複素関数による要素の像
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)が与えられたとき、始集合の要素\(z\in Z\)を任意に選ぶと、\(f\)はそれに対して終集合の要素である複素数\begin{equation*}f\left( z\right) \in \mathbb{C} \end{equation*}を１つずつ定めます。これを\(f\)による\(z\)の値（value）や像（image）などと呼びます。
\end{equation*}を定めものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
f\left( 0\right) &=&0^{2}=0 \\
f\left( 1\right) &=&1^{2}=1 \\
f\left( i\right) &=&i^{2}=-1 \\
f\left( 1+i\right) &=&\left( 1+i\right) ^{2}=2i
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}を値として定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
f\left( 0\right) &=&\mathrm{Re}\left( 0\right) =0 \\
f\left( 1\right) &=&\mathrm{Re}\left( 1\right) =1 \\
f\left( i\right) &=&\mathrm{Re}\left( i\right) =0 \\
f\left( 1+i\right) &=&\mathrm{Re}\left( 1+i\right) =1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}を値として定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
f\left( 0\right) &=&\mathrm{Im}\left( 0\right) =0 \\
f\left( 1\right) &=&\mathrm{Im}\left( 1\right) =1 \\
f\left( i\right) &=&\mathrm{Im}\left( i\right) =1 \\
f\left( 1+i\right) &=&\mathrm{Im}\left( 1+i\right) =1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}を値として定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
f\left( 0\right) &=&\frac{1}{0^{2}-1}=-1 \\
f\left( i\right) &=&\frac{1}{i^{2}-1}=-\frac{1}{2} \\
f\left( 1+i\right) &=&\frac{1}{\left( 1+i\right) ^{2}-1}=\frac{1}{2i-1}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。ちなみに、複素数をゼロで割ることはできないため\(z^{2}-1\not=0\)である必要があり、したがってこの関数\(f\)は点\(z=-1,1\)において定義されないことに注意してください。
複素関数による集合の像・複素関数の値域
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)および始集合の部分集合\(A\subset Z\)が与えられた状況を想定します。\(f\)は\(A\)のそれぞれの要素\(z\)に対してその像\(f\left( z\right) \)を定めますが、これらの像をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{equation*}f\left( A\right) =\left\{ f\left( z\right) \in \mathbb{C} \ |\ z\in A\right\}
\end{equation*}で表記し、これを複素関数\(f\)による集合\(A\)の像（image）と呼びます。明らかに、\begin{equation*}f\left( A\right) \subset \mathbb{C} \end{equation*}が成り立ちます。
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)の始集合\(Z\)は\(Z\)自身の部分集合であるため、\(f\)による\(Z\)の像\begin{equation*}f\left( Z\right) =\left\{ f\left( z\right) \in \mathbb{C} \ |\ z\in Z\right\}
\end{equation*}が定義可能です。これを複素関数\(f\)の値域（range）と呼び、\begin{equation*}R\left( f\right)
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{eqnarray*}
R\left( f\right) &=&f\left( Z\right) \quad \because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ f\left( z\right) \in \mathbb{C} \ |\ z\in Z\right\} \quad \because \text{複素関数による像の定義}
\end{eqnarray*}です。
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)による始集合の部分集合\(A\subset Z\)の像は、\begin{equation*}f\left( A\right) =\left\{ f\left( z\right) \in \mathbb{C} \ |\ z\in A\right\}
\end{equation*}と定義されるため、終集合の要素\(w\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}w\in f\left( A\right) \Leftrightarrow \exists z\in A:w=f\left( z\right)
\end{equation*}が成り立ちます。以上を踏まえると、複素関数\(f\)による集合\(A\subset Z\)の像を、\begin{equation*}f\left( A\right) =\left\{ w\in \mathbb{C} \ |\ \exists z\in A:w=f\left( z\right) \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。特に、\(A=Z\)の場合には、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( Z\right) \\
&=&\left\{ w\in \mathbb{C} \ |\ \exists z\in Z:w=f\left( z\right) \right\}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z\right\vert \leq 1\right\}
\end{equation*}です。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( Z\right) \\
&=&\left\{ f\left( z\right) \in \mathbb{C} \ |\ z\in Z\right\} \\
&=&\left\{ z+1+i\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z\right\vert \leq 1\right\} \\
&=&\left\{ w\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert w-\left( 1+i\right) \right\vert \leq 1\right\} \quad
\because w=z+1+i\text{とおく}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(f\)の定義域\(Z\)は複素平面上の原点を中心とする半径\(1\)の円およびその内部である一方で、\(f\)の値域\(R\left( f\right) \)は複素平面上の点\(1+i\)を中心とする半径\(1\)の円およびその内部です。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ 0\leq \mathrm{Re}\left( z\right) \leq 1\wedge 0\leq \mathrm{Im}\left(
z\right) \leq 1\right\}
\end{equation*}です。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( Z\right) \\
&=&\left\{ f\left( z\right) \in \mathbb{C} \ |\ z\in Z\right\} \\
&=&\left\{ 2z\in \mathbb{C} \ |\ 0\leq \mathrm{Re}\left( z\right) \leq 1\wedge 0\leq \mathrm{Im}\left(
z\right) \leq 1\right\} \\
&=&\left\{ w\in \mathbb{C} \ |\ 0\leq \mathrm{Re}\left( \frac{w}{2}\right) \leq 1\wedge 0\leq \mathrm{Im}\left( \frac{w}{2}\right) \leq 1\right\} \quad \because w=2z\text{とおく} \\
&=&\left\{ w\in \mathbb{C} \ |\ 0\leq \frac{1}{2}\mathrm{Re}\left( w\right) \leq 1\wedge 0\leq \frac{1}{2}\mathrm{Im}\left( w\right) \leq 1\right\} \\
&=&\left\{ w\in \mathbb{C} \ |\ 0\leq \mathrm{Re}\left( w\right) \leq 2\wedge 0\leq \mathrm{Im}\left(
w\right) \leq 2\right\}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ 0\leq \mathrm{Re}\left( z\right) \leq 1\wedge 0\leq \mathrm{Im}\left(
z\right) \leq 1\right\}
\end{equation*}です。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( Z\right) \\
&=&\left\{ f\left( z\right) \in \mathbb{C} \ |\ z\in Z\right\} \\
&=&\left\{ iz\in \mathbb{C} \ |\ 0\leq \mathrm{Re}\left( z\right) \leq 1\wedge 0\leq \mathrm{Im}\left(
z\right) \leq 1\right\}
\end{eqnarray*}となります。ただし、複素数\(i,z\in \mathbb{C} \)の極形式が、\begin{eqnarray*}i &=&\cos \left( \frac{\pi }{2}\right) +i\sin \left( \frac{\pi }{2}\right)
\\
z &=&r\cos \left( \theta \right) +ir\sin \left( \theta \right)
\end{eqnarray*}であることを踏まえると、積\(iz\in \mathbb{C} \)の極形式は、\begin{equation*}iz=r\cos \left( \theta +\frac{\pi }{2}\right) +ir\sin \left( \theta +\frac{\pi }{2}\right)
\end{equation*}となるため、複素平面上において点\(z\)を原点を中心に反時計まわりに\(\frac{\pi }{2}\)だけ回転すれば点\(iz\)が得られます。以上より、\(Z\)上の点を反時計まわりに\(\frac{\pi }{2}\)だけ回転することにより得られる点からなる集合が\(R\left( f\right) \)であることが明らかになりました。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z\right\vert \leq 2\right\}
\end{equation*}です。\(f\)の値域を特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ 0\leq \mathrm{Re}\left( z\right) \leq 1\wedge 0\leq \mathrm{Im}\left(
z\right) \leq 1\right\}
\end{equation*}です。\(f\)の値域を特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Im}\left( z\right) >0\right\}
\end{equation*}です。\(f\)の値域を特定してください。
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