複素数の絶対値
複素数\begin{equation*}
z=a+bi
\end{equation*}が与えられたとき、それに対して、\begin{equation*}
\left\vert z\right\vert =\sqrt{a^{2}+b^{2}}
\end{equation*}と定義される実数をもとの複素数\(z\)の絶対値（absolute value）や大きさ（length）、またはモジュラス（modulus）などと呼びます。
z=6+3i
\end{equation*}の絶対値は、\begin{eqnarray*}
\left\vert z\right\vert &=&\sqrt{6^{2}+3^{2}} \\
&=&\sqrt{45} \\
&=&3\sqrt{5}
\end{eqnarray*}です。また、以下の複素数\begin{equation*}
w=-5-i
\end{equation*}の絶対値は、\begin{eqnarray*}
\left\vert w\right\vert &=&\sqrt{\left( -5\right) ^{2}+\left( -1\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{26}
\end{eqnarray*}です。
z=a
\end{equation*}は実数\(a\)と同一視されますが、定義より、その絶対値は、\begin{eqnarray*}\left\vert z\right\vert &=&\sqrt{a^{2}+0^{2}} \\
&=&\sqrt{a^{2}} \\
&=&\left\vert a\right\vert
\end{eqnarray*}となります。つまり、複素数の絶対値は実数の絶対値の一般化であるということです。具体例を挙げると、以下の複素数\begin{equation*}
z=6
\end{equation*}の絶対値は、\begin{eqnarray*}
\left\vert z\right\vert &=&\left\vert 6\right\vert \\
&=&6
\end{eqnarray*}です。
z=bi
\end{equation*}を純虚数と呼びますが、定義より、その絶対値は、\begin{eqnarray*}
\left\vert z\right\vert &=&\sqrt{0^{2}+b^{2}} \\
&=&\sqrt{b^{2}} \\
&=&\left\vert b\right\vert
\end{eqnarray*}となります。具体例を挙げると、以下の純虚数\begin{equation*}
z=3i
\end{equation*}の絶対値は、\begin{eqnarray*}
\left\vert z\right\vert &=&\left\vert 3\right\vert \\
&=&3
\end{eqnarray*}です。
共役複素数を用いた絶対値の表現
複素数\(z\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left\vert z\right\vert ^{2}=z\overline{z}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\begin{equation*}
\left\vert z\right\vert =\sqrt{z\overline{z}}
\end{equation*}を得ます。複素数\(z\)とその共役複素数\(\overline{z}\)の積をとった上で正の平方根をとれば\(z\)の絶対値が得られるということです。
\end{equation*}が成り立つ。
z=6+3i
\end{equation*}の絶対値は、\begin{eqnarray*}
\left\vert z\right\vert &=&\sqrt{6^{2}+3^{2}} \\
&=&\sqrt{45} \\
&=&3\sqrt{5}
\end{eqnarray*}であるのに対し、\begin{eqnarray*}
z\overline{z} &=&\left( 6+3i\right) \left( 6-3i\right) \\
&=&36-9i^{2} \\
&=&45
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\sqrt{z\overline{z}} &=&\sqrt{45} \\
&=&3\sqrt{5}
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\begin{equation*}
\left\vert z\right\vert =\sqrt{z\overline{z}}
\end{equation*}が成り立ちますが、以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
複素数の極形式の絶対値
非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \)が極形式\begin{equation*}z=r\left[ \cos \left( \theta \right) +\sin \left( \theta \right) i\right]
\end{equation*}で表されている場合、絶対値は、\begin{equation*}
\left\vert z\right\vert =r
\end{equation*}となります。
\left\vert z\right\vert =r
\end{equation*}となる。
複素数の指数表現の絶対値
非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \)の指数表現\begin{equation*}z=re^{i\theta }
\end{equation*}で表されている場合、絶対値は、\begin{equation*}
\left\vert z\right\vert =r
\end{equation*}となります。
\end{equation*}で表されている場合、\begin{equation*}
\left\vert z\right\vert =r
\end{equation*}となる。
複素数の絶対値の幾何学的解釈
複素数\begin{equation*}
z=\mathrm{Re}\left( z\right) +\mathrm{Im}\left( z\right) i
\end{equation*}が複素平面上の点として表現されているものとします（下図）。
先の複素数\(z\)の絶対値は、\begin{equation*}\left\vert z\right\vert =\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( z\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( z\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}ですが、三平方の定理より、これは原点\(O\)と点\(z\)を結ぶ線分\(Oz\)の長さと一致します。
絶対値の非負性
複素数\(z\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left\vert z\right\vert \in \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、複素数の絶対値は必ず非負の実数として定まります。これを絶対値の非負性（non-negativity）と呼びます。
任意の複素数\(z\in \mathbb{C} \)について、\begin{equation*}\left\vert z\right\vert \in \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が成り立つ。
z=6+3i
\end{equation*}の絶対値は、\begin{equation*}
\left\vert z\right\vert =3\sqrt{5}
\end{equation*}であり、以下の複素数\begin{equation*}
v=6
\end{equation*}の絶対値は、\begin{equation*}
\left\vert v\right\vert =6
\end{equation*}であり、以下の複素数\begin{equation*}
w=3i
\end{equation*}の複素数は、\begin{equation*}
\left\vert w\right\vert =3
\end{equation*}です。これらはいずれも非負の実数ですが、以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
絶対値の非退化性
任意の複素数\(z\in \mathbb{C} \)について、以下の関係\begin{equation*}z=0\Leftrightarrow \left\vert z\right\vert =0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、複素数\(z\)が\(0\)と一致することと、\(z\)の絶対値が\(0\)と一致することは必要十分です。これを絶対値の非退化性（non-degeneracy）と呼びます。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、\begin{equation*}
z\not=0\Leftrightarrow \left\vert z\right\vert \not=0
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、絶対値\(\left\vert z\right\vert \)は非負の実数だけを値としてとり得るため、\(\left\vert z\right\vert \not=0\)と\(\left\vert z\right\vert >0\)は必要十分であり、したがって、\begin{equation*}z\not=0\Leftrightarrow \left\vert z\right\vert >0
\end{equation*}を得ます。つまり、複素数\(z\)が非ゼロであることと、\(z\)の絶対値が正の実数であることは必要十分です。
任意の複素数\(z,w\in \mathbb{C} \)について、\begin{equation*}z=w\Leftrightarrow \left\vert z-w\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つことが非退化性から導かれます。これを絶対値の不可識別者同一性（identity of indiscernibles）と呼びます。逆に、不可識別者同一性から非退化性を導くこともできるため両者は必要十分です。
&&\left( a\right) \ \forall z\in \mathbb{C} :\left( z=0\Leftrightarrow \left\vert z\right\vert =0\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :\left( z=w\Leftrightarrow \left\vert z-w\right\vert =0\right)
\end{eqnarray*}は必要十分である。
絶対値の偶性
複素数\(z\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left\vert z\right\vert =\left\vert -z\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、複素数\(z\)の絶対値は、その加法逆元\(-z\)の絶対値と一致します。これを絶対値の偶性（evenness）と呼びます。
\end{equation*}が成り立つ。
z=6+3i
\end{equation*}の絶対値は、\begin{equation*}
\left\vert z\right\vert =3\sqrt{5}
\end{equation*}であるのに対し、加法逆元\begin{equation*}
-z=-6-3i
\end{equation*}の絶対値は、\begin{equation*}
\left\vert -z\right\vert =3\sqrt{5}
\end{equation*}です。したがって、\begin{equation*}
\left\vert z\right\vert =\left\vert -z\right\vert
\end{equation*}が成り立ちますが、以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
共役複素数の絶対値
複素数\(z\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left\vert z\right\vert =\left\vert \overline{z}\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、複素数\(z\)の絶対値は、その共役複素数\(\overline{z}\)の絶対値と一致します。
\end{equation*}が成り立つ。
z=6+3i
\end{equation*}の絶対値は、\begin{equation*}
\left\vert z\right\vert =3\sqrt{5}
\end{equation*}であるのに対し、共役複素数\begin{equation*}
\overline{z}=6-3i
\end{equation*}の絶対値は、\begin{equation*}
\left\vert \overline{z}\right\vert =3\sqrt{5}
\end{equation*}です。したがって、\begin{equation*}
\left\vert z\right\vert =\left\vert \overline{z}\right\vert
\end{equation*}が成り立ちますが、以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
絶対値の乗法性
複素数\(z,w\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left\vert zw\right\vert =\left\vert z\right\vert \left\vert w\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、複素数の積の絶対値（左辺）は絶対値の積（右辺）に等しいということです。これを絶対値の乗法性（multiplicativity）と呼びます。
任意の複素数\(z,w\in \mathbb{C} \)について、\begin{equation*}\left\vert zw\right\vert =\left\vert z\right\vert \left\vert w\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。
\text{累乗の定義} \\
&=&\left\vert z\right\vert \left\vert z\right\vert \quad \because \text{乗法性} \\
&=&\left\vert z\right\vert ^{2}\quad \because \text{累乗の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left\vert z^{2}\right\vert =\left\vert z\right\vert ^{2}
\end{equation*}が成り立ちます。
\quad \because \text{累乗の定義} \\
&=&\left\vert z\right\vert \cdot \cdots \cdot \left\vert z\right\vert \quad
\because \text{乗法性} \\
&=&\left\vert z\right\vert ^{n}\quad \because \text{累乗の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left\vert z^{n}\right\vert =\left\vert z\right\vert ^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。
複素数の除法性
非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left\vert \frac{1}{z}\right\vert =\frac{1}{\left\vert z\right\vert }
\end{equation*}が成り立ちます。複素数の逆数の絶対値は絶対値の逆数と一致するということです。
\end{equation*}が成り立つ。
以上の命題を用いると、任意の複素数\(z\in \mathbb{C} \)および非ゼロの複素数\(w\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}\left\vert \frac{z}{w}\right\vert =\frac{\left\vert z\right\vert }{\left\vert w\right\vert }
\end{equation*}が成り立つことが示されます。複素数の商の絶対値は絶対値の商と一致するということです。これを絶対値の除法性（divisibility）と呼びます。
複素数\(z\in \mathbb{C} \)および非ゼロの複素数\(w\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left\vert \frac{z}{w}\right\vert =\frac{\left\vert z\right\vert }{\left\vert w\right\vert }
\end{equation*}が成り立つ。
z &=&1-2i \\
w &=&3+i
\end{eqnarray*}について、\begin{eqnarray*}
\frac{z}{w} &=&\frac{\left( 1-2i\right) \left( 3-i\right) }{\left(
3+i\right) \left( 3-i\right) } \\
&=&\frac{3-i-6i+2i^{2}}{9-i^{2}} \\
&=&\frac{1-7i}{10}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\left\vert \frac{z}{w}\right\vert &=&\sqrt{\left( \frac{1}{10}\right)
^{2}+\left( -\frac{7}{10}\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{\frac{1+49}{100}} \\
&=&\sqrt{\frac{1}{2}} \\
&=&\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{eqnarray*}を得ます。その一方で、\begin{eqnarray*}
\frac{\left\vert z\right\vert }{\left\vert w\right\vert } &=&\frac{\sqrt{1^{2}+\left( -2\right) ^{2}}}{\sqrt{3^{2}+1^{2}}} \\
&=&\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}} \\
&=&\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert \frac{z}{w}\right\vert =\frac{\left\vert z\right\vert }{\left\vert w\right\vert }
\end{equation*}を得ます。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
実部・虚部の絶対値
複素数\(z\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left\vert \mathrm{Re}\left( z\right) \right\vert \leq
\left\vert z\right\vert \\
&&\left( b\right) \ \left\vert \mathrm{Im}\left( z\right) \right\vert \leq
\left\vert z\right\vert \\
&&\left( c\right) \ \left\vert z\right\vert \leq \left\vert \mathrm{Re}\left(
z\right) \right\vert +\left\vert \mathrm{Im}\left( z\right) \right\vert
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、絶対値\(z\)の実部の絶対値や虚部の絶対値は\(z\)の絶対値以下であり、実部の絶対値と虚部の絶対値の和は\(z\)の絶対値以上になります。
\left\vert z\right\vert \\
&&\left( b\right) \ \left\vert \mathrm{Im}\left( z\right) \right\vert \leq
\left\vert z\right\vert \\
&&\left( c\right) \ \left\vert z\right\vert \leq \left\vert \mathrm{Re}\left(
z\right) \right\vert +\left\vert \mathrm{Im}\left( z\right) \right\vert
\end{eqnarray*}が成り立つ。
劣加法性と三角不等式
複素数\(z,w\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left\vert z+w\right\vert \leq \left\vert z\right\vert +\left\vert
w\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、複素数の和の絶対値は絶対値の和以下です。これを劣加法性（subadditivity）と呼びます。
w\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。
任意の複素数\(z,v,w\in \mathbb{C} \)について、\begin{equation*}\left\vert z-w\right\vert \leq \left\vert z-v\right\vert +\left\vert
v-w\right\vert
\end{equation*}が成り立つことが劣加法性から導かれます。これを三角不等式（triangle inequality）と呼びます。逆に、三角不等式から劣加法性を導くこともできるため両者は必要十分です。
&&\left( a\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :\left\vert z+w\right\vert \leq \left\vert z\right\vert +\left\vert
w\right\vert \\
&&\left( b\right) \ \forall z,v,w\in \mathbb{C} :\left\vert z-w\right\vert \leq \left\vert z-v\right\vert +\left\vert
v-w\right\vert
\end{eqnarray*}は必要十分である。
劣加法性や三角不等式は2つの複素数の和や差の絶対値がとり得る値の最大値を与える関係式です。一方、逆向きの三角不等式（reverse triangle inequality）は2つの複素数の和や差が取り得る値の最小値を与えます。これは、任意の複素数\(z,w\in \mathbb{C} \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert
w\right\vert \right\vert \leq \left\vert z-w\right\vert \\
&&\left( b\right) \ \left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert
w\right\vert \right\vert \leq \left\vert z+w\right\vert
\end{eqnarray*}が成り立つという命題です。これは劣加法性から導かれます。
w\right\vert \right\vert \leq \left\vert z-w\right\vert \\
&&\left( b\right) \ \left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert
w\right\vert \right\vert \leq \left\vert z+w\right\vert
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
演習問題
\left\vert \frac{1}{5+12i}\right\vert
\end{equation*}を計算してください。
\left\vert \frac{\left( 1+2i\right) ^{12}}{\left( 1-2i\right) ^{9}}\right\vert
\end{equation*}を計算してください。
z=a+bi
\end{equation*}が与えられているものとします。以下の値\begin{equation*}
\left\vert z-1-3i\right\vert ^{2}
\end{equation*}を\(a\)と\(b\)を用いて表現してください。
z=a+bi
\end{equation*}が与えられているものとします。以下の値\begin{equation*}
\left\vert z+5\overline{z}\right\vert
\end{equation*}を\(a\)と\(b\)を用いて表現してください。
\end{equation*}を満たすものとします。その上で、以下の値\begin{equation*}
\left\vert \frac{-1}{z^{4}-5z+1}\right\vert
\end{equation*}の上界を求めてください。
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