実部と虚部を用いた複素関数の収束判定

複素関数の極限と複素関数の実部と虚部の極限の関係

複素平面\(\mathbb{C} \)もしくはその部分集合\(Z\)を定義域とし、複素数を値としてとる複素関数\begin{equation*}f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、複素関数\(f\)の定義域\(Z\)の集積点\(a\in \mathbb{Z} \)を任意に選びます。集積点の定義より、\begin{equation*}\forall \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( A\backslash \left\{
a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(N_{\delta }\left( a\right) \)は中心が\(a\)であり半径が\(\delta \)であるような近傍であり、\begin{equation*}N_{\delta }\left( a\right) =\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert <\delta \right\}
\end{equation*}です。この場合、\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(A\)の点が必ず存在します。

このような複素関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に複素数へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{C} :\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall z\in Z:\left(
0<\left\vert z-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( z\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただ、以上の定義にもとづいて複素関数が複素数へ収束することを証明するのは面倒です。複素関数の極限は複素関数の実部と虚部の極限を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方が複素関数が収束することを容易に示すことができる場合もあります。順番に解説します。

複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)およびその実部\(u:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \)と虚部\(v:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \)の間には以下の関係\begin{equation}\forall z\in Z:f\left( z\right) =u\left( z\right) +iv\left( z\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。複素数\(z\in Z\)を任意に選んだとき、これは何らかの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation}z=x+yi \quad \cdots (2)
\end{equation}と表すことができるため、以下の関係\begin{eqnarray*}
f\left( z\right) &=&f\left( x+yi\right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&u\left( x+yi\right) +iv\left( x+yi\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。このような事情を踏まえると、複素関数\(f\)の実部\(u\)と虚部\(v\)を、実数を値としてとり得る2つの変数\(x,y\)に関する2変数の実数値関数\begin{eqnarray*}u\left( x,y\right) &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \\
v\left( x,y\right) &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}とみなすことができます。このような解釈のもとでは、複素数\(z=x+y\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}f\left( z\right) =u\left( x,y\right) +iv\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)と定義域\(Z\)の集積点\(a=b+ci\in \mathbb{C} \)が与えられたとき、\(f\)の実部\(u\left( x,y\right) \)と虚部\(v\left( x,y\right) \)が\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( b,c\right) \)の場合に有限な実数へ収束する場合、もとの複素関数\(f\)もまた\(z\rightarrow a\)の場合に複素数へ収束することが保証されるとともに、それらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow
\left( b,c\right) }u\left( x,y\right) +i\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow
\left( b,c\right) }v\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

上の命題の逆もまた成立します。つまり、複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)と定義域\(Z\)の集積点\(a=b+ci\in \mathbb{C} \)が与えられたとき、\(f\)が\(z\rightarrow a\)の場合に複素数へ収束するならば、\(f\)の実部\(u\left( x,y\right) \)と虚部\(v\left( x,y\right) \)が\(\left( x,y\right) \rightarrow \left(b,c\right) \)の場合に有限な実数へ収束することが保証されるとともに、それらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow
\left( b,c\right) }u\left( x,y\right) +i\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow
\left( b,c\right) }v\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

以上の2つの命題より、複素関数の収束概念は2変数の実数値関数である複素関数の実部と虚部の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

以上の命題より、複素関数の収束に関する議論を、2変数の実数値関数の収束に関する議論に置き換えて考えることができます。つまり、複素関数の収束可能性を判定する際に、イプシロン・エヌ論法を利用する必要はなく、2変数の実数値関数の極限に関する知識を動員できます。

複素関数が収束しないことの証明

先の命題は複素関数が複素数へ収束しないことを示す上でも有用です。つまり、複素関数の実部もしくは虚部の少なくとも一方が実数へ収束しない場合、もとの複素関数は複素数へ収束しません。

演習問題