複素数の定義

複素数を成分とする順序対を複素数と呼びます。複素数の概念を定義するとともに、複素数を対象とした演算などについて解説します。

学習内容

体としての複素数空間

複素数の概念を定義するとともに、加法と乗法と呼ばれる演算を複素数集合上に定義すれば体が得られることを示します。

複素数の定義

実数を成分とする順序対を複素数と呼びます。複素数は平面上の点として表現したり、平面上の位置ベクトルとして表現できます。

複素数の極形式(極表示)

複素平面上の複素数と原点の間の距離を複素数の絶対値と呼び、複素平面の実部と動径のなす角を偏角と呼びます。絶対値と偏角を指定することを通じて複素数を表現する手法を極形式と呼びます。

複素数の加法(複素数の和)

複素数を被演算子とする「複素数加法」と呼ばれる演算を定義するとともに、その意味や性質などについて解説します。

複素数の減法(複素数の差)

複素数を被演算子とする「複素数減法」と呼ばれる演算を定義するとともに、その意味や性質などについて解説します。

複素数の乗法(複素数の積)

複素数を被演算子とする「複素数乗法」と呼ばれる演算を定義するとともに、その意味や性質などについて解説します。

複素数の除法(複素数の商)

複素数を被演算子とする「複素数除法」と呼ばれる演算を定義するとともに、その意味や性質などについて解説します。

複素数体

複素数空間上定義された加法と乗法は体としての性質を満たします。そこで、加法と乗法が定義された複素数空間を複素数体と呼びます。

複素数体上の順序

複素数体は全順序体にはなり得ません。つまり、複素数加法と複素数乗法に加えていかなる二項関係を定義した場合でも、複素数集合は全順序体にはなりません。ただし、複素数集合上に全順序や半順序を定義することはできます。

複素数空間の性質

複素数に関連する諸々の概念について解説します。

複素数と実数の関係(虚数単位を用いた複素数の表現)

虚部がゼロであるような複素数を実数と同一視する場合、実数空間は虚数空間の部分体になります。その上で、複素数を虚数単位を用いて表記すれば複素数どうしの演算が容易になります。

複素数の指数表現(複素指数関数とオイラーの公式)

自然指数関数の定義域を数直線から複素平面へ拡張することにより得られる関数を複素指数関数と呼びます。複素指数関数を用いて複素数を表現する方法を解説します。

共役複素数(複素共役)

複素数の実部を固定したまま虚部の符号を反転させることにより得られる複素数をもとの複素数の共役複素数や複素共役などと呼びます。共役複素数の性質について解説します。

指数が自然数である場合の複素数の累乗

複素数が底であり、指数が自然数であるような累乗を定義した上で、そのような累乗が満たす性質について解説します。

複素数の根(係数と変数が複素数である2次方程式の解)

複素数のn乗根を求める方法を解説します。その上で、係数と変数がともに複素数であるような2次方程式の解を求める方法を解説します。

複素数の絶対値

複素数の絶対値と呼ばれる概念を定義した上で、その代表的な性質について解説します。

複素平面上の距離(1次元複素ユークリッド空間)

複素平面上の2つの点の間のユークリッド距離を定義した上で、距離の性質について解説します。距離が定義された複素平面を1次元複素ユークリッド空間と呼びます。

複素平面上の有界集合

複素平面の部分集合上に存在する点の絶対値がいずれも何らかの値以下である場合には、そのような部分集合は有界であると言います。

確認テスト

複素数の定義に関する確認テストです。

学習ガイド

大学の数学カリキュラムとWIISのカリキュラムは何が違うのか

多くの大学では入学後すぐに微分積分学や線形代数学を学び、その後に実数論や位相空間論などの理論的な科目へ進みます。一方、WIISでは論理学・集合論の後に実数論を学び、その上で微分積分学へ進むカリキュラムを採用しています。本記事では、それぞれの考え方とWIISの学習順序のメリットについて解説します。

最新の議論

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関連分野

論理学

論理学は、数学における証明や推論の基礎となる分野です。命題論理や述語論理を通じて、論理式、真理値、量化記号、証明の考え方を体系的に解説します。大学数学や理論的な学問を学ぶための出発点となる教材を提供しています。

集合論

集合論は現代数学の共通言語です。集合、写像、関係、濃度、順序関係を中心に、数学のさまざまな分野を理解するための基礎概念を体系的に解説します。実数論、線形代数学、位相空間論などへ進むための土台を築きます。

実数論

実数論では、実数の連続性や極限の概念を基礎から学びます。実数の定義、数列、関数、級数、関数列、数直線の位相、拡大実数系を通じて、解析学の理論的基盤を体系的に理解することを目指します。

ユークリッド空間

ユークリッド空間は、現代数学における解析学と幾何学の出発点です。点列、位相、ベクトル値関数、多変数関数を通じて、高次元空間における極限・連続性・収束の概念を学びます。位相空間論や最適化理論へ進むための重要な基礎を体系的に解説します。

微分積分学

微分積分学では、関数の変化や空間の構造を解析するための基礎理論を学びます。1変数関数からベクトル値関数、スカラー場・ベクトル場、最適化問題までを体系的に扱い、多変数解析学や最適化理論への橋渡しを行います。

複素数列

複素数を順番に並べたものを複素数列と呼びます。複素数列の項が先に進むにつれてある複素数に限りなく近づく場合には、その複素数列は収束すると言い、その複素数を複素数列の極限と呼びます。

複素級数

複素数列の無限個の項を順番通りに加えることにより得られる和を複素級数と呼びます。複素級数の値は、もとの複素数列の部分和を項とする複素級数の極限として定義されます。

複素平面の位相

複素ユークリッド空間上に定義された距離をもとに複素平面上の開集合と呼ばれる概念を定義した上で、その性質や、関連する概念などについて解説します。

複素関数

複素関数と呼ばれる概念を定義した上で、代表的な複素関数について解説します。また、複素関数の極限や連続性などの概念について解説します。

複素関数の微分

複素関数の微分の概念を定義した上で、その基本的な性質について学びます。

複素関数の積分

複素関数の積分の概念を定義した上で、その基本的な性質について学びます。

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