複素有理関数の極限
複素有理関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(z\in Z\)に対して定める値が、2つの複素多項式関数\begin{eqnarray*}g &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \\
h &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}を用いて、\begin{equation*}
f\left( z\right) =\frac{g\left( z\right) }{h\left( z\right) }
\end{equation*}と表されるということです。複素数をゼロで割ることはできないため、複素関数\(h\)は非ゼロの複素数を値としてとることに注意してください。
複素有理関数\(f\)の定義域\(Z\)の集積点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}h\left( z\right) \not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(z\rightarrow a\)の場合に\(f\)は複素数へ収束するとともに、極限に関して、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =\frac{\lim\limits_{z\rightarrow
a}g\left( z\right) }{\lim\limits_{z\rightarrow a}h\left( z\right) }
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}と表されるものとする。\(Z\)の集積点\(a\in \mathbb{C} \)を任意について、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}h\left( z\right) \not=0
\end{equation*}が成り立つならば、\(f\)は\(z\rightarrow a\)のときに複素数へ収束するとともに、その極限は、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =\frac{\lim\limits_{z\rightarrow
a}g\left( z\right) }{\lim\limits_{z\rightarrow a}h\left( z\right) }
\end{equation*}を満たす。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素有理関数であるため、\(z\rightarrow i\)の場合の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow i}f\left( z\right) &=&\lim_{z\rightarrow i}\frac{\left(
3+i\right) z^{4}-z^{2}+2z}{z+1}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{z\rightarrow i}\left[ \left( 3+i\right) z^{4}-z^{2}+2z\right] }{\lim\limits_{z\rightarrow i}\left( z+1\right) }\quad \because
\text{複素有理関数の極限} \\
&=&\frac{\left( 3+i\right) i^{4}-i^{2}+2i}{i+1}\quad \because \text{複素多項式関数の極限} \\
&=&\frac{3+i+1+2i}{i+1} \\
&=&\frac{4+3i}{1+i} \\
&=&\frac{\left( 4+3i\right) \left( 1-i\right) }{\left( 1+i\right) \left(
1-i\right) } \\
&=&\frac{4-4i+3i-3i^{2}}{1-i^{2}} \\
&=&\frac{7-i}{2} \\
&=&\frac{7}{2}-\frac{1}{2}i
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
繰り返しになりますが、複素有理関数\(f\left(z\right) =\frac{g\left( z\right) }{h\left( z\right) }\)の\(z\rightarrow a\)の場合の極限が、\begin{equation}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) =\frac{\lim\limits_{z\rightarrow
a}g\left( z\right) }{\lim\limits_{z\rightarrow a}h\left( z\right) } \quad \cdots (1)
\end{equation}として定まるのは、\begin{equation}
\lim\limits_{z\rightarrow a}h\left( z\right) \not=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす場合に限ります。\(\left( 2\right) \)が成り立たない場合、すなわち、\begin{equation*}\lim\limits_{z\rightarrow a}h\left( z\right) =0
\end{equation*}である場合には、そもそも\(\left( 1\right) \)の右辺が定義不可能であるため、\(z\rightarrow a\)の場合の\(f\)の極限は複素数として定まるとは限らず、仮に複素数として定まる場合でも\(\left( 1\right) \)のような関係は成立するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。分母の複素多項式関数\(z-1-\sqrt{3}i\)に関して、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow 1+\sqrt{3}i}\left( z-1-\sqrt{3}i\right) &=&1+\sqrt{3}i-1-\sqrt{3}i\quad \because \text{複素多項式関数の極限} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(z\rightarrow 1+\sqrt{3}i\)の場合の\(f\)の極限を求める際に先の命題を利用できません。実際、誤って先の命題を適用してしまうと、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow 1+\sqrt{3}i}f\left( z\right) &=&\frac{\lim\limits_{z\rightarrow 1+\sqrt{3}i}\left( z^{2}-2z+4\right) }{\lim\limits_{z\rightarrow 1+\sqrt{3}i}\left( z-1-\sqrt{3}i\right) } \\
&=&\frac{\left( 1+\sqrt{3}i\right) ^{2}-2\left( 1+\sqrt{3}i\right) +4}{0}
\end{eqnarray*}になってしまいます。このような場合には他の手段を模索する必要があります。この問題に関しては、極限をとる前に関数を上手く変形することにより、\begin{eqnarray*}
\lim_{z\rightarrow 1+\sqrt{3}i}\frac{z^{2}-2z+4}{z-1-\sqrt{3}i}
&=&\lim_{z\rightarrow 1+\sqrt{3}i}\frac{\left( z-1+\sqrt{3}i\right) \left(
z-1-\sqrt{3}i\right) }{z-1-\sqrt{3}i} \\
&=&\lim_{z\rightarrow 1+\sqrt{3}i}\left( z-1+\sqrt{3}i\right) \\
&=&1+\sqrt{3}i-1+\sqrt{3}i \\
&=&2\sqrt{3}i
\end{eqnarray*}となります。
複素有理関数の無限大における極限
複素有理関数\(f\left( z\right) =\frac{g\left( z\right) }{h\left( z\right) }\)の無限大における極限を評価する際には、以下の関係\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) &=&b\Leftrightarrow
\lim_{z\rightarrow 0}f\left( \frac{1}{z}\right) =b \\
\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) &=&\infty \Leftrightarrow
\lim_{z\rightarrow 0}\frac{1}{f\left( \frac{1}{z}\right) }=0
\end{eqnarray*}を利用します。ただし、\(b\in \mathbb{C} \)です。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ 4z^{2}-5\not=0\right\}
\end{equation*}です。関数\(f\left( \frac{1}{z}\right) \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow 0}f\left( \frac{1}{z}\right) &=&\lim_{z\rightarrow 0}\frac{3\left( \frac{1}{z}\right) ^{2}+\frac{1}{z}+i}{4\left( \frac{1}{z}\right) ^{2}-5} \\
&=&\lim_{z\rightarrow 0}\frac{3\frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{z}+i}{4\frac{1}{z^{2}}-5} \\
&=&\lim_{z\rightarrow 0}\frac{3+z+iz^{2}}{4-5z^{2}} \\
&=&\frac{3+0+0}{4-0} \\
&=&\frac{3}{4}
\end{eqnarray*}が成り立つため、もとの複素関数\(f\left( z\right) \)について、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) =\frac{3}{4}
\end{equation*}が成り立ちます。
演習問題
\lim_{z\rightarrow i}\frac{\left( 3+i\right) z^{4}-z^{2}+2z}{z+1}
\end{equation*}を評価してください。
\lim_{z\rightarrow 1+i}\frac{z^{2}+1}{z^{2}-1}
\end{equation*}を評価してください。
\lim_{z\rightarrow -i}\frac{z^{4}-1}{z+i}
\end{equation*}を評価してください。
\lim_{z\rightarrow 2+i}\frac{z^{2}-\left( 2+i\right) ^{2}}{z-\left(
2+i\right) }
\end{equation*}を評価してください。
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