点において連続な複素関数の積の連続性
定義域を共有する2つの複素関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \\
g &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{equation*}\left( fg\right) \left( z\right) =f\left( z\right) \cdot g\left( z\right)
\end{equation*}を値として定める新たな複素関数\begin{equation*}
fg:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。
複素関数\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in Z\)において連続であるならば、複素関数\(fg\)もまた点\(a\)において連続であることが保証されます。
したがって、何らかの複素関数\(f,g\)の積の形をしている複素関数\(fg\)の連続性を検討する際には、複素関数の連続性の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上で、それぞれが連続であることを確認すればよいということになります。
命題（点において連続な複素関数の積の連続性）
複素関数\(f,g:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)が与えられたとき、そこから複素関数\(fg:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)を定義する。\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in Z\)において連続であるならば、\(fg\)もまた点\(a\)において連続である。
例（複素連続関数の積の連続性）
複素関数\(f,g:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)から複素関数\(fg:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)を定義します。\(f,g\)がともに連続であるものとします。つまり、\(f,g\)は任意の点\(a\in \mathbb{C} \)において連続であるということです。すると先の命題より\(fg\)もまた点\(a\)において連続であるため、\(fg\)もまた連続です。
例（複素連続関数の積の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =2z^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。複素恒等関数\(z\)は連続であるため、積の法則より\(z^{2}\)は連続であり、定数倍の法則より\(2z^{2}\)すなわち\(f\)は連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。複素恒等関数\(z\)は連続であるため、積の法則より\(z^{2}\)は連続であり、定数倍の法則より\(2z^{2}\)すなわち\(f\)は連続です。
例（複素連続関数の積の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\left( z^{2}+1\right) \left( 2z-1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。複素恒等関数\(z\)は連続であるため、積の法則より\(z^{2}\)は連続であり、和の法則より\(z^{2}+1\)は連続です。その一方で、定数倍の法則より\(2z\)は連続であり、差の法則より\(2z-1\)は連続です。したがって、積の法則より\(\left( z^{2}+1\right) \left( 2z-1\right) \)すなわち\(f\)は連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。複素恒等関数\(z\)は連続であるため、積の法則より\(z^{2}\)は連続であり、和の法則より\(z^{2}+1\)は連続です。その一方で、定数倍の法則より\(2z\)は連続であり、差の法則より\(2z-1\)は連続です。したがって、積の法則より\(\left( z^{2}+1\right) \left( 2z-1\right) \)すなわち\(f\)は連続です。
演習問題
問題（複素関数の積の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\left( 6z^{3}-i\right) \left( 10-20z\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて特定してください。
問題（複素関数の積の連続性）
有限\(n\)個の複素関数\(f_{1},\cdots ,f_{n}:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから複素関数\(f_{1}\cdot \cdots \cdot f_{n}:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)を定義します。ただし、これはそれぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{equation*}\left( f_{1}\cdot \cdots \cdot f_{n}\right) \left( z\right) =f_{1}\left(
z\right) \cdot \cdots \cdot f_{n}\left( z\right)
\end{equation*}を定めます。複素関数\(f_{1},\cdots ,f_{n}\)がいずれも連続関数である場合、複素関数\(f_{1}\cdot \cdots \cdot f_{n}\)もまた連続であることを証明してください。
z\right) \cdot \cdots \cdot f_{n}\left( z\right)
\end{equation*}を定めます。複素関数\(f_{1},\cdots ,f_{n}\)がいずれも連続関数である場合、複素関数\(f_{1}\cdot \cdots \cdot f_{n}\)もまた連続であることを証明してください。
問題（イプシロン・デルタ論法と積の法則）
複素関数\(f,g:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)が与えられたとき、そこから複素関数\(fg:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)を定義します。\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in Z\)において連続であるならば、\(fg\)もまた点\(a\)において連続です。本文中では以上の事実を複素関数の極限を用いて証明しましたが、同様の主張を、イプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
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