複素余弦関数（複素cos関数）の極限

複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\cos \left( z\right)
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\(z\rightarrow a\)の場合に\(f\)は複素数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =\cos \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。

以下の複素関数\begin{equation*}
\cos \left( z\right) :\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}は複素余弦関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}\cos \left( z\right) =\cos \left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{z\rightarrow i}\cos \left( z\right) &=&\cos \left( i\right) \\
\lim_{z\rightarrow 1}\cos \left( z\right) &=&\cos \left( 1\right) \\
\lim_{z\rightarrow 1+i}\cos \left( z\right) &=&\cos \left( 1+i\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\cos \left( z^{2}+z+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素多項式関数\(z^{2}+z+1\)と複素余弦関数\(\cos \left( z\right) \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、複素多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{z\rightarrow a}\left( z^{2}+z+1\right) =a^{2}+a+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}であるとともに、点\(a^{2}+a+1\in \mathbb{C} \)において、複素余弦関数の極限より、\begin{equation}\lim_{z\rightarrow a^{2}+a+1}\cos \left( z\right) =\cos \left(
a^{2}+a+1\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}となるため（\(\cos \left( z\right) \)は点\(a^{2}+a+1\)において連続）、もとの複素関数\(f\)に関して、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) &=&\lim_{z\rightarrow a}\cos \left(
z^{2}+z+1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\cos \left( a^{2}+a+1\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left(
2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{z\rightarrow i}f\left( z\right) &=&\cos \left( i^{2}+i+1\right) =\cos
\left( i\right) \\
\lim_{z\rightarrow 1}f\left( z\right) &=&\cos \left( 1^{2}+1+1\right) =\cos
\left( 3\right) \\
\lim_{z\rightarrow 1+i}f\left( z\right) &=&\cos \left( \left( 1+i\right)
^{2}+\left( 1+i\right) +1\right) =\cos \left( 2+3i\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\cos \left( z\right)
\end{equation*}を定めるものとする。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall b\in \mathbb{C} :\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) \not=b \\
&&\left( b\right) \ \lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) \not=\infty
\end{eqnarray*}が成り立つ。

以下の極限\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow 1+i}\cos \left( z-i\right)
\end{equation*}を評価してください。

以下の極限\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow i}\cos \left( \frac{1}{z-1}\right)
\end{equation*}を評価してください。

複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\cos \left( z\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\(z\rightarrow a\)の場合に\(f\)は複素数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =\cos \left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。本文中では、以上の命題を複素指数関数の極限などを用いて証明しましたが、\(f\)の実部と虚部が実数へ収束することを示す形で同じ命題を証明してください。