複素合成関数の極限
2つの複素関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \\
g &:&\mathbb{C} \supset W\rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}が与えられた状況を想定します。ただし、\(f\)の値域が\(g\)の定義域の部分集合であるものとします。つまり、\begin{equation*}f\left( Z\right) \subset W
\end{equation*}が成り立つということです。この場合には複素合成関数\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの複素数\(z\in Z\)に対して、以下の複素数\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( z\right) =g\left( f\left( z\right) \right)
\end{equation*}を値として定めます。
複素関数\(f\)の定義域\(Z\)の集積点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選びます。\(z\rightarrow a\)の場合に複素関数\(f\)は複素数へ収束するとともに、その極限がもう一方の複素関数\(g\)の定義域\(W\)上の点であるものとします。つまり、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{C} :\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =b\in W
\end{equation*}が成り立つということです。さらに、複素関数\(g\)は\(z\rightarrow b\)の場合に複素数へ収束するとともに、その極限が\(g\left( b\right) \)と一致するものとします。つまり、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow b}g\left( z\right) =g\left( b\right)
\end{equation*}が成り立つということです（このとき、複素関数\(g\)は点\(b\)において連続である（continuous）と言います）。
以上の条件が満たされる場合、複素合成関数\(g\circ f\)もまた\(z\rightarrow a\)の場合に複素数へ収束するとともに、その極限は、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( z\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( z\right) =g\left(
\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) \right)
\end{equation*}となることが保証されます。
つまり、\(z\rightarrow a\)の場合に複素数\(b\)へ収束する複素関数\(f\)と点\(b\)において連続な複素関数\(g\)が与えられたとき、それらの複素合成関数\(g\circ f\)もまた\(z\rightarrow a\)の場合に複素数へ収束するとともに、その極限は\(g\left( b\right) =g\left( \lim\limits_{z\rightarrow a}f\left( z\right) \right) \)と一致することが保証されます。したがって、2つの複素関数\(f,g\)の複素合成関数\(g\circ f\)の収束可能性を判定する際には、複素関数の極限の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、これらがそれぞれ上述の条件を満たすことを確認すればよいということになります。
&&\left( b\right) \ \lim_{z\rightarrow b}g\left( z\right) =g\left( b\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(g\circ f\)もまた\(z\rightarrow a\)の場合に複素数へ収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( z\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}となる。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素多項式関数である\(2z-1\)と\(z^{3}\)の複素合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、複素多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{z\rightarrow a}\left( 2z-1\right) =2a-1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。複素関数\(z^{3}\)は点\(2a-1\)において定義されているとともに、複素多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{z\rightarrow 2a-1}z^{3}=\left( 2a-1\right) ^{3} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（複素関数\(z^{3}\)は点\(2a-1\)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) &=&\lim_{z\rightarrow a}\left(
2z-1\right) ^{3}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( 2a-1\right) ^{3}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\text{および複素合成関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
先の命題が要求する条件の吟味
複素関数\(f,g\)どうしの複素合成関数\(g\circ f\)の極限に関する先の命題では2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists b\in \mathbb{C} :\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =b\in W \\
&&\left( b\right) \ \lim_{z\rightarrow b}g\left( z\right) =g\left( b\right)
\end{eqnarray*}を要求しています。条件\(\left( a\right) \)は、複素関数\(f\)が\(z\rightarrow a\)の場合に複素数へ収束するとともに、その極限\(b\)がもう一方の複素関数\(g\)の定義域上の点であることを要求しています。条件\(\left( b\right) \)は複素関数\(g\)が\(z\rightarrow b\)の場合に複素数へ収束するとともに、その極限が\(g\left( b\right) \)と一致する（複素関数\(g\)は点\(b\)において連続である）ことを要求しています。
条件\(\left( b\right) \)において、複素関数\(g\)の極限が\(g\left(b\right) \)と一致するという条件は必須なのでしょうか。複素関数\(g\)が\(z\rightarrow b\)の場合に複素数へ収束する一方で、その極限が\(g\left( b\right) \)と一致しない場合（複素関数\(g\)は点\(b\)において連続ではない）においても、複素合成関数\(g\circ f\)が\(z\rightarrow a\)の場合に複素数へ収束する事態は起こり得ますが、その場合、複素合成関数\(g\circ f\)の極限は\(g\left(b\right) \)と一致するとは限りません。したがって、複素合成関数\(g\circ f\)の極限が\(g\left( b\right) \)と一致することを保証するためには、複素関数\(g\)の極限が\(g\left( b\right) \)と一致するという条件を外すことはできません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定め、複素関数\(g:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}g\left( z\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ z\not=0\right) \\
i & \left( if\ z=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める場合、複素合成関数\(g\circ f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( z\right) &=&g\left( f\left( z\right) \right)
\quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&g\left( z\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、複素合成関数\(g\circ f\)は複素関数\(g\)と一致します。以上を踏まえた上で、以下の極限\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( z\right)
\end{equation*}に注目します。複素関数\(f,g\)は先の命題が要求する条件を満たしません。実際、複素関数\(f\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow 0}f\left( z\right) &=&\lim_{z\rightarrow 0}z\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}である一方で、この点\(0\)について、複素関数\(g\)は、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow 0}g\left( z\right) &=&\lim_{z\rightarrow 0}0\quad
\because g\text{の定義} \\
&=&0 \\
&\not=&g\left( 0\right) \quad \because g\left( 0\right) =i
\end{eqnarray*}となるため、\(g\)は点\(0\)において連続ではないからです。したがって、先の命題の結論\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( z\right) =g\left(
\lim_{z\rightarrow 0}f\left( z\right) \right)
\end{equation*}が成り立つことを保証できません。実際、\begin{eqnarray*}
\lim_{z\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( z\right)
&=&\lim_{z\rightarrow 0}g\left( z\right) \quad \because g\circ f=g \\
&=&\lim_{z\rightarrow 0}0\quad \because g\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるのに対し、\begin{eqnarray*}
g\left( \lim_{z\rightarrow 0}f\left( z\right) \right) &=&g\left( 0\right)
\quad \because \lim_{z\rightarrow 0}f\left( z\right) =0 \\
&=&i
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( z\right) \not=g\left(
\lim_{z\rightarrow 0}f\left( z\right) \right)
\end{equation*}を得ます。
複素合成関数の無限大における極限
複素合成関数の無限大における極限についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
&&\left( b\right) \ \lim_{z\rightarrow b}g\left( z\right) =g\left( b\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(g\circ f\)もまた\(z\rightarrow \infty \)の場合に複素数へ収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow \infty }\left( g\circ f\right) \left( z\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}となる。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素有理関数\(\frac{1}{2z}\)と複素多項式関数\(z^{5}\)の複素合成関数であることに注意してください。複素関数\(\frac{1}{2z}\)は無限大の近傍において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow \infty }\frac{1}{2z} &=&\lim_{z\rightarrow 0}\frac{1}{2\left( \frac{1}{z}\right) }\quad \because \lim_{z\rightarrow \infty
}f\left( z\right) =b\Leftrightarrow \lim_{z\rightarrow 0}f\left( \frac{1}{z}\right) =b \\
&=&\lim_{z\rightarrow 0}\frac{z}{2} \\
&=&\frac{1}{2}\lim_{z\rightarrow 0}z\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&\frac{1}{2}\cdot 0\quad \because \text{複素恒等関数の極限} \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{z\rightarrow \infty }\frac{1}{2z}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。複素関数\(z^{5}\)は点\(0\)において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow 0}z^{5} &=&0^{5}\quad \because \text{複素多項式関数の極限} \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{z\rightarrow 0}z^{5}=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（複素関数\(z^{5}\)は点\(0\)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) &=&\lim_{z\rightarrow \infty
}\left( \frac{1}{2z}\right) ^{5}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および複素合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{C} \backslash \left\{ i\right\} \)に関する極限\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right)
\end{equation*}を特定してください。
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