共役複素数（複素共役）

共役複素数（複素共役）

複素数\begin{equation*}
z=a+bi
\end{equation*}が与えられたとき、\(z\)の実部はそのままで虚部の符号を反転することにより得られる複素数を、\begin{equation*}\overline{z}=a-bi
\end{equation*}で表記し、これをもとの複素数\(z\)の共役複素数（conjugate complex number）や複素共役（complex conjugate）などと呼びます。

複素数\(z\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、定義より、以下の関係\begin{eqnarray*}\mathrm{Re}\left( z\right) &=&\mathrm{Re}\left( \overline{z}\right) \\
\mathrm{Im}\left( z\right) &=&-\mathrm{Im}\left( \overline{z}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、複素数\(z\)とその共役複素数\(\overline{z}\)の実部は一致する一方で、虚部の符号は反転します。

複素数の極形式の共役複素数

非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \)が極形式\begin{equation*}z=r\left[ \cos \left( \theta \right) +\sin \left( \theta \right) i\right] \end{equation*}で表されている場合、共役複素数は、\begin{equation*}
\overline{z}=r\left[ \cos \left( \theta \right) -\sin \left( \theta \right) i\right] \end{equation*}となります。

複素数の指数表現の共役複素数

非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \)の指数表現\begin{equation*}z=re^{i\theta }
\end{equation*}が与えられている場合、共役複素数は、\begin{equation*}
\overline{r}=re^{-i\theta }
\end{equation*}となります。

共役複素数の幾何学的解釈

虚部\(\mathrm{Im}\left( z\right) \)が非ゼロであるような複素数\begin{equation*}z=\mathrm{Re}\left( z\right) +\mathrm{Im}\left( z\right) i
\end{equation*}が複素平面上の点として表現されているものとします（下図）。

先の複素数\(z\)の共役複素数は、\begin{equation*}\overline{z}=\mathrm{Re}\left( z\right) -\mathrm{Im}\left( z\right) i
\end{equation*}であるため、\(z\)と\(\overline{z}\)は実軸に関して対称的な位置にあります。

ちなみに、虚部が\(\mathrm{Im}\left( z\right) =0\)の場合には\(z=\overline{z}\)となるため、この場合には\(z\)と\(\overline{z}\)は実軸上にある同一の点として表現されます。

共役複素数の共役複素数

複素数\(z\in \mathbb{C} \)が与えられたとき、共役複素数は複素数であるため\(\overline{z}\in \mathbb{C} \)であり、したがってその共役複素数\(\overline{\left( \overline{z}\right) }\in \mathbb{C} \)をとることができますが、これはもとの複素数\(z\)と一致します。つまり、\begin{equation*}\overline{\left( \overline{z}\right) }=z
\end{equation*}が成り立ちます。共役複素数の共役複素数はもとの複素数と一致するということです。

共役複素数と加法

複素数\(z,w\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、複素数の和の共役複素数（左辺）は共役複素数の和（右辺）と一致します。

共役複素数と減法

複素数\(z,w\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\overline{z-w}=\overline{z}-\overline{w}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、複素数の差の共役複素数（左辺）は共役複素数の差（右辺）と一致します。

共役複素数と乗法

複素数\(z,w\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\overline{zw}=\overline{z}\ \overline{w}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、複素数の積の共役複素数（左辺）は共役複素数の積（右辺）と一致します。

共役複素数と除法

複素数\(z\in \mathbb{C} \)および非ゼロの複素数\(w\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\overline{\left( \frac{z}{w}\right) }=\frac{\overline{z}}{\overline{w}}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、複素数の商の共役複素数（左辺）は共役複素数の商（右辺）と一致します。

共役複素数を用いた除法の演算

非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられており、これが虚数単位を用いて、\begin{equation*}z=a+bi
\end{equation*}と表現されているものとします。非ゼロの複素数の乗法逆元は複素数であるため\(z^{-1}\in \mathbb{C} \)が成り立ちます。さらに、\begin{eqnarray*}z^{-1} &=&\frac{\boldsymbol{1}}{z}\quad \because \text{乗法逆元と乗法の関係} \\
&=&\frac{1+0i}{z} \\
&=&\frac{1}{z}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
z^{-1}=\frac{1}{z} \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。つまり、非ゼロの複素数\(z\)の乗法逆元は\(z\)の逆数と一致します。さらに、これを\(a+bi\)の形で表現するためには分子と分母に共役複素数\(\overline{z}\)を掛けます。具体的には、\begin{eqnarray*}z^{-1} &=&\frac{1}{z}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\frac{1\overline{z}}{z\overline{z}}\quad \because \text{分子と分母に}\overline{z}\text{をかける} \\
&=&\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}\quad \because \text{乗法単位元の定義} \\
&=&\frac{a-bi}{\left( a+bi\right) \left( a-bi\right) }\quad \because z=a+bi
\\
&=&\frac{a-bi}{a^{2}-b^{2}i^{2}} \\
&=&\frac{a-bi}{a^{2}+b^{2}}\quad \because i^{2}=-1 \\
&=&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}i
\end{eqnarray*}となります。

複素数\(z\in \mathbb{C} \)および非ゼロの複素数\(w\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられており、これらが虚数単位を用いて、\begin{eqnarray*}z &=&a+bi \\
w &=&c+di
\end{eqnarray*}と表現されているものとします。複素数を非ゼロの複素数で割った結果は複素数であるため\(\frac{z}{w}\in \mathbb{C} \)が成り立ちます。さらに、これを\(a+bi\)の形で表現するためには分子と分母に\(w\)の共役複素数\(\overline{w}\)を掛けます。具体的には、\begin{eqnarray*}\frac{z}{w} &=&\frac{z\overline{w}}{w\overline{w}}\quad \because \text{分子と分母に}\overline{w}\text{をかける} \\
&=&\frac{\left( a+bi\right) \left( c-di\right) }{\left( c+di\right) \left(
c-di\right) } \\
&=&\frac{ac-adi+bci-bdi^{2}}{c^{2}-d^{2}i^{2}} \\
&=&\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+\frac{\left( bc-ad\right) }{c^{2}+d^{2}}i\quad
\because i^{2}=-1
\end{eqnarray*}となります。

共役複素数との積

実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}x^{2}\geq 0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、同一の実数どうしの積は非負の実数になります。

一方、同一の複素数どうしの積は非負の実数になるとは限らず、そもそも実数になるとは限りません。以下の例より明らかです。

ただし、複素数とその共役複素数の積をとった場合、それは必ず非負の実数になります。具体的には以下の通りです。

共役複素数と実部

複素数\(z\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\mathrm{Re}\left( z\right) =\frac{z+\overline{z}}{2}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、複素数が与えられたとき共役複素数との和をとった上で\(2\)で割れば実部が得られます。

共役複素数と虚部

複素数\(z\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( z\right) =\frac{z-\overline{z}}{2i}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、複素数が与えられたとき共役複素数との差をとった上で\(2i\)で割れば虚部が得られます。

演習問題