複素定数関数の極限
複素定数関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して定める値が、ある定数\(c\in \mathbb{C} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( z\right) =c
\end{equation*}と表されるということです。
点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)は複素数へ収束するとともに、極限は、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =c
\end{equation*}となります。
命題（複素定数関数の極限）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)がそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{C} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( z\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =c
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =c
\end{equation*}が成り立つ。
例（複素定数関数の極限）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =i
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素定数関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =i
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( z\right) &=&i \\
\lim_{x\rightarrow i}f\left( z\right) &=&i \\
\lim_{x\rightarrow 1+i}f\left( z\right) &=&i
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素定数関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =i
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( z\right) &=&i \\
\lim_{x\rightarrow i}f\left( z\right) &=&i \\
\lim_{x\rightarrow 1+i}f\left( z\right) &=&i
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例（複素定数関数の極限）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =1+i
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素定数関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =1+i
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( z\right) &=&1+i \\
\lim_{x\rightarrow i}f\left( z\right) &=&1+i \\
\lim_{x\rightarrow 1+i}f\left( z\right) &=&1+i
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素定数関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =1+i
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( z\right) &=&1+i \\
\lim_{x\rightarrow i}f\left( z\right) &=&1+i \\
\lim_{x\rightarrow 1+i}f\left( z\right) &=&1+i
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例（複素定数関数の極限）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素定数関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =1
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( z\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow i}f\left( z\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 1+i}f\left( z\right) &=&1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素定数関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =1
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( z\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow i}f\left( z\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 1+i}f\left( z\right) &=&1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
複素定数関数の無限大における極限
複素定数関数の無限大における極限は以下の通りです。
命題（複素定数関数の無限大における極限）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)がそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{C} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( z\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。このとき、\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) =c
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。このとき、\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) =c
\end{equation*}が成り立つ。
演習問題
問題（イプシロン・デルタ論法を用いた複素定数関数の極限の証明）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)がそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{C} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( z\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。本文中で示したように、点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =c
\end{equation*}が成り立ちます。本文中では複素数列を用いて以上の主張が成り立つことを示しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
\end{equation*}と表されるものとします。本文中で示したように、点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =c
\end{equation*}が成り立ちます。本文中では複素数列を用いて以上の主張が成り立つことを示しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
問題（イプシロン・デルタ論法を用いた複素定数関数の無限大における極限の証明）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)がそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{C} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( z\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。本文中で示したように、\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) =c
\end{equation*}が成り立ちます。本文中では複素関数\(f\left( \frac{1}{z}\right) \)を用いて以上の主張が成り立つことを示しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
\end{equation*}と表されるものとします。本文中で示したように、\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) =c
\end{equation*}が成り立ちます。本文中では複素関数\(f\left( \frac{1}{z}\right) \)を用いて以上の主張が成り立つことを示しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
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