無限大における複素関数の極限

無限大における複素関数の極限

複素平面\(\mathbb{C} \)もしくはその部分集合\(Z\)を定義域とし、複素数を値としてとる複素関数\begin{equation*}f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、この複素関数\(f\)は無限大の近傍において定義されているものとします。つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z\right\vert >a\right\} \subset Z
\end{equation*}が成り立つということです。

複素関数\(f\)の変数\(z\)の絶対値\(\left\vert z\right\vert \)を限りなく大きくした場合に\(f\left( z\right) \)の値が複素数\(b\)へ限りなく近づくことが保証されるのであれば、\(z\)が限りなく大きくなるときに\(f\)は\(b\)へ収束する（converge）と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) =b
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
z\rightarrow \infty \ \text{のとき}\ f\left( z\right)
\rightarrow b
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(b\)を\(x\rightarrow \infty \)のときの\(f\)の極限（limit）と呼びます。では、これをどのような形で厳密に定式化できるでしょうか。

まず、\(f\left( z\right) \)が\(b\)に限りなく近いと言うためには、\(f\left( z\right) \)と\(b\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(f\left(z\right) \)と\(b\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\varepsilon >0\)を導入したとき、\begin{equation*}\left\vert f\left( z\right) -b\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(f\left( z\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。

次に問題になるのは「\(\left\vert z\right\vert \)が大きくなるにつれて」という表現の定式化です。\(\left\vert z\right\vert \)が大きくなるにつれて\(f\left( z\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとは、ある値より大きい任意の\(\left\vert z\right\vert \)について、\(f\left( z\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)より小さくなることとして言い換え可能です。つまり、ある実数\(M\in \mathbb{R} \)が存在して、\(\left\vert z\right\vert >M\)を満たす任意の\(z\in Z\)について\(\left\vert f\left( z\right) -b\right\vert<\varepsilon \)が成り立つということです。これを定式化すると、\begin{equation*}\exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall z\in Z:\left( \left\vert z\right\vert >M\Rightarrow \left\vert
f\left( z\right) -b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。上の命題が成り立つのであれば、「\(\left\vert z\right\vert \)が大きくなるにつれて\(f\left(z\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなる」と言えます。

最後に問題になるのは「限りなく近づく」という表現の定式化です。\(z\rightarrow \infty \)のときに\(f\left( z\right) \)が\(b\)に収束することとは、\(\left\vert z\right\vert \)が大きくなるにつれて\(f\left( z\right) \)が\(b\)に限りなく近づくことを意味しますが、この場合、\(f\left( z\right) \)と\(b\)の間の距離\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を採用した場合でも、\(\left\vert z\right\vert \)が大きくなるにつれて\(f\left( z\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall z\in Z:\left( \left\vert z\right\vert >M\Rightarrow \left\vert
f\left( z\right) -b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。以上の命題によって、\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) =b
\end{equation*}が成り立つことの定義とします。

結論をまとめます。複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)が無限大の近傍において定義されている場合、複素数\(b\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(z\)の絶対値\(\left\vert z\right\vert \)を限りなく大きくした場合に\(f\left( z\right) \)の値が\(b\)へ限りなく近づくことを意味しますが、そのことを厳密に定義すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall z\in Z:\left( \left\vert z\right\vert >M\Rightarrow \left\vert
f\left( z\right) -b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}になるということです。

ちなみに、先の命題は以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists M>0,\ \forall z\in Z:\left( \left\vert
z\right\vert >M\Rightarrow \left\vert f\left( z\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}と必要十分です。つまり、\(z\)が満たすべき条件を規定する実数\(M\)として正の実数だけを議論の対象としても一般性は失われません。

無限大における複素関数の極限の代替的な定義

複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)と複素数\(b\in \mathbb{C} \)について、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) =b
\end{equation*}が成り立つことを、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall z\in Z:\left( \left\vert z\right\vert >M\Rightarrow \left\vert
f\left( z\right) -b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。ただ、以上の定義にもとづいて複素関数が無限大において収束することを示す作業は面倒です。そこで、代替的な定義を提示します。

変数\(z\)に関する複素関数\(f\left( z\right) :\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)が与えられたとき、その変数を\(\frac{1}{z}\)に置き換えることにより得られる複素関数を、\begin{equation*}f\left( \frac{1}{z}\right) :\mathbb{C} \supset \frac{1}{Z}\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}で表記します。その上で、複素数\(b\in \mathbb{C} \)が与えられたとき、複素関数\(f\left( \frac{1}{z}\right) \)について以下の命題\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow 0}f\left( \frac{1}{z}\right) =b
\end{equation*}が成り立つことと、もとの複素関数\(f\left( z\right) \)について以下の命題\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは必要十分になります。

演習問題