極形式や指数表現を用いた複素関数の収束判定
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)および定義域\(Z\)の集積点\(a\in \mathbb{C} \)が与えられたとき、\(z\rightarrow a\)の場合に\(f\)が複素数へ収束することとは、すなわち、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{C} :\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、複素関数\(f\)の変数\(z\)を点\(a\)とは異なる\(Z\)上の点をとりながら\(a\)へ限りなく近づける場合、\(z\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、その際に\(f\left(z\right) \)の値が必ず特定の複素数\(b\)へ限りなく近づくことを意味します。イプシロン・デルタ論法を用いてこれを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall z\in Z:\left(
0<\left\vert z-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( z\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。ただ、以上の定義にもとづいて複素関数が収束することを証明するのは面倒です。複素関数\(f\)の変数\(z\)を極形式ないし指数表現へ変換することにより比較的容易に複素関数の収束可能性を判定できる場合があります。順番に解説します。
複素関数\(f\)の変数\(z\)を極形式ないし指数表現で表示します。つまり、\(r>0\)かつ\(-\pi <\theta \leq \pi \)を満たす\(\left( r,\theta \right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を用いて、\begin{eqnarray*}z &=&a+r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right) \right] \quad \because r\text{の極形式} \\
&=&a+re^{i\theta }\quad \because r\text{の指数表現}
\end{eqnarray*}と表現するということです。それにあわせて複素関数\(f\)の値は、\begin{eqnarray*}f\left( z\right) &=&f\left( a+r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin
\left( \theta \right) \right] \right) \\
&=&f\left( a+re^{i\theta }\right)
\end{eqnarray*}と変換されます。このとき、\(\theta \)の値とは関係なく、\begin{equation*}r\rightarrow 0+\Rightarrow z\rightarrow a
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(z\rightarrow a\)の場合の\(f\left( z\right) \)の挙動を調べるかわりに、\(r\rightarrow 0+\)の場合の\(f\left( a+r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin\left( \theta \right) \right] \right) \)または\(f\left(a+re^{i\theta }\right) \)の挙動を調べます。\(r\)を\(0\)に近づけるなかで\(\theta \)を自由に動かすことにより、\(z\)が\(a\)へ限りなく近づく際のあらゆる経路を表現できるからです。以上を踏まえると、\(z\rightarrow a\)の場合に\(f\left( z\right) \)が複素数へ収束することと、\(\theta \)が\(\left( -\pi ,\pi \right] \)上を変動することを許容した状況下において\(r\rightarrow 0+\)の場合に\(f\left( a+r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right) \right]\right) \)または\(f\left( a+re^{i\theta }\right) \)が複素数へ収束することは必要十分であることが明らかになりました。
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow 0}f\left( z\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを証明します。変数を極形式で表現すると、\begin{eqnarray*}
f\left( 0+r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right) \right] \right) &=&\left\{ r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin \left(
\theta \right) \right] \right\} ^{2}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&r^{2}\left[ \cos \left( 2\theta \right) +i\sin \left( 2\theta \right) \right] \quad \because \text{ド・モアブルの定理}
\end{eqnarray*}となります。加えて、任意の\(\theta \in \left( -\pi ,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}-1-i\leq \cos \left( 2\theta \right) +i\sin \left( 2\theta \right) \leq 1+i
\end{equation*}であることを踏まえると、\begin{equation*}
r^{2}\left( -1-i\right) \leq r^{2}\left[ \cos \left( 2\theta \right) +i\sin
\left( 2\theta \right) \right] \leq r^{2}\left( 1+i\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
r^{2}\left( -1-i\right) \leq f\left( 0+r\left[ \cos \left( \theta \right)
+i\sin \left( \theta \right) \right] \right) \leq r^{2}\left( 1+i\right)
\end{equation*}を得ます。さらに、\begin{equation*}
\lim_{r\rightarrow 0+}r^{2}\left( -1-i\right) =\lim_{r\rightarrow
0+}r^{2}\left( 1+i\right) =0
\end{equation*}が成り立つため、はさみうちの定理より、\begin{equation*}
\lim_{r\rightarrow 0+}r^{2}\left[ \cos \left( 2\theta \right) +i\sin \left(
2\theta \right) \right] =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{r\rightarrow 0+}f\left( 0+r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin
\left( \theta \right) \right] \right) =0
\end{equation*}となります。任意の\(\theta \in \left( -\pi ,\pi \right] \)について同様の議論が成り立つため、\(\theta \)が\(\left( -\pi ,\pi \right] \)上を変動することを許容した状況下において\(r\rightarrow 0+\)の場合に\(f\left( 0+r\left[\cos \left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right) \right] \right) \)は\(0\)へ限りなく近づくことが明らかになりました。したがって、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow 0}f\left( z\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。
複素関数\(f\)と複素数\(b\)について、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =b
\end{equation*}が成り立つことを極形式や指数表現を用いて示すためには、\(\theta \)が\(\left( -\pi ,\pi \right] \)上を変動することを許容した状況下において\(r\rightarrow 0+\)の場合に\(f\left( a+r\left[ \cos \left( \theta\right) +i\sin \left( \theta \right) \right] \right) \)または\(f\left( a+re^{i\theta }\right) \)が複素数\(b\)へ収束することを示す必要がありますが、上の例のように、はさみうちの定理を利用できる場合には問題は生じません。
一方、\(\theta \in \left( -\pi ,\pi \right] \)を任意に選んだ上で、それに対して、\begin{equation*}\lim_{r\rightarrow 0+}f\left( a+r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin
\left( \theta \right) \right] \right) =b
\end{equation*}または、\begin{equation*}
\lim_{r\rightarrow 0+}f\left( a+re^{i\theta }\right) =b
\end{equation*}が成り立つことを示しても、複素関数\(f\)が\(z\rightarrow a\)の場合に\(b\)へ収束することを示したことになりません。つまり、\begin{equation}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =b \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことと、\begin{equation}
\forall \theta \in \left( -\pi ,\pi \right] :\lim_{r\rightarrow 0+}f\left(
a+r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right) \right]
\right) =b \quad \cdots (2)
\end{equation}または、\begin{equation}
\forall \theta \in \left( -\pi ,\pi \right] :\lim_{r\rightarrow 0+}f\left(
a+re^{i\theta }\right) =b \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立つことは必要十分ではありません。\(\left( 1\right) \)では、\(z\)があらゆる経路をたどって\(a\)へ限りなく近づく状況を想定しているのに対し、\(\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)では最初に選んだ何らかの偏角\(\theta \)を前提に\(r\)を\(0\)に限りなく近づけているため、\(z\)が\(a\)へ直進するという限定的な経路しか表現できていないからです。したがって、\(\left(1\right) \)と\(\left( 2\right) \)ないし\(\left( 3\right) \)は必要十分ではありません（以下の例を参照）。繰り返しになりますが、\(\left( 1\right) \)が成り立つことを極形式や指数表現を用いて示すためには、\(\theta \)を固定するのではなく、\(\theta \)が\(\left( -\pi ,\pi \right] \)上を変動することを許容した状況下において\(r\rightarrow 0+\)の場合に\(f\left( a+r\left[ \cos\left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right) \right] \right) \)または\(f\left( a+re^{i\theta }\right) \)が複素数\(b\)へ収束することを示す必要があります。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z=x+yi\in \mathbb{C} \ |\ x^{4}+y^{2}\not=0\right\}
\end{equation*}です。\(z\rightarrow 0\)の場合の\(f\)の極限を評価します。変数を極形式で表現すると、\begin{eqnarray*}f\left( 0+r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right) \right] \right) &=&f\left( r\cos \left( \theta \right) +ir\sin \left(
\theta \right) \right) \\
&=&\frac{r^{2}\cos ^{2}\left( \theta \right) r\sin \left( \theta \right) }{r^{4}\cos ^{4}\left( \theta \right) +r^{2}\sin ^{2}\left( \theta \right) }i\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{r\cos ^{2}\left( \theta \right) \sin \left( \theta \right) }{r^{2}\cos ^{4}\left( \theta \right) +\sin ^{2}\left( \theta \right) }i
\end{eqnarray*}となるため、\(\theta \in \left( -\pi ,\pi \right] \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{r\rightarrow 0+}f\left( 0+r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin
\left( \theta \right) \right] \right) &=&\lim_{r\rightarrow 0+}\frac{r\cos
^{2}\left( \theta \right) \sin \left( \theta \right) }{r^{2}\cos ^{4}\left(
\theta \right) +\sin ^{2}\left( \theta \right) }i \\
&=&\frac{0}{0+\sin ^{2}\left( \theta \right) }i \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。以上より、\begin{equation*}
\forall \theta \in \left( -\pi ,\pi \right] :\lim_{r\rightarrow 0+}f\left(
0+r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right) \right] \right) =0
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。ただし、以上の命題は以下の命題\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow 0}f\left( z\right) =0
\end{equation*}と必要十分ではありません。実際、変数\(z=x+yi\)を\(y=x^{2}\)を満たしながら\(z=0+0i\)へ限りなく近づける場合には、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow 0}f\left( z\right) &=&\lim_{\left( x,y\right)
\rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}i \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}x^{2}}{x^{4}+x^{4}}i\quad \because y=x^{2}
\\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{2}i \\
&=&\frac{1}{2}i
\end{eqnarray*}となり、極形式を用いた場合とは異なる結果が導かれます。
複素関数が収束しないことの証明
複素関数の変数を極形式や指数表現へ変換する手法は、複素関数が複素数へ収束しないことを示す際にも有用です。具体的には以下の通りです。
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)および定義域\(Z\)の集積点\(a\in \mathbb{C} \)が与えられた状況を想定します。\(f\)の変数\(z\)を\(r>0\)かつ\(-\pi <\theta \leq \pi \)を満たす\(\left( r,\theta \right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を用いて、\begin{eqnarray*}z &=&a+r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right) \right] \quad \because r\text{の極形式} \\
&=&a+re^{i\theta }\quad \because r\text{の指数表現}
\end{eqnarray*}という形で表現した場合、何らかの複素数\(b\in \mathbb{C} \)について、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =b
\end{equation*}が成り立つことと、\(\theta \)が\(\left( -\pi ,\pi \right] \)上を変動することを許容した状況下において、\begin{equation*}\lim_{r\rightarrow 0+}f\left( a+r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin
\left( \theta \right) \right] \right) =b
\end{equation*}または、\begin{equation*}
\lim_{r\rightarrow 0+}f\left( a+re^{i\theta }\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは必要十分です。したがって、何らかの値\(\theta \)のもとで\(r\rightarrow 0+\)の場合に\(f\left( a+r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin \left( \theta\right) \right] \right) \)または\(f\left( a+re^{i\theta}\right) \)が複素数へ収束しないことを示せば、\(f\)は\(z\rightarrow a\)の場合に複素数へ収束しないことを示したことになります。なぜなら、そのような値\(\theta \)が存在することは、\(f\)が\(z\rightarrow a\)の場合に複素数へ収束することと矛盾するからです。
\end{equation*}を定めるものとします。\(z\rightarrow 0\)の場合に\(f\)は複素数へ収束しないことを示します。変数を極形式で表現すると、\begin{eqnarray*}f\left( 0+r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right) \right] \right) &=&\frac{r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin \left(
\theta \right) \right] }{\left\vert r\left[ \cos \left( \theta \right)
+i\sin \left( \theta \right) \right] \right\vert }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right) \right] }{r} \\
&=&\cos \left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right) \quad \because
\text{ド・モアブルの定理}
\end{eqnarray*}となります。\(\theta =0\)の場合には、\begin{eqnarray*}\lim_{r\rightarrow 0+}f\left( 0+r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin
\left( \theta \right) \right] \right) &=&\lim_{r\rightarrow 0+}\left[ \cos
\left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right) \right] \\
&=&\lim_{r\rightarrow 0+}\left[ \cos \left( 0\right) +i\sin \left( 0\right) \right] \quad \because \theta =0 \\
&=&\lim_{r\rightarrow 0+}\left( 1+i0\right) \\
&=&\lim_{r\rightarrow 0+}1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となる一方で、\(\theta =\frac{\pi }{2}\)の場合には、\begin{eqnarray*}\lim_{r\rightarrow 0+}f\left( 0+r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin
\left( \theta \right) \right] \right) &=&\lim_{r\rightarrow 0+}\left[ \cos
\left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right) \right] \\
&=&\lim_{r\rightarrow 0+}\left[ \cos \left( \frac{\pi }{2}\right) +i\sin
\left( \frac{\pi }{2}\right) \right] \quad \because \theta =\frac{\pi }{2} \\
&=&\lim_{r\rightarrow 0+}\left( 0+i\right) \\
&=&\lim_{r\rightarrow 0+}i \\
&=&i
\end{eqnarray*}となります。\(\theta \)の値に応じて極限の値が変化することは、\(r\rightarrow 0+\)の場合に\(f\left( 0+r\left[ \cos\left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right) \right] \right) \)は複素数へ収束しないことを意味します。したがって、\(z\rightarrow 0\)の場合に\(f\)は複素数へ収束しないことが明らかになりました。
演習問題
\lim_{z\rightarrow 1-i}\frac{\left\vert z\right\vert ^{2}-z-\overline{z}}{z-\overline{z}+2i}
\end{equation*}を極形式または指数表現を用いて評価してください。
\lim_{z\rightarrow 0}\frac{1}{\mathrm{Re}\left( z\right) \mathrm{Im}\left(
z\right) }
\end{equation*}を極形式または指数表現を用いて評価してください。
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