複素有理関数の連続性
複素有理関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(z\in Z\)に対して定める値が、2つの複素多項式関数\begin{eqnarray*}g &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \\
h &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}を用いて、\begin{equation*}
f\left( z\right) =\frac{g\left( z\right) }{h\left( z\right) }
\end{equation*}と表されるということです。複素数をゼロで割ることはできないため、複素関数\(h\)は非ゼロの複素数を値としてとることに注意してください。
複素有理関数\(f\)の定義域上の点\(a\in Z\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続であることが保証されます。したがって、\(f\)は\(Z\)上で連続です。
命題（複素有理関数の連続性）
複素有理関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)がそれぞれの\(z\in Z\)に対して定める値が、複素多項式関数である\(g:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)および\(h:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( z\right) =\frac{g\left( z\right) }{h\left( z\right) }
\end{equation*}と表されるものとする。定義域上の点\(a\in Z\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続である。したがって、\(f\)は\(Z\)上で連続である。
\end{equation*}と表されるものとする。定義域上の点\(a\in Z\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続である。したがって、\(f\)は\(Z\)上で連続である。
例（複素有理関数の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ -1\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ -1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\frac{\left( 3+i\right) z^{4}-z^{2}+2z}{z+1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素有理関数であるため、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{C} \backslash \left\{ -1\right\} \)上で連続です。ちなみに、\(f\)は点\(-1\)において定義されないため、\(f\)は点\(-1\)において連続ではありません。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素有理関数であるため、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{C} \backslash \left\{ -1\right\} \)上で連続です。ちなみに、\(f\)は点\(-1\)において定義されないため、\(f\)は点\(-1\)において連続ではありません。
例（複素有理関数の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 1+\sqrt{3}i\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 1+\sqrt{3}i\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\frac{z^{2}-2z+4}{z-1-\sqrt{3}i}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素有理関数であるため、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{C} \backslash \left\{ 1+\sqrt{3}i\right\} \)上で連続です。ちなみに、\(f\)は点\(1+\sqrt{3}i\)において定義されないため、\(f\)は点\(1+\sqrt{3}i\)において連続ではありません。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素有理関数であるため、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{C} \backslash \left\{ 1+\sqrt{3}i\right\} \)上で連続です。ちなみに、\(f\)は点\(1+\sqrt{3}i\)において定義されないため、\(f\)は点\(1+\sqrt{3}i\)において連続ではありません。
演習問題
問題（複素有理関数の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ -1\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ -1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\frac{\left( 3+i\right) z^{4}-z^{2}+2z}{z+1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点を特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点を特定してください。
問題（複素有理関数の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ \pm 1\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \pm 1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\frac{z^{2}+1}{z^{2}-1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点を特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点を特定してください。
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