複素数の定義
実数を成分とする順序対を複素数と呼びます。複素数は平面上の点として表現したり、平面上の位置ベクトルとして表現できます。
複素数の概念を定義するとともに、加法と乗法と呼ばれる演算を複素数集合上に定義すれば体が得られることを示します。
実数を成分とする順序対を複素数と呼びます。複素数は平面上の点として表現したり、平面上の位置ベクトルとして表現できます。
複素平面上の複素数と原点の間の距離を複素数の絶対値と呼び、複素平面の実部と動径のなす角を偏角と呼びます。絶対値と偏角を指定することを通じて複素数を表現する手法を極形式と呼びます。
複素数を被演算子とする「複素数加法」と呼ばれる演算を定義するとともに、その意味や性質などについて解説します。
複素数を被演算子とする「複素数減法」と呼ばれる演算を定義するとともに、その意味や性質などについて解説します。
複素数を被演算子とする「複素数乗法」と呼ばれる演算を定義するとともに、その意味や性質などについて解説します。
複素数を被演算子とする「複素数除法」と呼ばれる演算を定義するとともに、その意味や性質などについて解説します。
複素数空間上定義された加法と乗法は体としての性質を満たします。そこで、加法と乗法が定義された複素数空間を複素数体と呼びます。
複素数体は全順序体にはなり得ません。つまり、複素数加法と複素数乗法に加えていかなる二項関係を定義した場合でも、複素数集合は全順序体にはなりません。ただし、複素数集合上に全順序や半順序を定義することはできます。
複素数に関連する諸々の概念について解説します。
虚部がゼロであるような複素数を実数と同一視する場合、実数空間は虚数空間の部分体になります。その上で、複素数を虚数単位を用いて表記すれば複素数どうしの演算が容易になります。
自然指数関数の定義域を数直線から複素平面へ拡張することにより得られる関数を複素指数関数と呼びます。複素指数関数を用いて複素数を表現する方法を解説します。
複素数の実部を固定したまま虚部の符号を反転させることにより得られる複素数をもとの複素数の共役複素数や複素共役などと呼びます。共役複素数の性質について解説します。
複素数が底であり、指数が自然数であるような累乗を定義した上で、そのような累乗が満たす性質について解説します。
複素数のn乗根を求める方法を解説します。その上で、係数と変数がともに複素数であるような2次方程式の解を求める方法を解説します。
複素数の絶対値と呼ばれる概念を定義した上で、その代表的な性質について解説します。
複素平面上の2つの点の間のユークリッド距離を定義した上で、距離の性質について解説します。距離が定義された複素平面を1次元複素ユークリッド空間と呼びます。
複素平面の部分集合上に存在する点の絶対値がいずれも何らかの値以下である場合には、そのような部分集合は有界であると言います。
本節を学ぶ上で以下の知識が役に立ちます。
命題論理の基本単位が命題変数であったのに対し、述語論理では命題関数と呼ばれる概念が基本単位となります。それにより扱うことのできる言明の範囲が広がるとともに、量化と呼ばれる操作が可能になります。
本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での基礎になります。
命題論理の基本単位が命題変数であったのに対し、述語論理では命題関数と呼ばれる概念が基本単位となります。それにより扱うことのできる言明の範囲が広がるとともに、量化と呼ばれる操作が可能になります。