無限大における複素関数の無限極限

無限大における複素関数の無限極限

複素平面\(\mathbb{C} \)もしくはその部分集合\(Z\)を定義域とし、複素数を値としてとる複素関数\begin{equation*}f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、この複素関数\(f\)は無限大の近傍において定義されているものとします。つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z\right\vert >a\right\} \subset Z
\end{equation*}が成り立つということです。

複素関数\(f\)の変数\(z\)の絶対値\(\left\vert z\right\vert \)を限りなく大きくした場合に\(f\left( z\right) \)の絶対値\(\left\vert f\left( z\right) \right\vert \)の値が限りなく大きくなることが保証されているのであれば、\(z\)が限りなく大きくなるときに\(f\)は無限大\(\infty \)へ発散する（diverge to infinity）と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) =\infty
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
z\rightarrow \infty \ \text{のとき}\ f\left( z\right)
\rightarrow \infty
\end{equation*}などで表記します。その上で、このような\(\infty \)を無限極限（infinite limit）と呼びます。では、これをどのような形で厳密に定式化できるでしょうか。

まず、\(z\rightarrow \infty \)が成り立つこと、すなわち、\(\left\vert z\right\vert \)が限りなく大きいと言うためには、\(\left\vert z\right\vert \)の大きさを表す指標が必要です。そこで、\(\left\vert z\right\vert \)の大きさを表す指標として正の実数\(N>0\)を導入したとき、\begin{equation*}\left\vert z\right\vert >N
\end{equation*}が成り立つならば、「\(\left\vert z\right\vert \)は\(N\)よりも大きい」と言えます。また、\(f\left( z\right) \rightarrow \infty \)が成り立つこと、すなわち、\(\left\vert f\left( z\right) \right\vert \)の値が限りなく大きいと言うためには、\(\left\vert f\left( z\right) \right\vert \)の大きさを表す指標も必要です。そこで、\(\left\vert f\left( z\right)\right\vert \)の大きさを表す指標として正の実数\(M>0\)を導入したとき、\begin{equation*}\left\vert f\left( z\right) \right\vert >M
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(f\left( z\right) \)は\(M\)よりも大きい」と言えます。\(z\rightarrow \infty \)のときに\(f\left( z\right) \rightarrow \infty \)であることは、以上のような2つの正の実数\(N,M\)の間の関係として表現することになります。

具体的には、まず、\(\left\vert f\left( z\right) \right\vert \)の大きさを表す値\(M\)を任意に選びます。\(z\rightarrow \infty \)のときに\(f\left( z\right) \rightarrow \infty \)が成り立つのであれば、ある値\(N\)より大きい任意の\(\left\vert z\right\vert \)について\(\left\vert f\left( z\right) \right\vert \)は\(M\)よりも大きくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\exists N>0,\ \forall z\in Z:\left( \left\vert z\right\vert >N\Rightarrow
\left\vert f\left( z\right) \right\vert >M\right)
\end{equation*}となります。\(z\rightarrow \infty \)のときに\(f\left( z\right) \rightarrow \infty \)となる場合には、最初に設定する\(M\)をどれほど大きくしても同様の議論が成立するはずです。そこで、\begin{equation*}\forall M>0,\ \exists N>0,\ \forall z\in Z:\left( \left\vert z\right\vert
>N\Rightarrow \left\vert f\left( z\right) \right\vert >M\right)
\end{equation*}が成り立つこととして、\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) =\infty
\end{equation*}が成り立つことの定義とします。

結論をまとめます。複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)が無限大の近傍において定義されている場合、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) =\infty
\end{equation*}が成り立つこととは、変数\(z\)の絶対値\(\left\vert z\right\vert \)を限りなく大きくした場合に\(f\left( z\right) \)の絶対値\(\left\vert f\left( z\right) \right\vert \)の値が限りなく大きくなることを意味しますが、そのことを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall M>0,\ \exists N>0,\ \forall z\in Z:\left( \left\vert z\right\vert
>N\Rightarrow \left\vert f\left( z\right) \right\vert >M\right)
\end{equation*}になるということです。

無限大における複素関数の無限極限の代替的な定義

複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)について、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) =\infty
\end{equation*}が成り立つことを、以下の命題\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists N>0,\ \forall z\in Z:\left( \left\vert z\right\vert
>N\Rightarrow \left\vert f\left( z\right) \right\vert >M\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。ただ、以上の定義にもとづいて複素関数が発散することを示す作業は面倒です。そこで、代替的な定義を提示します。

変数\(z\)に関する複素関数\(f\left( z\right) :\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)が与えられたとき、その変数を\(\frac{1}{z}\)に置き換えることにより得られる複素関数を、\begin{equation*}f\left( \frac{1}{z}\right) :\mathbb{C} \supset \frac{1}{Z}\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}で表記します。この関数が非ゼロの複素数を値としてとる場合には、すなわち、\begin{equation*}
\forall \frac{1}{z}\in \frac{1}{Z}:f\left( \frac{1}{z}\right) \not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、以下の複素関数\begin{equation*}
\frac{1}{f\left( \frac{1}{z}\right) }:\mathbb{C} \supset \frac{1}{Z}\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。その上で、複素関数\(\frac{1}{f\left( \frac{1}{z}\right) }\)について以下の命題\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow 0}\frac{1}{f\left( \frac{1}{z}\right) }=0
\end{equation*}が成り立つことと、もとの複素関数\(f\left( z\right) \)について以下の命題\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) =\infty
\end{equation*}が成り立つことは必要十分になります。

演習問題