点において連続な複素関数の商の連続性
定義域を共有する2つの複素関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \\
g &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) \left( z\right) =\frac{f\left( z\right) }{g\left(
z\right) }
\end{equation*}を値として定める新たな複素関数\begin{equation*}
\frac{f}{g}:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。複素数をゼロで割ることはできないため、複素関数\(g\)は値として非ゼロをとることに注意してください。
複素関数\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in Z\)において連続であるならば、複素関数\(\frac{f}{g}\)もまた点\(a\)において連続であることが保証されます。
したがって、何らかの複素関数\(f,g\)の商の形をしている複素関数\(\frac{f}{g}\)の連続性を検討する際には、複素関数の連続性の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上で、それぞれが連続であることを確認すればよいということになります。
命題（点において連続な複素関数の商の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)および\(g:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、そこから複素関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)を定義する。\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in Z\)において連続であるならば、\(\frac{f}{g}\)もまた点\(a\)において連続である。
例（複素連続関数の商の連続性）
複素関数である\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)と\(g:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)から複素関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)を定義します。\(f,g\)がともに連続であるものとします。つまり、\(f,g\)は任意の点\(a\in \mathbb{C} \)において連続であるということです。すると先の命題より\(\frac{f}{g}\)もまた点\(a\)において連続であるため、\(\frac{f}{g}\)もまた連続です。
例（複素連続関数の商の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\frac{1}{z}
\end{equation*}を定めるものとします。複素定数関数\(1\)と複素恒等関数\(z\)は連続であるため、商の法則より\(\frac{1}{z}\)すなわち\(f\)は\(\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。複素定数関数\(1\)と複素恒等関数\(z\)は連続であるため、商の法則より\(\frac{1}{z}\)すなわち\(f\)は\(\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で連続です。
例（複素連続関数の商の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\frac{z^{3}}{z^{3}+3z^{2}+z}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ z^{3}+3z^{2}+z\not=0\right\}
\end{equation*}です。複素恒等関数\(z\)は連続であるため、積の法則より\(z^{3}\)は\(Z\)上で連続です。また、定数倍の法則と和の法則と積の法則より\(z^{3}+3z^{2}+z\)は\(Z\)上で連続です。したがって、商の法則より\(\frac{z^{3}}{z^{3}+3z^{2}+z}\)すなわち\(f\)は\(Z\)上で連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ z^{3}+3z^{2}+z\not=0\right\}
\end{equation*}です。複素恒等関数\(z\)は連続であるため、積の法則より\(z^{3}\)は\(Z\)上で連続です。また、定数倍の法則と和の法則と積の法則より\(z^{3}+3z^{2}+z\)は\(Z\)上で連続です。したがって、商の法則より\(\frac{z^{3}}{z^{3}+3z^{2}+z}\)すなわち\(f\)は\(Z\)上で連続です。
演習問題
問題（複素関数の商の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ -1\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ -1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\frac{\left( 3+i\right) z^{4}-z^{2}+2z}{z+1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて特定してください。
問題（複素関数の商の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\frac{z^{2}+1}{z^{2}-1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて特定してください。
問題（複素関数の商の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\dfrac{z^{3}-1}{z-1} & \left( if\ \left\vert z\right\vert \not=1\right) \\
3 & \left( if\ \left\vert z\right\vert =1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(1\in \mathbb{C} \)において連続であることを示してください。
\begin{array}{cc}
\dfrac{z^{3}-1}{z-1} & \left( if\ \left\vert z\right\vert \not=1\right) \\
3 & \left( if\ \left\vert z\right\vert =1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(1\in \mathbb{C} \)において連続であることを示してください。
問題（複素関数の商の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\dfrac{z^{3}-1}{z^{2}+z+1} & \left( if\ \left\vert z\right\vert
\not=1\right) \\
\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2} & \left( if\ \left\vert z\right\vert =1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\in \mathbb{C} \)において連続であることを示してください。
\begin{array}{cc}
\dfrac{z^{3}-1}{z^{2}+z+1} & \left( if\ \left\vert z\right\vert
\not=1\right) \\
\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2} & \left( if\ \left\vert z\right\vert =1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\in \mathbb{C} \)において連続であることを示してください。
問題（複素関数の商の連続性）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\dfrac{z^{3}-1}{z-1} & \left( if\ \left\vert z\right\vert \not=1\right) \\
3 & \left( if\ \left\vert z\right\vert =1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(i\in \mathbb{C} \)において連続ではないことを示してください。
\begin{array}{cc}
\dfrac{z^{3}-1}{z-1} & \left( if\ \left\vert z\right\vert \not=1\right) \\
3 & \left( if\ \left\vert z\right\vert =1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(i\in \mathbb{C} \)において連続ではないことを示してください。
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