複素関数による要素の像

複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)が与えられたとき、始集合の要素\(z\in Z\)を任意に選ぶと、\(f\)はそれに対して終集合の要素である複素数\begin{equation*}f\left( z\right) \in \mathbb{C} \end{equation*}を１つずつ定めます。これを\(f\)による\(z\)の値（value）や像（image）などと呼びます。

複素関数による集合の像・複素関数の値域

複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)および始集合の部分集合\(A\subset Z\)が与えられた状況を想定します。\(f\)は\(A\)のそれぞれの要素\(z\)に対してその像\(f\left( z\right) \)を定めますが、これらの像をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{equation*}f\left( A\right) =\left\{ f\left( z\right) \in \mathbb{C} \ |\ z\in A\right\}
\end{equation*}で表記し、これを複素関数\(f\)による集合\(A\)の像（image）と呼びます。明らかに、\begin{equation*}f\left( A\right) \subset \mathbb{C} \end{equation*}が成り立ちます。

複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)の始集合\(Z\)は\(Z\)自身の部分集合であるため、\(f\)による\(Z\)の像\begin{equation*}f\left( Z\right) =\left\{ f\left( z\right) \in \mathbb{C} \ |\ z\in Z\right\}
\end{equation*}が定義可能です。これを複素関数\(f\)の値域（range）と呼び、\begin{equation*}R\left( f\right)
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{eqnarray*}
R\left( f\right) &=&f\left( Z\right) \quad \because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ f\left( z\right) \in \mathbb{C} \ |\ z\in Z\right\} \quad \because \text{複素関数による像の定義}
\end{eqnarray*}です。

複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)による始集合の部分集合\(A\subset Z\)の像は、\begin{equation*}f\left( A\right) =\left\{ f\left( z\right) \in \mathbb{C} \ |\ z\in A\right\}
\end{equation*}と定義されるため、終集合の要素\(w\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}w\in f\left( A\right) \Leftrightarrow \exists z\in A:w=f\left( z\right)
\end{equation*}が成り立ちます。以上を踏まえると、複素関数\(f\)による集合\(A\subset Z\)の像を、\begin{equation*}f\left( A\right) =\left\{ w\in \mathbb{C} \ |\ \exists z\in A:w=f\left( z\right) \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。特に、\(A=Z\)の場合には、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( Z\right) \\
&=&\left\{ w\in \mathbb{C} \ |\ \exists z\in Z:w=f\left( z\right) \right\}
\end{eqnarray*}となります。

演習問題