複素平面上の有界集合

複素平面上の有界集合

複素平面\(\mathbb{C} \)の非空な部分集合\(A\subset \mathbb{C} \)が与えられたとき、\(A\)に属するすべての複素数の絶対値がある値以下であるならば、すなわち、\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \forall z\in A:\left\vert z\right\vert \leq U
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)は\(\mathbb{C} \)上において有界である（bounded in \(\mathbb{C} \)）と言います。絶対値の定義より、以上の命題は、\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \forall z\in A:\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( z\right) \right] ^{2}+\left[
\mathrm{Im}\left( z\right) \right] ^{2}}\leq U
\end{equation*}と必要十分です。

空集合\(\phi \subset \mathbb{C} \)については、これを有界であるものと定めます。

複素平面\(\mathbb{C} \)の非空な部分集合\(A\subset \mathbb{C} \)は有界であるとは限りません。\(A\)が有界ではないことは、\begin{equation*}\forall U\in \mathbb{R} ,\ \exists z\in A:\left\vert z\right\vert >U
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、どのような値\(U\)を選んだ場合でも、\(A\)上の何らかの複素数\(z\)の絶対値が\(U\)を上回ってしまうということです。このとき、\(A\)は\(\mathbb{C} \)上において有界ではない（not bounded in \(\mathbb{C} \)）とか非有界である（unbounded in \(\mathbb{C} \)）などと言います。

実部と虚部を用いた有界性の表現

複素平面\(\mathbb{C} \)の非空な部分集合\(A\subset \mathbb{C} \)が与えられれば、\(A\)上に存在する複素数の実部からなる集合と虚部からなる集合\begin{eqnarray*}&&\left\{ \mathrm{Re}\left( z\right) \in \mathbb{R} \ |\ z\in A\right\} \\
&&\left\{ \mathrm{Im}\left( z\right) \in \mathbb{R} \ |\ z\in A\right\}
\end{eqnarray*}が得られます。これらの集合がともに\(\mathbb{R} \)上において有界であることは、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists U_{1},L_{1}\in \mathbb{R} ,\ \forall z\in A:L_{1}\leq \mathrm{Re}\left( z\right) \leq U_{1} \\
&&\left( b\right) \ \exists U_{2},L_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall z\in A:L_{2}\leq \mathrm{Im}\left( z\right) \leq U_{2}
\end{eqnarray*}がともに成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{C} \)上において有界であることと必要十分です。

先の命題の否定より、複素平面\(\mathbb{C} \)の非空な部分集合\(A\subset \mathbb{C} \)に対して、以下の2つの集合\begin{eqnarray*}&&\left\{ \mathrm{Re}\left( z\right) \in \mathbb{R} \ |\ z\in A\right\} \\
&&\left\{ \mathrm{Im}\left( z\right) \in \mathbb{R} \ |\ z\in A\right\}
\end{eqnarray*}の少なくとも一方が\(\mathbb{R} \)上において非有界であることと、\(A\)が\(\mathbb{C} \)上において非有界であることは必要十分です。

距離を用いた有界性の表現

複素平面\(\mathbb{C} \)の非空な部分集合\(A\subset \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}\exists z\in \mathbb{C} ,\ \exists \varepsilon >0,\ \forall w\in A:\left\vert z-w\right\vert
<\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、つまり、\(A\)の任意の点からの距離がある有限な実数よりも小さくなるような複素数が存在することは、\(A\)が\(\mathbb{C} \)上で有界であるための必要十分条件です。

先の命題の否定より、複素平面\(\mathbb{C} \)の非空な部分集合\(A\subset \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}\forall z\in \mathbb{C} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists w\in A:\left\vert z-w\right\vert \geq
\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{C} \)上において非有界であるための必要十分条件です。つまり、複素数\(z\)と距離\(\varepsilon \)を任意に選んだとき、\(A\)上に存在する何らかの複素数と\(z\)の間の距離が\(\varepsilon \)以上になってしまうことは、\(A\)が\(\mathbb{C} \)上において非有界であるための必要十分条件です。

距離を用いた有界性の別の表現

複素平面\(\mathbb{C} \)の非空な部分集合\(A\subset \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall z,w\in A:\left\vert z-w\right\vert
<\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、つまり、\(A\)の任意の2つの点の間の距離がある有限な実数より小さいことは、\(A\)が\(\mathbb{C} \)上で有界であるための必要十分条件です。

先の命題の否定より、複素平面\(\mathbb{C} \)の非空な部分集合\(A\subset \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists z,w\in A:\left\vert z-w\right\vert \geq
\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{C} \)上において非有界であるための必要十分条件です。つまり、どのような距離\(\varepsilon \)を選んだ場合でも、\(A\)上の何らかの2つの点の間の距離が\(\varepsilon \)以上になってしまうことは、\(A\)が非有界集合であるための必要十分条件です。

点の近傍を用いた有界性の表現

複素数\(a\in \mathbb{C} \)と正の実数\(\varepsilon >0\)が与えられたとき、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある複素数からなる集合を、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert <\varepsilon \right\}
\end{equation*}で表記し、これを点\(a\)の近傍（neighborhood of \(a\)）や開近傍（open neighborhoodof \(a\)）などと呼びます。また、\(a\)を近傍の中心（center）と呼び、\(\varepsilon \)を近傍の半径（radius）と呼びます。距離の対称性より、任意の\(a,z\in \mathbb{C} \)について、\begin{equation*}\left\vert z-a\right\vert =\left\vert a-z\right\vert
\end{equation*}が成り立つため、点\(a\in \mathbb{C} \)が中心であり半径が\(\varepsilon >0\)であるような近傍を、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert a-z\right\vert <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。

複素平面\(\mathbb{C} \)の非空な部分集合\(A\subset \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}\exists z\in \mathbb{C} ,\ \exists \varepsilon >0:A\subset N_{\varepsilon }\left( z\right)
\end{equation*}が成り立つことは、つまり、\(A\)が何らかの複素数を中心とする何らかの近傍によって覆われることは、\(A\)が\(\mathbb{C} \)上で有界であるための必要十分条件です。

先の命題の否定より、複素平面\(\mathbb{C} \)の非空な部分集合\(A\subset \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}\forall z\in \mathbb{C} ,\ \forall \varepsilon >0:A\not\subset N_{\varepsilon }\left( z\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall z\in \mathbb{C} ,\ \forall \varepsilon >0:A\cap \left( N_{\varepsilon }\left( z\right)
\right) ^{c}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{C} \)上において非有界であるための必要十分条件です。つまり、\(A\)がいかなる複素数を中心とするいかなる近傍によって覆われないことは、\(A\)が\(\mathbb{C} \)上で非有界であるための必要十分条件です。

点の近傍を用いた有界性の別の表現

先の命題より、複素平面\(\mathbb{C} \)の非空な部分集合\(A\subset \mathbb{C} \)が有界であることは、何らかの複素数を中心とする何らかの近傍によって\(A\)が覆われることと必要十分であることが明らかになりました。ただ、実際には、複素数を自由に選んだ上で、その点を中心とする近傍だけを候補とすることができます。つまり以下の命題が成り立ちます。

先の命題の否定より、複素平面\(\mathbb{C} \)の非空な部分集合\(A\subset \mathbb{C} \)と点\(a\in \mathbb{C} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:A\not\subset N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:A\cap \left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right)
^{c}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{C} \)上において非有界であるための必要十分条件です。つまり、\(A\)が事前に選んだ複素数\(a\)を中心とするいかなる近傍によって覆われないことは、\(A\)が\(\mathbb{C} \)上で非有界であるための必要十分条件です。

有界集合と包含関係

有界集合の部分集合もまた有界集合です。

有界集合と共通部分

任意個の有界集合の共通部分もまた有界集合です。

先の命題において添字集合\(\Lambda \)は任意の集合です。つまり、\(\Lambda \)が有限集合である状況を想定すれば、有限個の有界集合の共通部分は有界であるという主張になり、\(\Lambda \)が可算ないし非可算な無限集合である状況を想定すれば、無限個の有界集合の共通部分は有界であるという主張になります。

有界集合と和集合

有限個の有界集合の和集合もまた有界集合です。

以上の命題を踏まえると、有限個の点の近傍によって覆われる集合が有界であることが導かれます。