点において収束する複素関数の商の極限
定義域を共有する2つの複素関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \\
g &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) \left( z\right) =\frac{f\left( z\right) }{g\left(
z\right) }
\end{equation*}を値として定める新たな複素関数\begin{equation*}
\frac{f}{g}:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。複素数をゼロで割ることはできないため、複素関数\(g\)は値として非ゼロをとることに注意してください。
複素関数\(f,g\)の定義域\(Z\)の集積点\(a\in \mathbb{C} \)が与えられたとき、\(z\rightarrow a\)の場合に複素関数\(f,g\)がともに複素数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}g\left( z\right) \not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、複素関数\(\frac{f}{g}\)もまた\(z\rightarrow a\)の場合に複素数へ収束するとともに、これらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}\left( \frac{f}{g}\right) \left( z\right) =\frac{\lim\limits_{z\rightarrow a}f\left( z\right) }{\lim\limits_{z\rightarrow
a}g\left( z\right) }
\end{equation*}が成り立ちます。
したがって、何らかの複素関数\(f,g\)の商の形をしている複素関数\(\frac{f}{g}\)の収束可能性を検討する際には、複素関数の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上で、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。
\end{equation*}であるならば、\(z\rightarrow a\)の場合に\(\frac{f}{g}\)もまた複素数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}\left( \frac{f}{g}\right) \left( z\right) =\frac{\lim\limits_{z\rightarrow a}f\left( z\right) }{\lim\limits_{z\rightarrow
a}g\left( z\right) }
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。ゼロとは異なる点\(a\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) &=&\lim_{z\rightarrow a}\frac{1}{z}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{z\rightarrow a}1}{\lim\limits_{z\rightarrow a}z}\quad
\because \text{商の法則} \\
&=&\frac{1}{a}\quad \because \text{複素恒等関数および複素定数関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
無限大において収束する複素関数の商の極限
無限大において収束する複素関数についても同様の命題が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)および\(g:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、そこから複素関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)を定義します。
無限大における極限をとるために、複素関数\(f,g\)が無限大の近傍において定義されている状況を想定します。つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z\right\vert >a\right\} \subset Z
\end{equation*}が成り立つということです。\(z\rightarrow \infty \)の場合に複素関数\(f,g\)がともに複素数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow \infty }g\left( z\right) \not=0
\end{equation*}がが成り立つ場合には、複素関数\(\frac{f}{g}\)もまた\(z\rightarrow \infty \)の場合に複素数へ収束するとともに、これらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow \infty }\left( \frac{f}{g}\right) \left( z\right) =\frac{\lim\limits_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) }{\lim\limits_{z\rightarrow \infty }g\left( z\right) }
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}であるならば、\(z\rightarrow \infty \)の場合に\(\frac{f}{g}\)もまた複素数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow \infty }\left( \frac{f}{g}\right) \left( z\right) =\frac{\lim\limits_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) }{\lim\limits_{z\rightarrow \infty }g\left( z\right) }
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) &=&\lim_{z\rightarrow \infty }\frac{\frac{1}{z}}{\frac{2}{z}+3i}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{z\rightarrow \infty }\frac{1}{z}}{\lim\limits_{z\rightarrow \infty }\left( \frac{2}{z}+3i\right) }\quad \because \text{商の法則} \\
&=&\frac{\lim\limits_{z\rightarrow \infty }\frac{1}{z}}{\lim\limits_{z\rightarrow \infty }\frac{2}{z}+\lim\limits_{z\rightarrow \infty }3i}\quad
\because \text{和の法則} \\
&=&\frac{\lim\limits_{z\rightarrow \infty }\frac{1}{z}}{2\lim\limits_{z\rightarrow \infty }\frac{1}{z}+\lim\limits_{z\rightarrow \infty }3i}\quad
\because \text{定数倍の法則} \\
&=&\frac{0}{2\cdot 0+3i} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
演習問題
\lim_{z\rightarrow i}\frac{\left( 3+i\right) z^{4}-z^{2}+2z}{z+1}
\end{equation*}を評価してください。
\lim_{z\rightarrow 1+i}\frac{z^{2}+1}{z^{2}-1}
\end{equation*}を評価してください。
\lim_{z\rightarrow \exp \left( \frac{i\pi }{4}\right) }\left( z+\frac{1}{z}\right)
\end{equation*}を評価してください。
\lim_{z\rightarrow 1+\sqrt{3}i}\frac{z^{2}-2z+4}{z-1-\sqrt{3}i}
\end{equation*}を評価してください。
