複素恒等関数の極限
複素恒等関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =z
\end{equation*}を定めるということです。
点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\(z\rightarrow a\)の場合に\(f\)は複素数へ収束するとともに、極限は、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =a
\end{equation*}となります。
命題（複素恒等関数の極限）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =z
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =a
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =a
\end{equation*}が成り立つ。
例（複素恒等関数の極限）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =z
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( z\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow i}f\left( z\right) &=&i \\
\lim_{x\rightarrow 1+i}f\left( z\right) &=&1+i
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( z\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow i}f\left( z\right) &=&i \\
\lim_{x\rightarrow 1+i}f\left( z\right) &=&1+i
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
複素恒等関数の無限大における極限
複素恒等関数の無限大における極限は以下の通りです。
命題（複素恒等関数の無限大における極限）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =z
\end{equation*}を定めるものとする。このとき、\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) =\infty
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとする。このとき、\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) =\infty
\end{equation*}が成り立つ。
演習問題
問題（イプシロン・デルタ論法を用いた複素恒等関数の極限の証明）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =z
\end{equation*}を定めるものとします。本文中で示したように、点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =a
\end{equation*}が成り立ちます。本文中では複素数列を用いて以上の主張が成り立つことを示しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
\end{equation*}を定めるものとします。本文中で示したように、点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =a
\end{equation*}が成り立ちます。本文中では複素数列を用いて以上の主張が成り立つことを示しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
問題（イプシロン・デルタ論法を用いた複素恒等関数の無限大における極限の証明）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =z
\end{equation*}を定めるものとします。本文中で示したように、\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) =\infty
\end{equation*}が成り立ちます。本文中では複素関数\(\frac{1}{f\left( \frac{1}{z}\right) }\)を用いて以上の主張が成り立つことを示しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
\end{equation*}を定めるものとします。本文中で示したように、\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) =\infty
\end{equation*}が成り立ちます。本文中では複素関数\(\frac{1}{f\left( \frac{1}{z}\right) }\)を用いて以上の主張が成り立つことを示しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
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