点における複素関数の連続性
複素平面\(\mathbb{C} \)もしくはその部分集合\(Z\)を定義域とし、複素数を値としてとる複素関数\begin{equation*}f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、複素関数\(f\)の定義域\(Z\)の集積点\(a\in \mathbb{Z} \)を任意に選びます。集積点の定義より、\begin{equation*}\forall \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( A\backslash \left\{
a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(N_{\delta }\left( a\right) \)は中心が\(a\)であり半径が\(\delta \)であるような近傍であり、\begin{equation*}N_{\delta }\left( a\right) =\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert <\delta \right\}
\end{equation*}です。この場合、\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(Z\)の点が必ず存在します。
複素関数\(f\)が\(z\rightarrow a\)の場合に複素数へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{C} :\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(z\)を点\(a\)とは異なる\(Z\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(z\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、その際に\(f\left( z\right) \)の値が必ず特定の複素数\(b\)へ限りなく近づくことを意味しますが、このことをイプシロン・デルタ論法を用いて厳密に定義すると、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{C} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall z\in Z:\left(
0<\left\vert z-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( z\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。
集積点の定義より、複素関数\(f\)は集積点\(a\)の周辺の点において定義されている一方で、点\(a\)自身において定義されているとは限りません。ただ、\(z\rightarrow a\)の場合に複素関数\(f\)が複素数へ収束するかを検討する際には、\(f\)は点\(a\)の周辺の点において定義されていればよく、点\(a\)において定義されている必要はありません。したがって、複素関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合においても、\(z\rightarrow a\)の場合に\(f\)が複素数へ収束する状況は起こり得ます。また、複素数\(f\)が集積点\(a\)において定義されているとともに\(z\rightarrow a\)の場合に複素数へ収束する場合、その極限は点\(a\)における\(f\)の値である\(f\left( a\right) \)と一致するとは限りません。
一方、複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)と定義域\(Z\)の集積点\(a\in \mathbb{C} \)が与えられたとき、\(f\)が点\(a\)において定義されており、なおかつ\(z\rightarrow a\)の場合に\(f\)が複素数へ収束し、さらにその極限\(\lim\limits_{z\rightarrow a}f\left(z\right) \)が\(f\left( a\right) \)と一致する場合には、すなわち、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in Z \\
&&\left( b\right) \ \lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) \in \mathbb{C} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、\(f\)は点\(a\)において連続である（continuous at \(a\)）と言います。逆に、以上の3つの条件の中の少なくとも1つが成り立たない場合、複素関数\(f\)は点\(a\)において不連続である（discontinuous at \(a\)）と言います。
複素関数\(f\)の定義域上の点\(a\in Z\)が定義域\(Z\)の集積点ではない場合、\(a\)は\(Z\)の孤立点になります。この場合、複素関数\(f\)は点\(a\)において連続であるものと定めます。その根拠は後ほど解説します。
\end{equation*}を定めるものとします。定義域上の点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) &=&\lim_{z\rightarrow a}3z\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&3a\quad \because \text{複素多項式関数の極限} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は点\(a\)において連続であることが明らかになりました。
\end{equation*}を定めるものとします。定義域上の点\(a\in \mathbb{C} \backslash \left\{ -1\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) &=&\lim_{z\rightarrow a}\frac{\left(
3+i\right) z^{4}-z^{2}+2z}{z+1}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{z\rightarrow a}\left[ \left( 3+i\right) z^{4}-z^{2}+2z\right] }{\lim\limits_{z\rightarrow a}\left( z+1\right) }\quad \because
\text{複素有理関数の極限} \\
&=&\frac{\left( 3+i\right) a^{4}-a^{2}+2a}{a+1}\quad \because \text{複素多項式関数の極限} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は点\(a\)において連続であることが明らかになりました。
\end{equation*}を定めるものとします。定義域上の点\(0\in\left\{ 0\right\} \)に注目したとき、これは定義域\(\left\{ 0\right\} \)の孤立点であるため、\(f\)は点\(0\)において連続です。
複素関数は連続であるとは限らない
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)と定義域\(Z\)の集積点\(a\in \mathbb{C} \)が与えられたとき、\(f\)が点\(a\)において連続であることとは、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in Z \\
&&\left( b\right) \ \lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) \in \mathbb{C} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つこととして定義されます。したがって、これらの条件の中の少なくとも1つが成立しない場合、複素関数\(f\)は点\(a\)において連続ではありません。
複素関数は点において連続であるとは限りません。まずは、条件\(\left( a\right) \)が成り立たないがゆえに連続ではないケースを挙げます。
\end{equation*}を定めるものとします。この複素関数\(f\)は点\(0\)において定義されていないため、\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。
続いて、条件\(\left( a\right) \)が成り立つ一方で条件\(\left( b\right) \)が成り立たないがゆえに連続ではないケースを挙げます。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ \mathrm{Re}\left( z\right) <0\right) \\
i & \left( if\ \mathrm{Re}\left( z\right) \geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。定義域上の点\(0\in \mathbb{C} \)に注目します。一般項がそれぞれ、\begin{eqnarray*}z_{n} &=&\frac{1}{n}+0i \\
w_{n} &=&-\frac{1}{n}+0i
\end{eqnarray*}で与えられる複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{ w_{n}\right\} \)に注目します。複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :z_{n}\not=0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=0
\end{eqnarray*}が成り立つとともに、複素数列\(\left\{ f\left( z_{n}\right)\right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( z_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
+\infty }f\left( \frac{1}{n}+0i\right) \quad \because \left\{ z_{n}\right\}
\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }i\quad \because f\text{の定義} \\
&=&i
\end{eqnarray*}が成り立ちます。複素数列\(\left\{ w_{n}\right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :w_{n}\not=0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }w_{n}=0
\end{eqnarray*}が成り立つとともに、複素数列\(\left\{ f\left( w_{n}\right)\right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( w_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
+\infty }f\left( -\frac{1}{n}+0i\right) \quad \because \left\{ w_{n}\right\}
\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }0\quad \because f\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(\left\{f\left( z_{n}\right) \right\} \)と\(\left\{ f\left( w_{n}\right)\right\} \)は異なる極限へ収束することが示されたため、\(z\rightarrow 0\)の場合に\(f\)は複素数へ収束しないことが示されました。したがって\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。
最後に、条件\(\left( a\right) ,\left(b\right) \)が成り立つ一方で条件\(\left( c\right) \)が成り立たないがゆえに連続ではないケースを挙げます。
\begin{array}{cc}
z & \left( if\ x\not=0\right) \\
i & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。定義域上の点\(0\in \mathbb{C} \)に注目します。さらに、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow 0}f\left( z\right) &=&\lim_{z\rightarrow 0}z\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。その一方で、\begin{equation*}
f\left( 0\right) =i
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow 0}f\left( z\right) \not=f\left( 0\right)
\end{equation*}を得ます。したがって\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。
集合上で連続な複素関数
先に例を通じて確認したように、複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)は定義域\(Z\)上のすべての点において連続であるとは限りません。そこで、複素関数\(f\)が連続な点からなる集合が\(W\subset Z\)である場合、\(f\)は\(W\)上で連続である（continuous on \(W\)）と言います。
特に、\(Z=W\)である場合、すなわち複素関数\(f\)が定義域\(Z\)上のすべての点において連続である場合、\(f\)は連続である（continous）と言います。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、定義域上の点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{C} \)上の任意の点\(a\)において同様であるため、\(f\)は定義域\(\mathbb{C} \)上で連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、定義域上の点\(a\in \mathbb{C} \backslash \left\{ -1\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{C} \backslash \left\{ -1\right\} \)上の任意の点\(a\)において同様であるため、\(f\)は定義域\(\mathbb{C} \backslash \left\{ -1\right\} \)上で連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この複素関数は定義域上の唯一の点\(0\in \left\{ 0\right\} \)において連続です。したがって、この複素関数\(f\)は定義域\(\left\{ 0\right\} \)上で連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この複素関数\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。その一方で、定義域上の点\(a\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) &=&\lim_{z\rightarrow a}\frac{1}{z}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{z\rightarrow a}1}{\lim\limits_{z\rightarrow a}z}\quad
\because \text{複素有理関数の極限} \\
&=&\frac{1}{a} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は定義域\(\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で連続です。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ \mathrm{Re}\left( z\right) <0\right) \\
i & \left( if\ \mathrm{Re}\left( z\right) \geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この複素関数は定義域上の点\(0\in \mathbb{C} \)において連続ではありません。同様に、\(\mathrm{Re}\left( a\right) =0\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{C} \)において\(f\)は連続ではなく、それ以外の任意の点において\(f\)は連続です。つまり、\(f\)が連続な点からなる集合は、\begin{equation*}\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Re}\left( z\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です（演習問題）。
\begin{array}{cc}
z & \left( if\ x\not=0\right) \\
i & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この複素関数\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。その一方で、点\(a\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) &=&\lim_{z\rightarrow a}z\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&a \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)上の任意の点において同様であるため、この複素関数\(f\)は定義域\(\mathbb{C} \)上では連続ではないものの、\(\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で連続であることが明らかになりました。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて明らかにしてください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて明らかにしてください。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ \mathrm{Re}\left( z\right) <0\right) \\
i & \left( if\ \mathrm{Re}\left( z\right) \geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて明らかにしてください。
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