複素関数の極限と複素数列の極限の関係
複素平面\(\mathbb{C} \)もしくはその部分集合\(Z\)を定義域とし、複素数を値としてとる複素関数\begin{equation*}f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、複素関数\(f\)の定義域\(Z\)の集積点\(a\in \mathbb{Z} \)を任意に選びます。集積点の定義より、\begin{equation*}\forall \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( A\backslash \left\{
a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(N_{\delta }\left( a\right) \)は中心が\(a\)であり半径が\(\delta \)であるような近傍であり、\begin{equation*}N_{\delta }\left( a\right) =\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert <\delta \right\}
\end{equation*}です。この場合、\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(A\)の点が必ず存在します。
このような複素関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に複素数へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{C} :\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall z\in Z:\left(
0<\left\vert z-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( z\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただ、以上の定義にもとづいて複素関数が複素数へ収束することを証明するのは面倒です。複素関数の極限は複素数列を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方が複素関数が収束することを容易に示すことができる場合もあります。順番に解説します。
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)と定義域\(Z\)の集積点\(a\in \mathbb{C} \)および複素数\(b\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =b
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :z_{n}\in Z \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :z_{n}\not=a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\(a\)以外の\(Z\)の点を項とするとともに、点\(a\)へ収束する複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。点\(a\)は集合\(Z\)の集積点であるため、このような複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)は必ず存在することに注意してください。
さて、この複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の任意の項\(z_{n}\)は複素関数\(f\)の定義域\(Z\)の要素であるため、それに対して複素関数\(f\)は像\(f\left( z_{n}\right) \)を定めます。\(f\left( z_{n}\right) \)は複素数列であるため、これを項とする新たな複素数列\begin{equation*}\left\{ f\left( z_{n}\right) \right\}
\end{equation*}を構成できます。このとき、この複素数列\(\left\{ f\left( z_{n}\right) \right\} \)が\(b\)へ収束することが保証されます。
\end{equation*}が成り立つものとする。\(a\)とは異なる\(Z\)上の点を項とするとともに\(a\)へ収束する複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから新たな複素数列\(\left\{f\left( z_{n}\right) \right\} \)をつくる。このような定義された任意の複素数列\(\left\{f\left( z_{n}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。
上の命題の逆もまた成立します。つまり、複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)と定義域\(Z\)の集積点\(a\in \mathbb{C} \)および複素数\(b\in \mathbb{C} \)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :z_{n}\in Z \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :z_{n}\not=a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、さらにそこから複素数列\(\left\{f\left( z_{n}\right) \right\} \)を構成します。このようにして得られた任意の複素数列\(\left\{ f\left( z_{n}\right) \right\} \)が\(b\)へ収束する場合には、複素関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =b
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。
\end{equation*}が成り立つならば、複素関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。
以上の2つの命題により、複素関数の収束概念は複素数列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。
\end{equation*}が成り立つことは、複素関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =b
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件である。
この命題が要求していることは、\(a\)とは異なる\(Z\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する「任意の」複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)に対して、そこから構成される複素数列\(\{f\left( z_{n}\right) \}\)が\(b\)へ収束しなければならないということです。したがって、このような性質を満たす複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、複素関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに\(b\)へ収束することを示したことにはなりません。
以上の命題より、関数の収束に関する議論を数列の収束に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow i}f\left( z\right) =-2
\end{equation*}が成り立つことを複素数列を用いて示します。そこで、\(i\)とは異なる複素数を項とするとともに\(i\)へ収束する複素数列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :z_{n}\not=i \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=i
\end{eqnarray*}をともに満たす複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。このとき、複素数列\(\left\{ f\left( z_{n}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( z_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
+\infty }2z_{n}i\quad \because f\text{の定義} \\
&=&2i\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&2i^{2}\quad \because \left( b\right) \\
&=&-2
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow i}f\left( z\right) =-2
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。
複素関数が収束しないことの証明
先の命題は、複素関数が複素数へ収束しないことを示す際にも有用です。複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)と定義域\(Z\)の集積点\(a\in \mathbb{C} \)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(Z\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する何らかの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)を具体的に選んだ上で、それに対して複素数列\(\left\{f\left( z_{n}\right) \right\} \)が複素数へ収束しないことを示せば、\(f\)は\(z\rightarrow a\)の場合に複素数へ収束しないことを示したことになります。なぜなら、先の命題より、そのような複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が存在することは、\(f\)が\(z\rightarrow a\)の場合に複素数へ収束することと矛盾するからです。
\end{equation*}を値として定めるものとします。\(x+yi\rightarrow 0\)の場合に\(f\)が複素数へ収束しないことを示します。具体的には、一般項が、\begin{equation*}z_{n}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n}i
\end{equation*}として与えられる複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)に注目します。この複素数列は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :z_{n}\not=0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=0
\end{eqnarray*}をともに満たします。その一方で、複素数列\(\left\{ f\left( z_{n}\right) \right\} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( z_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
+\infty }f\left( \frac{1}{n}+\frac{1}{n}i\right) \quad \because \left\{
z_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{\frac{1}{n}}+\frac{1}{\frac{1}{n}}i\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( n+ni\right)
\end{eqnarray*}となりますが、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( n+ni\right)
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }n \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため\(\left\{ f\left( z_{n}\right)\right\} \)は複素数へ収束しません。したがって先の命題より、\(x+yi\rightarrow 0\)の場合に\(f\)が複素数へ収束しないことが明らかになりました。
複素関数\(f:\mathbb{R} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{C} \)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(Z\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する何らかの2つの複素数列\(\{z_{n}\},\left\{ w_{n}\right\} \)を具体的に選んだ上で、それに対して複素数列\(\left\{ f\left( z_{n}\right) \right\} ,\left\{ f\left(w_{n}\right) \right\} \)が異なる極限へ収束することを示せば、\(f\)は\(z\rightarrow a\)のときに複素数へ収束しないことを示したことになります。なぜなら、先の命題より、そのような複素数列\(\left\{ f\left( z_{n}\right) \right\} ,\left\{ f\left( w_{n}\right) \right\} \)が存在することは、\(f\)が\(z\rightarrow a\)の場合に複素数へ収束することと矛盾するからです。
\end{equation*}を定めるものとします。\(z\rightarrow 0\)の場合に\(f\)は複素数へ収束しないことを証明します。具体的には、一般項がそれぞれ、\begin{eqnarray*}z_{n} &=&\frac{1}{n}+0i \\
w_{n} &=&0+\frac{1}{n}i
\end{eqnarray*}で与えられる2つの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{ w_{n}\right\} \)に注目します。複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :z_{n}\not=0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }z_{n}=0
\end{eqnarray*}が成り立つとともに、複素数列\(\left\{ f\left( z_{n}\right)\right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( z_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
+\infty }f\left( \frac{1}{n}+0i\right) \quad \because \left\{ z_{n}\right\}
\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{\frac{1}{n}+0i}{\frac{1}{n}-0i}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ちます。複素数列\(\left\{ w_{n}\right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :w_{n}\not=0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }w_{n}=0
\end{eqnarray*}が成り立つとともに、複素数列\(\left\{ f\left( w_{n}\right)\right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( w_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
+\infty }f\left( 0+\frac{1}{n}i\right) \quad \because \left\{ z_{n}\right\}
\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{0+\frac{1}{n}i}{0-\frac{1}{n}i}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( -1\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(\left\{f\left( z_{n}\right) \right\} \)と\(\left\{ f\left( w_{n}\right)\right\} \)は異なる極限へ収束することが示されたため、先の命題より、\(z\rightarrow 0\)の場合に\(f\)は複素数へ収束しないことが示されました。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。点列を用いて以下の極限\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow 0}f\left( z\right)
\end{equation*}を評価してください。
\end{equation*}を定めるものとします。点列を用いて以下の極限\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow 0}f\left( z\right)
\end{equation*}を評価してください。
\end{equation*}を定めるものとします。点列を用いて以下の極限\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow 0}f\left( z\right)
\end{equation*}を評価してください。
\end{equation*}を定めるものとします。点列を用いて以下の極限\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow 0}f\left( z\right)
\end{equation*}を評価してください。
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