回転
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)がそれぞれの\(z\in Z\)に対して定める値が、\begin{equation*}\left\vert a\right\vert =1
\end{equation*}を満たす複素数\(a\in \mathbb{C} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( z\right) =az
\end{equation*}と表される場合、このような複素関数\(f\)を回転（rotation）と呼びます。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{eqnarray*}
\left\vert \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right\vert &=&\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{2}{4}} \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は移動です。\(f\)が\(1\in \mathbb{C} \)に対して定める像は、\begin{eqnarray*}f\left( 1\right) &=&\left( \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right) 1
\\
&=&\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i
\end{eqnarray*}であり、\(f\)が\(i\in \mathbb{C} \)に対して定める像は、\begin{eqnarray*}f\left( i\right) &=&\left( \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right) i
\\
&=&-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i
\end{eqnarray*}であり、\(f\)が\(1+i\in \mathbb{C} \)に対して定める像は、\begin{eqnarray*}f\left( 1+i\right) &=&\left( \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)
\left( 1+i\right) \\
&=&\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i+\frac{\sqrt{2}}{2}i+\frac{\sqrt{2}}{2}i^{2} \\
&=&\sqrt{2}i
\end{eqnarray*}です。
\end{equation*}と表されるものとします。以下の条件\begin{equation*}
\left\vert a\right\vert =1
\end{equation*}が成り立たない場合、\(f\)は回転ではありません。ただし、以下の複素数\begin{equation*}\frac{a}{\left\vert a\right\vert }
\end{equation*}を定義すれば、その絶対値は、\begin{equation*}
\left\vert \frac{a}{\left\vert a\right\vert }\right\vert =\frac{\left\vert
a\right\vert }{\left\vert a\right\vert }=1
\end{equation*}を満たすため、それぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\frac{a}{\left\vert a\right\vert }z
\end{equation*}を定める複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)を改めて定義すれば、これは回転になります。
回転の幾何学的解釈
回転\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(z\in Z\)に対して定める値が、\(\left\vert a\right\vert =1\)を満たす\(a\in \mathbb{C} \)を用いて、\begin{equation}f\left( z\right) =az \quad \cdots (1)
\end{equation}と表されるということです。\(\left\vert a\right\vert =1\)より\(a\)は非ゼロの複素数であるため、以下の条件\begin{equation*}\mathrm{Arg}\left( a\right) =\theta \in \left( -\pi ,\pi \right]
\end{equation*}を満たす何らかの実数\(\theta \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation}a=e^{i\theta } \quad \cdots (2)
\end{equation}と表現できます。つまり、\(a\)を指数表現した場合、絶対値は\(1\)であり、偏角は\(\theta \)であるということです。
非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられているものとします。これは以下の条件\begin{eqnarray*}\left\vert z\right\vert &=&r>0 \\
\mathrm{Arg}\left( z\right) &=&\phi \in \left( -\pi ,\pi \right]
\end{eqnarray*}を満たす何らかの実数\(r,\phi \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation}z=re^{i\phi } \quad \cdots (3)
\end{equation}と表現できます。つまり、\(z\)を指数表現した場合、絶対値は\(r\)であり、偏角は\(\phi \)であるということです。この点\(z\)を回転\(f\)に入力すると、以下の複素数\begin{eqnarray*}f\left( z\right) &=&f\left( re^{i\phi }\right) \quad \because \left(
3\right) \\
&=&e^{i\theta }re^{i\phi }\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&re^{i\left( \theta +\phi \right) }
\end{eqnarray*}が出力されますが、これは絶対値が\(r\)であり、偏角が\(\theta +\phi \)であるような複素数です。
以上の議論より、回転\(f\)に点\(z=re^{i\phi }\)を入力すると、その点は原点\(O\)を中心に\(\theta \)ラジアンだけ回転することが明らかになりました。\(\theta >0\)の場合には反時計回りの回転であり、\(\theta <0\)の場合には時計回りの回転です。移動後の点は\(f\left( z\right) =az=re^{i\left(\theta +\phi \right) }\)です。このような事情もあり、この複素関数\(f\)は回転と呼ばれています。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は回転です。複素数\(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\)を指数表現すると、\begin{equation*}\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i=e^{i\frac{\pi }{4}}
\end{equation*}となるため、\(f\)に点\(z\in \mathbb{C} \)を入力すると、その点は原点を中心に反時計回りに\(\frac{\pi }{4}\)ラジアンだけ回転します。複素数\(1\in \mathbb{C} \)は複素平面上の点\(\left(1,0\right) \)と同一視されますが、この点を\(f\)に入力すると、\begin{eqnarray*}f\left( 1\right) &=&\left( \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right) 1
\\
&=&\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i
\end{eqnarray*}が出力されますが、これは複素平面上の点\(\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)と同一視されます。点\(\left( 1,0\right) \)を原点を中心に反時計回りに\(\frac{\pi }{4}\)ラジアンだけ回転すると点\(\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)になりますが、この事実は先の考察と整合的です。
回転による集合の像
回転\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(z\in Z\)に対して定める値が、\(\left\vert a\right\vert =1\)を満たす\(a\in \mathbb{C} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( z\right) =az
\end{equation*}と表されるということです。\(f\)による集合\(A\subset \mathbb{C} \)の像は、\begin{eqnarray*}f\left( A\right) &=&\left\{ f\left( z\right) \in \mathbb{C} \ |\ z\in A\right\} \\
&=&\left\{ az\in \mathbb{C} \ |\ z\in A\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは\(A\)上の点をいずれも原点\(O\)を中心に\(\theta \)ラジアンだけ回転することにより得られる点からなる集合であるため、\(f\left( A\right) \)は\(A\)そのものを原点\(O\)を中心に\(\theta \)ラジアンだけ回転することにより得られる集合に他なりません。移動の前後において、集合\(A\)の形状や大きさは変化せず、位置だけが変化します。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は回転です。以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ z\in \mathbb{Z} \ |\ \mathrm{Im}\left( z\right) =0\right\}
\end{equation*}に注目します。つまり、\(A\)は複素平面上の実軸です。複素数\(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\)を指数表現すると、\begin{equation*}\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i=e^{i\frac{\pi }{4}}
\end{equation*}となるため、\(f\)に点\(z\in \mathbb{C} \)を入力すると、その点は原点を中心に反時計回りに\(\frac{\pi }{4}\)ラジアンだけ回転します。したがって、\(f\)による\(A\)の像\(f\left( A\right) \)は、実軸上のすべての点を中心に反時計回りに\(\frac{\pi }{4}\)ラジアンだけ回転することにより得られる点からなる集合であるため、\(f\left( A\right) \)は原点を通過し、実軸となす角が\(\frac{\pi }{4}\)であるような直線です。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)による以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z\right\vert \leq 1\right\}
\end{equation*}を特定してください。さらに、その幾何学的意味を解説してください。
\end{equation*}を定めるものとします。集合\(A\subset \mathbb{C} \)は3つの複素数\(0,1,i\)を頂点とする三角形およびその内部の領域です。\(f\)による像\(f\left( A\right) \)を特定してください。さらに、その幾何学的意味を解説してください。
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