複素数の加法
複素数集合\(\mathbb{C} \)の要素である2つの複素数\begin{eqnarray*}z &=&\left( \mathrm{Re}\left( z\right) ,\mathrm{Im}\left( z\right) \right) \in \mathbb{C} \\
w &=&\left( \mathrm{Re}\left( w\right) ,\mathrm{Im}\left( w\right) \right) \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}が与えられたとき、これらの実部どうしの和を実部とし、虚部どうしの和を虚部とする新たな複素数を、\begin{equation*}
z+w=\left( \mathrm{Re}\left( z\right) +\mathrm{Re}\left( w\right) ,\mathrm{Im}\left( z\right) +\mathrm{Im}\left( w\right) \right) \in \mathbb{C} \end{equation*}で表記し、これを\(z\)と\(w\)の和（sum）と呼びます。右辺中の\(+\)はともに\(\mathbb{R} \)上の加法を表す記号であるのに対し、左辺中の\(+\)は新たに定義された\(\mathbb{C} \)上の加法を表す記号であることに注意してください。両者を同じ記号を用いて表記するため注意が必要です。
複素数\(z,w\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)は加法\(+\)について閉じていることから和\(z+w\)の実部\(\mathrm{Re}\left( z\right) +\mathrm{Re}\left( w\right) \)と虚部\(\mathrm{Im}\left( z\right) +\mathrm{Im}\left( w\right) \)はそれぞれ1つの実数として定まるため、\(z+w\)が1つの複素数として定まることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall z,w\in \mathbb{C} :z+w\in \mathbb{C} \end{equation*}が成り立ちます。このことを指して、\(\mathbb{C} \)は\(+\)について閉じている（\(\mathbb{C} \) is closed under \(+\)）と言います。このような事情を踏まえると、それぞれの順序対\(\left( z,w\right) \in \mathbb{C} \times \mathbb{C} \)に対して和\(z+w\in \mathbb{C} \)を1つずつ定める二項演算\begin{equation*}+:\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。この演算を複素数の加法（addition of complex numbers）と呼びます。順序対\(\left( z,w\right) \)に対して加法\(+\)を適用することを\(z\)と\(w\)を足す（add）と言います。
\left( a,b\right) &\in &\mathbb{C} \\
\left( c,d\right) &\in &\mathbb{C} \end{eqnarray*}を任意に選んだとき、それらの和は、\begin{equation*}
\left( a,b\right) +\left( c,d\right) =\left( a+c,b+d\right) \in \mathbb{C} \end{equation*}となります。ただし、左辺中の\(+\)は複素数の加法を表す記号であり、右辺中の\(+\)はともに実数の加法を表す記号です。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}\left( 1,0\right) +\left( 0,1\right) &=&\left( 1,1\right) \\
\left( 0,1\right) +\left( 1,0\right) &=&\left( 1,1\right) \\
\left( 0,0\right) +\left( 0,0\right) &=&\left( 0,0\right) \\
\left( 1,-1\right) +\left( -2,3\right) &=&\left( -1,2\right) \\
\left( \frac{1}{2},-\frac{1}{3}\right) +\left( -\frac{1}{2}+1\right)
&=&\left( 0,\frac{2}{3}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
ベクトル加法としての複素数加法
複素平面上に存在する2つの点\(Z,W\)を選んだ上で、これらの点の位置ベクトルに相当する複素数を、\begin{eqnarray*}z &\in &\mathbb{C} \\
w &\in &\mathbb{C} \end{eqnarray*}でそれぞれ表現します。つまり、ベクトル\(\overrightarrow{OZ}\)の終点座標が\(z\)であり、ベクトル\(\overrightarrow{OW}\)の終点座標が\(w\)です。
これらの位置ベクトル\(z,w\)の複素数としての和\begin{equation*}z+w\in \mathbb{C} \end{equation*}は2つの位置ベクトル\(z,w\)のベクトル和と一致するため、これはベクトル\(\overrightarrow{OZ}+\overrightarrow{OW}\)の終点座標と一致します。つまり、\(z+w\)は2つのベクトル\(\overrightarrow{OZ},\overrightarrow{OW}\)によって形作られる平行四辺形の対角線の終点の位置ベクトルと一致します。
複素数の和の極形式
非ゼロの複素数\(z_{1},z_{2}\in \mathbb{C} \)の極形式\begin{eqnarray*}z_{1} &=&\left( r_{1}\cos \left( \theta _{1}\right) ,r_{1}\sin\left( \theta
_{1}\right) \right) \\
z_{2} &=&\left( r_{2}\cos \left( \theta _{2}\right) ,r_{2}\sin\left( \theta
_{2}\right) \right)
\end{eqnarray*}が与えられている場合、これらの和は、\begin{equation*}
z_{1}+z_{2}=\left( r_{1}\cos \left( \theta _{1}\right) +r_{2}\cos \left(
\theta _{2}\right) ,r_{1}\sin \left( \theta _{1}\right) +r_{2}\sin \left(
\theta _{2}\right) \right)
\end{equation*}となります。ただし、このままでは\(z_{1}+z_{2}\)の絶対値と偏角を特定できません。
極形式で表現された複素数\(z_{1},z_{2}\)の和\(z_{1}+z_{2}\)を極形式で表現するためには、\(z_{1},z_{2}\)を標準形\begin{eqnarray*}z_{1} &=&\left( \mathrm{Re}\left( z_{1}\right) ,\mathrm{Im}\left( z_{1}\right)
\right) \\
z_{2} &=&\left( \mathrm{Re}\left( z_{2}\right) ,\mathrm{Im}\left( z_{2}\right)
\right)
\end{eqnarray*}に変換してからこれらの和\begin{equation*}
z_{1}+z_{2}=\left( \mathrm{Re}\left( z_{1}\right) +\mathrm{Re}\left(
z_{2}\right) ,\mathrm{Im}\left( z_{1}\right) +\mathrm{Im}\left( z_{2}\right)
\right)
\end{equation*}をとり、さらにこれを極形式に変換することになります。
\left( \frac{3\pi }{4}\right) \right) \\
z_{2} &=&\left( 3\cos \left( \frac{\pi }{2}\right) ,3\sin \left( \frac{\pi }{2}\right) \right)
\end{eqnarray*}で表現されているものとします。これらを標準形で表現すると、\begin{eqnarray*}
z_{1} &=&\left( -4,4\right) \\
z_{2} &=&\left( 0,3\right)
\end{eqnarray*}を得るため、\begin{eqnarray*}
z_{1}+z_{2} &=&\left( -4,4\right) +\left( 0,3\right) \\
&=&\left( -4,7\right)
\end{eqnarray*}となります。絶対値と偏角は、\begin{eqnarray*}
\left\vert z_{1}+z_{2}\right\vert &=&\sqrt{65} \\
\arg \left( z_{1}+z_{2}\right) &=&2.09
\end{eqnarray*}であるため、\(z_{1}+z_{2}\)の極形式は、\begin{equation*}\left( \sqrt{65}\cos \left( 2.09\right) ,\sqrt{65}\sin \left( 2.09\right)
\right)
\end{equation*}となります（演習問題）。
複素数加法の結合律
複素数加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( C_{1}\right) \ \forall z,v,w\in \mathbb{C} :\left( z+v\right) +w=z+\left( v+w\right)
\end{equation*}を満たします。以上の性質を複素数加法に関する結合律（associative law）と呼びます。
括弧\(\left( \ \right) \)は複素数加法\(+\)を適用する順番を表す記号です。つまり、左辺\(\left( z+v\right) +w\)は、はじめに\(z\)と\(v\)を足した上で、得られた結果\(z+v\)と\(w\)をさらに足すことにより得られる複素数です。右辺の\(z+\left( v+w\right) \)は、はじめに\(v\)と\(w\)を足した上で、\(z\)と先の結果\(v+w\)を足すことにより得られる複素数です。結合律はこれらの複素数が等しいことを保証します。つまり、3つの複素数\(z,v,w\)に対して複素数加法を適用する際には、隣り合うどの2つを先に足しても得られる結果は変わらないということです。
\end{equation*}を満たす。
ゼロ（複素数加法単位元）
\(\mathbb{C} \)の要素である複素数は実数を成分とする順序対として定義されるため、実部と虚部がともに\(0\)であるような複素数\begin{equation*}\boldsymbol{0}=\left( 0,0\right) \in \mathbb{C} \end{equation*}が存在します。これをゼロ（zero）と呼びます。
複素数加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( C_{2}\right) \ \exists \boldsymbol{0}\in \mathbb{C} ,\ \forall z\in \mathbb{C} :z+\boldsymbol{0}=z
\end{equation*}を満たします。つまり、先の理由によりゼロ\(\boldsymbol{0}\)が存在しますが、任意の複素数\(z\)に対してゼロ\(\boldsymbol{0}\)を足してもその結果は\(z\)のままであるということです。このような事情を踏まえた上で、ゼロ\(\boldsymbol{0}\)を複素数加法単位元（identity element of addition of complex numbers）と呼ぶ場合もあります。
\end{equation*}を満たす。
\(\mathbb{R} \)の加法単位元\(0\)は一意的であるため、\(0\)を成分として持つ複素数として定義されるゼロ\(\boldsymbol{0}\)もまた一意的です。
複素数加法逆元
複素数\begin{equation*}
z=\left( \mathrm{Re}\left( z\right) ,\mathrm{Im}\left( z\right) \right) \in \mathbb{C} \end{equation*}の実部\(\mathrm{Re}\left( z\right) \)と虚部\(\mathrm{Im}\left( z\right) \)は実数ですが、任意の実数は加法逆元を持つため、以下のような複素数\begin{equation*}-z=\left( -\mathrm{Re}\left( z\right) ,-\mathrm{Im}\left( z\right) \right) \in \mathbb{C} \end{equation*}が存在することが保証されます。これを\(z\)の複素数加法逆元（inverse element of addition of complex numbers）と呼びます。
複素数加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( C_{3}\right) \ \forall z\in \mathbb{C} ,\ \exists -z\in \mathbb{C} :z+\left( -z\right) =\boldsymbol{0}
\end{equation*}を満たします。つまり、複素数\(z\)を任意に選んだとき、先の理由によりその加法逆元\(-z\)が存在することが保証されますが、\(z\)と\(-z\)の和はゼロと一致することが保証されるということです。
複素数加法\(+:\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)は、\begin{equation*}\left( C_{3}\right) \ \forall z\in \mathbb{C} ,\ \exists -z\in \mathbb{C} :z+\left( -z\right) =\boldsymbol{0}
\end{equation*}を満たす。
それぞれの実数に対してその加法逆元は一意的に定まるため、それぞれの複素数\(z\)に対してその加法逆元\(-z\)は一意的に定まります。
複素数加法の交換律
複素数加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( C_{4}\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :z+w=w+z
\end{equation*}を満たします。以上の性質を複素数加法に関する交換律（commutative law）と呼びます。
本来、2つの複素数\(z,w\)を成分とする順序対\(\left( z,w\right) ,\left( w,z\right) \)は異なるものとして区別されるため、\(\left( z,w\right) \)に複素数加法を適用して得られる複素数\(z+w\)と、\(\left(w,z\right) \)に複素数加法を適用して得られる複素数\(w+z\)もまた区別されるべきですが、交換律はこれらが等しい複素数であることを保証します。
\end{equation*}を満たす。
可換群としての複素数空間
これまで明らかになった複素数加法の性質を改めて整理すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( C_{1}\right) \ \forall z,v,w\in \mathbb{C} :\left( z+v\right) +w=z+\left( v+w\right) \\
&&\left( C_{2}\right) \ \exists \boldsymbol{0}\in \mathbb{C} ,\ \forall z\in \mathbb{C} :z+\boldsymbol{0}=z \\
&&\left( C_{3}\right) \ \forall z\in \mathbb{C} ,\ \exists -z\in \mathbb{C} :z+\left( -z\right) =\boldsymbol{0} \\
&&\left( C_{4}\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :z+w=w+z
\end{eqnarray*}となります。
加法\(+\)が\(\left( C_{1}\right) \)を満たすことは\(\mathbb{C} \)が加法\(+\)に関して半群（semigroup）であることを意味します。また、\(\left( C_{1}\right) \)に加えて\(\left(C_{2}\right) \)を満たすことは\(\mathbb{C} \)が加法\(+\)に関してモノイド（monoid）であることを意味します。さらに、\(\left( C_{1}\right) ,\left( C_{2}\right) \)に加えて\(\left( C_{3}\right) \)が成り立つことは\(\mathbb{C} \)が加法\(+\)に関して群（group）であることを意味します。また、\(\left(C_{1}\right) ,\left( C_{2}\right) ,\left( C_{3}\right) \)に加えて\(\left( C_{4}\right) \)が成り立つことは\(\mathbb{C} \)が加法\(+\)に関して可換群（commutative group）またはアーベル群（abelian group）であることを意味します。
複素数の加法逆元の加法逆元
複素数\(z\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\(\left( C_{3}\right) \)より加法逆元\(-z\)に相当する複素数が存在します。\(-z\)は複素数であるため、やはり\(\left( C_{3}\right) \)より、さらにその加法逆元\(-\left(-z\right) \)に相当する複素数が存在しますが、これはもとの複素数\(z\)と一致します。つまり、\begin{equation*}-\left( -z\right) =z
\end{equation*}が成り立ちます。任意の複素数\(z\)について、その加法逆元の加法逆元は\(z\)と一致するということです。
\end{equation*}が成り立つ。
ゼロの加法逆元
\(\left( C_{2}\right) \)よりゼロ\(\boldsymbol{0}\in \mathbb{C} \)は複素数であるため、\(\left( C_{3}\right) \)より加法逆元\(-\boldsymbol{0}\)に相当する複素数が存在しますが、これは\(\boldsymbol{0}\)自身と一致します。つまり、\begin{equation*}-\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立ちます。ゼロの加法逆元はゼロであるということです。
複素数空間\(\mathbb{C} \)の要素であるゼロ\(\boldsymbol{0}\in \mathbb{C} \)について、\begin{equation*}-\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立つ。
演習問題
z_{2} &=&\left( -3,0\right) \\
z_{3} &=&\left( 0,5\right)
\end{eqnarray*}として与えられているとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ z_{1}+z_{2} \\
&&\left( b\right) \ z_{2}+z_{3} \\
&&\left( c\right) \ z_{1}+\left( -z_{3}\right) \\
&&\left( d\right) \ -\left( -z_{3}\right) +\left( -z_{1}\right) +z_{2}
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\forall z,w\in \mathbb{C} :\mathrm{Re}\left( z+w\right) =\mathrm{Re}\left( z\right) +\mathrm{Re}\left(
w\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\left( \frac{3\pi }{4}\right) \right) \\
z_{2} &=&\left( 3\cos \left( \frac{\pi }{2}\right) ,3\sin \left( \frac{\pi }{2}\right) \right)
\end{eqnarray*}で表現されているものとします。和\(z_{1}+z_{2}\)を極形式で表現してください。
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