複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)がそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して定める値が、複素数\(p\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( z\right) =z^{p}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)を任意に選んだとき、\(z\rightarrow a\)の場合に\(f\)は複素数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =a^{p}
\end{equation*}が成り立つ。また、点\(a\in \mathbb{R} _{-}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\forall b\in \mathbb{C} :\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) \not=b
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\begin{equation*}\mathbb{R} _{-}=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Re}\left( z\right) \leq 0\wedge \mathrm{Im}\left( z\right)
=0\right\}
\end{equation*}であり、\begin{eqnarray*}\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-} &=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Re}\left( z\right) >0\vee \mathrm{Im}\left( z\right) \not=0\right\}
\\
&=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z\right\vert >0\wedge -\pi <\mathrm{Arg}\left( z\right) <\pi
\right\}
\end{eqnarray*}である。

以下の複素関数\begin{equation*}
z^{\frac{i}{\pi }}:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}は複素ベキ関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}z^{\frac{i}{\pi }}=a^{\frac{i}{\pi }}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{z\rightarrow 1}z^{\frac{i}{\pi }} &=&1^{\frac{i}{\pi }} \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、\begin{eqnarray*}
\lim_{z\rightarrow i}z^{\frac{i}{\pi }} &=&i^{\frac{i}{\pi }} \\
&=&e^{\frac{i}{\pi }\mathrm{Ln}\left( i\right) } \\
&=&e^{\frac{i}{\pi }\left[ \ln \left( \left\vert i\right\vert \right) +i\mathrm{Arg}\left( i\right) \right] } \\
&=&e^{\frac{i}{\pi }\left[ \ln \left( 1\right) +i\frac{\pi }{2}\right] } \\
&=&e^{\frac{i}{\pi }i\frac{\pi }{2}} \\
&=&e^{-\frac{1}{2}} \\
&\approx &0.6065
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

以下の複素関数\begin{equation*}
z^{1-i}:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}は複素ベキ関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}z^{1-i}=a^{1-i}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{z\rightarrow 1}z^{1-i} &=&1^{1-i} \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、\begin{eqnarray*}
\lim_{z\rightarrow i}z^{1-i} &=&i^{1-i} \\
&=&e^{\left( 1-i\right) \mathrm{Ln}\left( i\right) } \\
&=&e^{\left( 1-i\right) \left[ \ln \left( \left\vert i\right\vert \right) +i\mathrm{Arg}\left( i\right) \right] } \\
&=&e^{\left( 1-i\right) \left[ \ln \left( 1\right) +i\frac{\pi }{2}\right] }
\\
&=&e^{\left( 1-i\right) i\frac{\pi }{2}} \\
&=&e^{\frac{\pi \left( i+1\right) }{2}} \\
&\approx &4.8105i
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ i\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ i\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\left( i-z\right) ^{i}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素多項式関数\(i-z\)と複素ベキ関数\(z^{i}\)の合成関数であることに注意してください。以下の集合\begin{equation*}Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Re}\left( i-z\right) >0\vee \mathrm{Im}\left( i-z\right)
\not=0\right\}
\end{equation*}上の点\(a\in Z\)を任意に選んだとき、複素多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{z\rightarrow a}\left( i-z\right) =i-a \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(a\in Z\)ゆえに\(i-a\in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)であるため、複素ベキ関数の極限より、\begin{equation}\lim_{z\rightarrow i-a}z^{i}=\left( i-a\right) ^{i} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（\(z^{i}\)は点\(i-a\)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) &=&\lim_{z\rightarrow a}\left(
i-z\right) ^{i}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( i-a\right) ^{i}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\text{および複素合成関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{z\rightarrow 1+i}f\left( z\right) &=&\left[ i-\left( 1+i\right) \right] ^{i} \\
&=&\left( -1\right) ^{i} \\
&=&e^{i\mathrm{Ln}\left( -1\right) } \\
&=&e^{i\left[ \mathrm{Ln}\left( \left\vert -1\right\vert \right) +i\mathrm{Arg}\left( -1\right) \right] } \\
&=&e^{i\left[ \mathrm{Ln}\left( 1\right) +i\pi \right] } \\
&=&e^{-\pi } \\
&\approx &0.0432
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

以下の極限\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow 3}z^{\frac{2}{\pi }i}
\end{equation*}を評価してください。

以下の極限\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow i}z^{\frac{i}{\pi }}
\end{equation*}を評価してください。