数\(c\in \mathbb{C} \)と複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)が与えられたとき、それぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{equation*}\left( cf\right) \left( z\right) =cf\left( z\right)
\end{equation*}を値として定める複素関数\begin{equation*}
cf:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。
複素関数\(f\)が定義域上の点\(a\in Z\)において連続であるならば、複素関数\(cf\)もまた点\(a\)において連続であることが保証されます。
したがって、何らかの複素関数\(f\)の定数倍の形をしている複素関数\(cf\)の連続性を検討する際には、複素関数の連続性の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が連続であることを確認すればよいということになります。
命題（連続な複素関数の定数倍の連続性）
複素数\(c\in \mathbb{C} \)と複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)が与えられたとき、そこから複素関数\(cf:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)を定義する。\(f\)が定義域上の点\(a\in Z\)において連続であるならば、\(cf\)もまた点\(a\)において連続である。
例（連続な複素関数の定数倍の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =-z
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素恒等関数\(z\)の定数倍（\(-1\)倍）として定義されています。複素恒等関数\(z\)は連続な複素関数であるため、定数倍の法則より\(-z\)すなわち\(f\)もまた連続な複素関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素恒等関数\(z\)の定数倍（\(-1\)倍）として定義されています。複素恒等関数\(z\)は連続な複素関数であるため、定数倍の法則より\(-z\)すなわち\(f\)もまた連続な複素関数です。
例（連続な複素関数の定数倍の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =zi
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素恒等関数\(z\)の定数倍（\(i\)倍）として定義されています。複素恒等関数\(z\)は連続な複素関数であるため、定数倍の法則より\(zi\)すなわち\(f\)もまた連続な複素関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素恒等関数\(z\)の定数倍（\(i\)倍）として定義されています。複素恒等関数\(z\)は連続な複素関数であるため、定数倍の法則より\(zi\)すなわち\(f\)もまた連続な複素関数です。
演習問題
問題（複素関数の定数倍の連続性）
複素数\(c\in \mathbb{C} \)と複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)から複素関数\(cf:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)を定義します。\(cf\)が連続な複素関数である場合、\(f\)もまた連続な複素関数であると言えるでしょうか。議論してください。
問題（イプシロン・デルタ論法と定数倍の法則）
複素数\(c\in \mathbb{C} \)と複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)が与えられたとき、そこから複素関数\(cf:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)を定義します。\(f\)が定義域上の点\(a\in Z\)において連続であるならば、\(cf\)もまた点\(a\)において連続です。本文中では複素関数の極限を用いて以上の命題を証明しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
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