点において収束する複素関数の和の極限
定義域を共有する2つの複素関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \\
g &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( z\right) =f\left( z\right) +g\left( z\right)
\end{equation*}を値として定める新たな複素関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。
複素関数\(f,g\)の定義域\(Z\)の集積点\(a\in \mathbb{C} \)が与えられたとき、\(z\rightarrow a\)の場合に複素関数\(f,g\)がともに複素数へ収束するならば、複素関数\(f+g\)もまた\(z\rightarrow a\)の場合に複素数へ収束するとともに、これらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( z\right) =\lim_{z\rightarrow
a}f\left( z\right) +\lim_{z\rightarrow a}g\left( z\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
したがって、何らかの複素関数\(f,g\)の和の形をしている複素関数\(f+g\)の収束可能性を検討する際には、複素関数の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上で、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。
a}f\left( z\right) +\lim_{z\rightarrow a}g\left( z\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) &=&\lim_{z\rightarrow a}\left(
2z+1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{z\rightarrow a}2z+\lim_{z\rightarrow a}1\quad \because \text{和の法則} \\
&=&2\lim_{z\rightarrow a}z+\lim_{z\rightarrow a}1\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&2a+1\quad \because \text{複素恒等関数および複素定数関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
無限大において収束する複素関数の和の極限
無限大における極限についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
複素関数\(f,g:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)が与えられたとき、そこから複素関数\(f+g:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)を定義します。
無限大における極限をとるために、複素関数\(f,g\)が無限大の近傍において定義されている状況を想定します。つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z\right\vert >a\right\} \subset Z
\end{equation*}が成り立つということです。\(z\rightarrow \infty \)の場合に複素関数\(f,g\)がともに複素数へ収束するならば、複素関数\(f+g\)もまた\(z\rightarrow \infty \)の場合に複素数へ収束するとともに、両者の極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow \infty }\left( f+g\right) \left( z\right)
=\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) +\lim_{z\rightarrow \infty
}g\left( z\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
=\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) +\lim_{z\rightarrow \infty
}g\left( z\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。複素関数\(z\)に関して、\begin{equation*}\lim_{z\rightarrow 0}z=0\quad \because \text{恒等複素関数の極限}
\end{equation*}が成り立つため、複素関数\(\frac{1}{z}\)に関して、\begin{equation}\lim_{z\rightarrow \infty }\frac{1}{z}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) &=&\lim_{z\rightarrow \infty
}\left( -\frac{1}{z}+1\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\lim_{z\rightarrow \infty }\left( -\frac{1}{z}\right) +\lim_{z\rightarrow
\infty }1\quad \because \text{和の法則} \\
&=&-\lim_{z\rightarrow \infty }\frac{1}{z}+\lim_{z\rightarrow \infty }1\quad
\because \text{定数倍の法則} \\
&=&-0+1\quad \because \left( 1\right) \text{および複素定数関数の極限} \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
演習問題
\lim_{z\rightarrow i}\left[ \left( 3+i\right) z+4\right] \end{equation*}を評価してください。
\lim_{z\rightarrow 1+\sqrt{3}i}\left( z+1+\sqrt{3}\right)
\end{equation*}を評価してください。
a}f\left( z\right) +\lim_{z\rightarrow a}g\left( z\right)
\end{equation*}が成り立ちます。本文中では以上の事実を複素数列を用いて証明しましたが、同様の主張を、イプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
=\lim_{z\rightarrow \infty }f\left( z\right) +\lim_{z\rightarrow \infty
}g\left( z\right)
\end{equation*}が成り立ちます。本文中では以上の事実を複素数列を用いて証明しましたが、同様の主張を、イプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
ログイン
会員向けコンテンツです。
まだ会員登録がお済みでない方は、会員登録ページよりアカウントを作成してください。