複素双曲線正接関数の連続性
複素双曲線正接関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(z\in Z\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( z\right) =\tanh \left( z\right)
\end{equation*}であるということです。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}Z &=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \cosh \left( z\right) \not=0\right\} \\
&=&\mathbb{C} \backslash \left\{ \frac{\pm \pi }{2},\frac{\pm 3\pi }{2},\frac{\pm 5\pi }{2},\cdots \right\}
\end{eqnarray*}です。
定義域上の点\(a\in Z\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続であることが保証されます。したがって、\(f\)は\(Z\)上で連続です。
命題（複素双曲線正接関数の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\tanh \left( z\right)
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \cosh \left( z\right) \not=0\right\}
\end{equation*}である。点\(a\in Z\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続である。したがって、\(f\)は\(Z\)上で連続である。
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \cosh \left( z\right) \not=0\right\}
\end{equation*}である。点\(a\in Z\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続である。したがって、\(f\)は\(Z\)上で連続である。
例（複素双曲線正接関数の連続性）
以下の複素関数\begin{equation*}
\tanh \left( z\right) :\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \cosh \left( z\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。これは複素正接関数であるため、先の命題より、\(\tanh \left(z\right) \)は\(Z\)上で連続です。
\tanh \left( z\right) :\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \cosh \left( z\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。これは複素正接関数であるため、先の命題より、\(\tanh \left(z\right) \)は\(Z\)上で連続です。
例（複素双曲線正接関数との合成の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\tanh \left( z^{2}+z+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \cosh \left( z^{2}+z+1\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。\(f\)は複素多項式関数\(z^{2}+z+1\)と複素双曲線正接関数\(\tanh \left( z\right) \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in Z\)を任意に選んだとき、複素多項式関数の連続性より\(z^{2}+z+1\)は点\(a\)において連続です。\(a\in Z\)ゆえに\(\cosh \left( a^{2}+a+1\right) \not=0\)であるため、複素双曲線正接関数の連続性より\(\tanh \left( z\right) \)は点\(a^{2}+a+1\)において連続です。したがって、複素合成関数の連続性より\(\tanh \left( z^{2}+z+1\right) \)すなわち\(f\)は点\(a\)において連続です。\(Z\)上の任意の点\(a\)において同様であるため、\(f\)は\(Z\)上において連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \cosh \left( z^{2}+z+1\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。\(f\)は複素多項式関数\(z^{2}+z+1\)と複素双曲線正接関数\(\tanh \left( z\right) \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in Z\)を任意に選んだとき、複素多項式関数の連続性より\(z^{2}+z+1\)は点\(a\)において連続です。\(a\in Z\)ゆえに\(\cosh \left( a^{2}+a+1\right) \not=0\)であるため、複素双曲線正接関数の連続性より\(\tanh \left( z\right) \)は点\(a^{2}+a+1\)において連続です。したがって、複素合成関数の連続性より\(\tanh \left( z^{2}+z+1\right) \)すなわち\(f\)は点\(a\)において連続です。\(Z\)上の任意の点\(a\)において同様であるため、\(f\)は\(Z\)上において連続です。
演習問題
問題（複素双曲線正接関数の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\tanh \left( z-i\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \cosh \left( z-i\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。\(f\)が連続な点を明らかにしてください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \cosh \left( z-i\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。\(f\)が連続な点を明らかにしてください。
問題（複素双曲線正接関数の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 1\right\} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\tanh \left( \frac{1}{z-1}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \cosh \left( \frac{1}{z-1}\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。\(f\)が連続な点を明らかにしてください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \cosh \left( \frac{1}{z-1}\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。\(f\)が連続な点を明らかにしてください。
問題（複素双曲線正接関数の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\tanh \left( z\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \cosh \left( z\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。点\(a\in Z\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続です。本文中では、以上の命題を複素関数の極限を用いて証明しましたが、\(f\)の実部と虚部を用いて同じ命題を証明してください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \cosh \left( z\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。点\(a\in Z\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続です。本文中では、以上の命題を複素関数の極限を用いて証明しましたが、\(f\)の実部と虚部を用いて同じ命題を証明してください。
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