複素多項式関数の連続性
複素多項式関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と複素数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( z\right) =c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\cdots +c_{n}z^{n}
\end{equation*}と表されるということです。
点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続であることが保証されます。したがって、\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で連続です。
命題（複素多項式関数の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)がそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と複素数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( z\right) =c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\cdots +c_{n}z^{n}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続である。したがって、\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で連続である。
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続である。したがって、\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で連続である。
例（複素多項式関数の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\left( 3+i\right) z^{4}-z^{2}+2z
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素多項式関数であるため、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素多項式関数であるため、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で連続です。
例（複素多項式関数の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =z^{2}-2z+4
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素多項式関数であるため、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素多項式関数であるため、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で連続です。
演習問題
問題（複素多項式関数の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =z^{2}-z
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて特定してください。
問題（複素多項式関数の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =z^{5}-z^{2}+z
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて特定してください。
問題（複素多項式関数の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\frac{z^{3}+i-1}{i}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて特定してください。
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