拡大（複素1次関数の具体例）

拡大

複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)がそれぞれの\(z\in Z\)に対して定める値が、\begin{equation*}a>0
\end{equation*}を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( z\right) =az
\end{equation*}と表される場合、このような複素関数\(f\)を拡大（magnification）と呼びます。\(a\)は複素数ではなく実数であることに注意してください。

拡大の幾何学的解釈

回転\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(z\in Z\)に対して定める値が、\(a>0\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation}f\left( z\right) =az \quad \cdots (1)
\end{equation}と表されるということです。

非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられているものとします。これは以下の条件\begin{eqnarray*}\left\vert z\right\vert &=&r>0 \\
\mathrm{Arg}\left( z\right) &=&\theta \in \left( -\pi ,\pi \right] \end{eqnarray*}を満たす何らかの実数\(r,\theta \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation}z=re^{i\theta } \quad \cdots (2)
\end{equation}と表現できます。つまり、\(z\)を指数表現した場合、絶対値は\(r\)であり、偏角は\(\theta \)であるということです。この点\(z\)を回転\(f\)に入力すると、以下の複素数\begin{eqnarray*}f\left( z\right) &=&f\left( re^{i\theta }\right) \quad \because \left(
2\right) \\
&=&a\left( re^{i\theta }\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&are^{i\theta }
\end{eqnarray*}が出力されますが、これは絶対値が\(ar\)であり、偏角が\(\theta \)であるような複素数です。

以上の議論より、拡大\(f\)に点\(z=re^{i\theta }\)を入力すると、偏角はそのままで絶対値が\(a\)倍になることが明らかになりました。移動後の点は\(f\left( z\right) =az=are^{i\theta }\)です。\(a>1\)の場合には点\(a\)の絶対値は大きくなります。このような事情もあり、この複素関数\(f\)は拡大と呼ばれています。一方、\(0<a<1\)の場合には点\(z\)の絶対値は小さくなるため、このような場合には\(f\)を縮小（contraction）と呼ぶこともできますが、以降では「拡大」という名称で統一します。

拡大による集合の像

拡大\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(z\in Z\)に対して定める値が、\(a>0\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( z\right) =az
\end{equation*}と表されるということです。\(f\)による集合\(A\subset \mathbb{C} \)の像は、\begin{eqnarray*}f\left( A\right) &=&\left\{ f\left( z\right) \in \mathbb{C} \ |\ z\in A\right\} \\
&=&\left\{ az\in \mathbb{C} \ |\ z\in A\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは\(A\)上の点の偏角はそのままで絶対値を\(a\)倍にすることにより得られる点からなる集合であるため、\(f\left( A\right) \)は\(A\)そのものを拡大ないし縮小することにより得られる集合に他なりません。前後において、集合\(A\)の形状は変化せず、大きさだけが変化します。

演習問題