複素定数関数の連続性
複素定数関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して定める値が、ある定数\(c\in \mathbb{C} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( z\right) =c
\end{equation*}と表されるということです。
点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続であることが保証されます。したがって、\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で連続です。
命題（複素定数関数の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)がそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{C} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( z\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続である。したがって、\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で連続である。
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続である。したがって、\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で連続である。
例（複素定数関数の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =i
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素定数関数であるため、先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素定数関数であるため、先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で連続です。
例（複素定数関数の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =1+i
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素定数関数であるため、先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素定数関数であるため、先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で連続です。
例（複素定数関数の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素定数関数であるため、先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素定数関数であるため、先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で連続です。
演習問題
問題（イプシロン・デルタ論法を用いた複素定数関数の連続性の証明）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)がそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{C} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( z\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。本文中で示したように、点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続です。本文中では複素関数の極限を用いて以上の主張が成り立つことを示しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
\end{equation*}と表されるものとします。本文中で示したように、点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続です。本文中では複素関数の極限を用いて以上の主張が成り立つことを示しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
問題（実部と虚部を用いた複素定数関数の連続性の証明）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)がそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{C} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( z\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。本文中で示したように、点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続です。本文中では複素関数の極限を用いて以上の主張が成り立つことを示しましたが、同じことを\(f\)の実部と虚部を用いて証明してください。
\end{equation*}と表されるものとします。本文中で示したように、点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続です。本文中では複素関数の極限を用いて以上の主張が成り立つことを示しましたが、同じことを\(f\)の実部と虚部を用いて証明してください。
問題（複素定数関数の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ \mathrm{Re}\left( z\right) \leq 1\right) \\
i & \left( if\ \mathrm{Re}\left( z\right) >1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続でしょうか。議論してください。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ \mathrm{Re}\left( z\right) \leq 1\right) \\
i & \left( if\ \mathrm{Re}\left( z\right) >1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続でしょうか。議論してください。
