複素関数の極形式と指数表現

複素関数の極形式と指数表現

ゼロとは異なる複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられた状況において、その絶対値と偏角をそれぞれ、\begin{eqnarray*}r &=&\left\vert z\right\vert >0 \\
\theta &=&\mathrm{Arg}\left( z\right) \in \left( -\pi ,\pi \right] \end{eqnarray*}と表記するのであれば、\(z\)の極形式が、\begin{equation}z=r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right) \right] \quad \cdots (1)
\end{equation}として与えられ、\(z\)の指数表現が、\begin{equation}z=re^{i\theta } \quad \cdots (2)
\end{equation}として与えられます。

複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの複素数\(z\in Z\)に対して複素数\begin{equation*}f\left( z\right) \in \mathbb{C} \end{equation*}を像として定めます。特に、\(z\in Z\)が非ゼロである場合には、\(\left(1\right) \)より、\begin{equation*}f\left( z\right) =f\left( r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin \left(
\theta \right) \right] \right)
\end{equation*}が成り立ち、\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}f\left( z\right) =f\left( re^{i\theta }\right)
\end{equation*}が成り立ちます。いずれにせよ、複素関数\(f\)の変数\(z\)を極形式ないし指数表現へ変換することにより、複素関数\(f\)の変数を\(z\)から\(r,\theta \)へと変換できます。

複素関数の実部と虚部

複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)およびその実部\(u:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \)と虚部\(v:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \)の間には以下の関係\begin{equation}\forall z\in Z:f\left( z\right) =u\left( z\right) +iv\left( z\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。

非ゼロの複素数\(z\in Z\)が与えられたとき、その極形式は、\begin{equation}z=r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right) \right] \quad \cdots (2)
\end{equation}として与えられるため、以下の関係\begin{eqnarray*}
f\left( z\right) &=&f\left( r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin
\left( \theta \right) \right] \right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&u\left( r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right) \right] \right) +iv\left( r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin \left(
\theta \right) \right] \right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。このような事情を踏まえると、複素関数\(f\)の実部\(u\)と虚部\(v\)を、絶対値と偏角に相当する変数\(r,\theta \)に関する2変数の実数値関数\begin{eqnarray*}u\left( r,\theta \right) &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \\
v\left( r,\theta \right) &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}とみなすことができます。このような解釈のもとでは、非ゼロの複素数\(z=r\left[ \cos \left( \theta\right) +i\sin \left( \theta \right) \right] \in Z\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}f\left( z\right) =u\left( r,\theta \right) +iv\left( r,\theta \right)
\end{equation*}が成り立ちます。

指数表現についても同様の議論が成り立ちます。つまり、非ゼロの複素数\(z\in Z\)が与えられたとき、その指数表現は、\begin{equation}z=re^{i\theta } \quad \cdots (3)
\end{equation}として与えられるため、以下の関係\begin{eqnarray*}
f\left( z\right) &=&f\left( re^{i\theta }\right) \quad \because \left(
3\right) \\
&=&u\left( re^{i\theta }\right) +iv\left( re^{i\theta }\right) \quad
\because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。このような事情を踏まえると、複素関数\(f\)の実部\(u\)と虚部\(v\)を、絶対値と偏角に相当する変数\(r,\theta \)に関する2変数の実数値関数\begin{eqnarray*}u\left( r,\theta \right) &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \\
v\left( r,\theta \right) &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}とみなすことができます。このような解釈のもとでは、非ゼロの複素数\(z=r\left[ \cos \left( \theta\right) +i\sin \left( \theta \right) \right] \in Z\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}f\left( z\right) =u\left( r,\theta \right) +iv\left( r,\theta \right)
\end{equation*}が成り立ちます。

実部と虚部から複素関数を特定する

複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)およびその実部\(u:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \)と虚部\(v:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられた状況において非ゼロの複素数\(z=r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right) \right] \in Z\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation}f\left( z\right) =u\left( r,\theta \right) +iv\left( r,\theta \right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。逆に、2つの関数\begin{eqnarray*}
u\left( r,\theta \right) &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \\
v\left( r,\theta \right) &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられれば、\(\left(1\right) \)を満たすものとして複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)を定義できます。

演習問題