複素対数関数の極限

複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\mathrm{Ln}\left( z\right)
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)を任意に選んだとき、\(z\rightarrow a\)の場合に\(f\)は複素数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =\mathrm{Ln}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。また、点\(a\in \mathbb{R} _{-}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\forall b\in \mathbb{C} :\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) \not=b
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\begin{equation*}\mathbb{R} _{-}=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Re}\left( z\right) \leq 0\wedge \mathrm{Im}\left( z\right)
=0\right\}
\end{equation*}であり、\begin{eqnarray*}\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-} &=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Re}\left( z\right) >0\vee \mathrm{Im}\left( z\right) \not=0\right\}
\\
&=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z\right\vert >0\wedge -\pi <\mathrm{Arg}\left( z\right) <\pi
\right\}
\end{eqnarray*}である。

以下の複素関数\begin{equation*}
\mathrm{Ln}\left( z\right) :\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}は複素対数関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}\mathrm{Ln}\left( z\right) =\mathrm{Ln}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{z\rightarrow 1}\mathrm{Ln}\left( z\right) &=&\mathrm{Ln}\left( 1\right)
\\
&=&\ln \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、\begin{eqnarray*}
\lim_{z\rightarrow 1+i}\mathrm{Ln}\left( z\right) &=&\mathrm{Ln}\left(
1+i\right) \\
&=&\ln \left( \left\vert 1+i\right\vert \right) +i\mathrm{Arg}\left(
1+i\right) \\
&=&\ln \left( \sqrt{2}\right) +\frac{\pi }{4}i \\
&\approx &0.3466+0.7854i
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ i\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ i\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\mathrm{Ln}\left( z-i\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素多項式関数\(z-i\)と複素対数関数\(\mathrm{Ln}\left( z\right) \)合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{C} \backslash \left\{ i\right\} \)を任意に選んだとき、複素多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{z\rightarrow a}\left( z-i\right) =a-i \quad \cdots (1)
\end{equation}であるとともに、点\(a-i\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)において、複素対数関数の極限より、\begin{equation}\lim_{z\rightarrow a-i}\mathrm{Ln}\left( z\right) =\mathrm{Ln}\left( a-i\right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}となるため（\(\mathrm{Ln}\left( z\right) \)は点\(a-i\)において連続）、もとの複素関数\(f\)に関して、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) &=&\mathrm{Ln}\left( z-i\right) \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\mathrm{Ln}\left( a-i\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left(
2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{z\rightarrow -i}f\left( z\right) &=&\mathrm{Ln}\left( -i-i\right) \\
&=&\mathrm{Ln}\left( -2i\right) \\
&=&\ln \left( \left\vert -2i\right\vert \right) +i\mathrm{Arg}\left(
-2i\right) \\
&=&\ln \left( 2\right) -\frac{\pi }{2}i \\
&\approx &0.6932-1.5708i
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、\begin{eqnarray*}
\lim_{z\rightarrow 1+i}f\left( z\right) &=&\mathrm{Ln}\left( 1+i-i\right) \\
&=&\mathrm{Ln}\left( 1\right) \\
&=&\ln \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\mathrm{Ln}\left( z\right)
\end{equation*}を定めるものとする。このとき、\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) =\infty
\end{equation*}が成り立つ。

以下の極限\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow 1+i}\mathrm{Ln}\left( z-i\right)
\end{equation*}を評価してください。

以下の極限\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow i}\mathrm{Ln}\left( \frac{1}{z-1}\right)
\end{equation*}を評価してください。