複素多項式関数の極限
複素多項式関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と複素数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( z\right) =c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\cdots +c_{n}z^{n}
\end{equation*}と表されるということです。
点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\(z\rightarrow a\)の場合に\(f\)は複素数へ収束するとともに、その極限は、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =c_{0}+c_{1}a+c_{2}a^{2}+\cdots
+c_{n}a^{n}
\end{equation*}となります。
命題（複素多項式関数の極限）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)がそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と複素数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( z\right) =c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\cdots +c_{n}z^{n}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =c_{0}+c_{1}a+c_{2}a^{2}+\cdots
+c_{n}a^{n}
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =c_{0}+c_{1}a+c_{2}a^{2}+\cdots
+c_{n}a^{n}
\end{equation*}が成り立つ。
例（複素多項式関数の極限）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\left( 3+i\right) z^{4}-z^{2}+2z
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素多項式関数であるため、\(z\rightarrow i\)の場合の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow i}f\left( z\right) &=&\lim_{z\rightarrow i}\left[ \left(
3+i\right) z^{4}-z^{2}+2z\right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( 3+i\right) i^{4}-i^{2}+2i\quad \because \text{複素多項式関数の極限} \\
&=&3+i+1+2i \\
&=&4+3i
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素多項式関数であるため、\(z\rightarrow i\)の場合の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow i}f\left( z\right) &=&\lim_{z\rightarrow i}\left[ \left(
3+i\right) z^{4}-z^{2}+2z\right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( 3+i\right) i^{4}-i^{2}+2i\quad \because \text{複素多項式関数の極限} \\
&=&3+i+1+2i \\
&=&4+3i
\end{eqnarray*}となります。
例（複素多項式関数の極限）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =z^{2}-2z+4
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素多項式関数であるため、\(z\rightarrow 1+\sqrt{3}i\)の場合の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow 1+\sqrt{3}i}f\left( z\right) &=&\lim_{z\rightarrow 1+\sqrt{3}i}\left( z^{2}-2z+4\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( 1+\sqrt{3}i\right) ^{2}-2\left( 1+\sqrt{3}i\right) +4\quad
\because \text{複素多項式関数の極限} \\
&=&1+2\sqrt{3}i+3i^{2}-2-2\sqrt{3}+4 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素多項式関数であるため、\(z\rightarrow 1+\sqrt{3}i\)の場合の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow 1+\sqrt{3}i}f\left( z\right) &=&\lim_{z\rightarrow 1+\sqrt{3}i}\left( z^{2}-2z+4\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( 1+\sqrt{3}i\right) ^{2}-2\left( 1+\sqrt{3}i\right) +4\quad
\because \text{複素多項式関数の極限} \\
&=&1+2\sqrt{3}i+3i^{2}-2-2\sqrt{3}+4 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
複素多項式関数の無限大における極限
複素多項式関数は無限大において無限大へ発散します。
命題（複素多項式関数の無限大における極限）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)がそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と複素数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( z\right) =c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\cdots +c_{n}z^{n}
\end{equation*}と表されるものとする。\(c_{n}\not=0\)の場合には、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) =\infty
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。\(c_{n}\not=0\)の場合には、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) =\infty
\end{equation*}が成り立つ。
演習問題
問題（複素多項式関数の極限）
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow 2-i}\left( z^{2}-z\right)
\end{equation*}を評価してください。
\lim_{z\rightarrow 2-i}\left( z^{2}-z\right)
\end{equation*}を評価してください。
問題（複素多項式関数の極限）
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow i}\left( z^{5}-z^{2}+z\right)
\end{equation*}を評価してください。
\lim_{z\rightarrow i}\left( z^{5}-z^{2}+z\right)
\end{equation*}を評価してください。
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